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文档简介

1、精选文档2020年4月开学摸底考(新课标卷)高三数学(理)(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)留意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回4测试范围:高中全部内容一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1已知集合,则( )ABCD2已知复数是纯虚数,则的值为( )ABCD3已知,则下列选

2、项正确的是( )AabcBcabCcbaDbca4已知函数,则的图象大致为()ABCD5在中,为上一点,是的中点,若,则( )ABCD6已知数列满足,若,则数列的通项( )ABCD7已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点,则实数的取值范围是( )ABCD8已知,若点是抛物线上任意一点,点是圆上任意一点,则的最小值为A3B4C5D69如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图,现在供应5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则A,C区域涂色不相同的概率为()A17B27C37D4710已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一

3、轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有相互垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为,大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次,每次转动,记为转动次后各区域内两数乘积之和,例如. 若, ,则以下结论正确的是A中至少有一个为正数 B中至少有一个为负数C中至多有一个为正数 D中至多有一个为负数11已知集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,9),在集合A中任取三个元素,分别作为一个三位数的个位数,十位数和百位数,记这个三位数为a,现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a219,则I(a)129,D(a)921)

4、,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,则输出b的值为( )A792B693C594D49512如下图,在正方体中,点分别为棱,的中点,点为上底面的中心,过三点的平面把正方体分为两部分,其中含的部分为,不含的部分为,连接和的任一点,设与平面所成角为,则的最大值为( )ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知函数,则_14已知随机变量听从正态分布,若,则_15已知双曲线中,是左、右顶点,是右焦点,是虚轴的上端点若在线段上(不含端点)存在不同的两点,使得,则双曲线离心率的取值范围是_.16四周体中,底面,则四周体的外接球的表面积为_三、解答题(本大题共6

5、小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知数列的前项和,数列满足.()求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;()设,数列的前项和为,求满足的的最大值.18(本小题满分12分)某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保修理优待方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费修理2次,超过2次每次收取修理费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费修理4次,超过4次每次收取修理费1000元.某医院预备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了5

6、0台这种机器超过质保期后延保两年内修理的次数,得下表:修理次数0123台数5102015以这50台机器修理次数的频率代替1台机器修理次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需修理的次数(1)求X的分布列;(2)以所需延保金及修理费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?19(本小题满分12分)如图,在四棱柱中,侧棱底面,且点和分别为和的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长.20(本小题满分12分)已知是抛物线上不同两点.(1)设直线与轴交于点,若两点所在的直线方程为,且直线恰好平分,求抛物线的

7、标准方程.(2)若直线与轴交于点,与轴的正半轴交于点,且,是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.21(本小题满分12分)已知函数,.(1)争辩的单调性;(2)定义:对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点.假如函数存在不动点,求实数的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答留意:只能做所选定的题目假如多做,则按所做的第一个题目计分22(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),以该直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)分别求曲线的极坐标方

8、程和曲线的直角坐标方程;(2)设直线交曲线于,两点,交曲线于,两点,求的长23(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知,设函数,(I)若,求不等式的解集;(II)若函数的最小值为,证明:()一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1已知集合,则( )ABCD【答案】D【解析】由于 ,,所以 .故选D.2已知复数是纯虚数,则的值为( )ABCD【答案】A【解析】是纯虚数,解得:本题正确选项:3已知,则下列选项正确的是( )AabcBcabCcbaDbca【答案】D【解析】a6=ln22,b6=ln33,c6=ln,60,a,

9、b,c的大小比较可以转化为ln22,ln33,ln的大小比较设f(x)=lnxx,则f(x)=1-lnxx2,当xe时,f(x)0,当xe时,f(x)0,当0xe时,f(x)0f(x)在(e,+)上,f(x)单调递减,e34ln33lnln44=ln22,bca,故选:D4已知函数,则的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】由于,排解B选项.由于,函数单调递减,排解C选项.由于,排解D选项.故选A.5在中,为上一点,是的中点,若,则( )ABCD【答案】B【解析】,由于是的中点, 所以,解得 ,.故选B.6已知数列满足,若,则数列的通项( )ABCD【答案】B【解析】 , ,则 ,数列是首项

10、为2,公比为2的等比数列, ,利用叠加法, , ,则.选B.7已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】由题意得,得,故,由于,所以.由,得,由于,故,所以,从而当时,令,则由题意得在上有唯一解,故由正弦函数图象可得或,解得.故选D8已知,若点是抛物线上任意一点,点是圆上任意一点,则的最小值为A3B4C5D6【答案】B【解析】抛物线的焦点,准线:,圆的圆心为,半径,过点作垂直准线,垂足为,由抛物线的定义可知,则,当三点共线时取最小值,即有取得最小值4,故选B9如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图,现在

11、供应5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则A,C区域涂色不相同的概率为()A17B27C37D47【答案】D【解析】供应5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,依据题意,如图,设5个区域依次为A,B,C,D,E,分4步进行分析:,对于区域A,有5种颜色可选;,对于区域B与A区域相邻,有4种颜色可选;,对于区域E,与A,B区域相邻,有3种颜色可选;,对于区域D,C,若D与B颜色相同,C区域有3种颜色可选,若D与B颜色不相同,D区域有2种颜色可选,C区域有2种颜色可选,则区域D,C有3+22=7种选择,则不同的涂色方案有543

12、7=420种,其中,A,C区域涂色不相同的状况有:,对于区域A,有5种颜色可选;,对于区域B与A区域相邻,有4种颜色可选;,对于区域E与A,B,C区域相邻,有2种颜色可选;,对于区域D,C,若D与B颜色相同,C区域有2种颜色可选,若D与B颜色不相同,D区域有2种颜色可选,C区域有1种颜色可选,则区域D,C有2+21=4种选择,不同的涂色方案有5424=240种,A,C区域涂色不相同的概率为p=240420=47 ,故选D10已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有相互垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为,大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示

13、.将小圆盘逆时针旋转次,每次转动,记为转动次后各区域内两数乘积之和,例如. 若, ,则以下结论正确的是A中至少有一个为正数 B中至少有一个为负数C中至多有一个为正数 D中至多有一个为负数【答案】A【解析】依据题意可知:()0,又()去掉括号即得:()=0,所以可知中至少有一个为正数,故选A11已知集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,9),在集合A中任取三个元素,分别作为一个三位数的个位数,十位数和百位数,记这个三位数为a,现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a219,则I(a)129,D(a)921),阅读如图所示的程序框图,运行

14、相应的程序,任意输入一个a,则输出b的值为( )A792B693C594D495【答案】D【解析】试题分析:A,假如输出的值为792,则a=792, I(a)=279,D(a)=972,b=D(a)-I(a)=972-279=693,不满足题意B,假如输出的值为693,则a=693,,I(a)=369,D(a)=963,b=D(a)-I(a)=963-369=594,不满足题意C,假如输出的值为594,则a=594,I(a)=459,D(a)=954,b=D(a)-I(a)=954-459=495,不满足题意D,假如输出的值为495,则a=495,I(a)=459,D(a)=954,b=D(a

15、)-I(a)=954-459=495,满足题意故选D12如下图,在正方体中,点分别为棱,的中点,点为上底面的中心,过三点的平面把正方体分为两部分,其中含的部分为,不含的部分为,连接和的任一点,设与平面所成角为,则的最大值为( )ABCD【答案】B【解析】连接EF,由于EF/面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线肯定是过点O且与EF平行的直线,过点O作GH/BC交CD于点G,交AB于H点,则GH/EF,连接EH,FG,则平行四边形EFGH为截面,则五棱柱为,三棱柱EBH-FCG为,设M点为的任一点,过M点作底面的垂线,垂足为N,连接,则即为与平面所成的角,所以=,由于sin=,要使的

16、正弦最大,必需MN最大,最小,当点M与点H重合时符合题意,故sin的最大值为=,故选B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知函数,则_【答案】【解析】由于,且,则.故答案为-214已知随机变量听从正态分布,若,则_【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为,结合题意有:.故答案为115已知双曲线中,是左、右顶点,是右焦点,是虚轴的上端点若在线段上(不含端点)存在不同的两点,使得,则双曲线离心率的取值范围是_.【答案】【解析】设为半焦距,则,又,所以,以为直径的圆的方程为:,由于,所以与线段有两个交点(不含端点),所以 即,故,解得.故填.16四周体中,底面

17、,则四周体的外接球的表面积为_【答案】【解析】如图,在四周体中,底面,可得,补形为长方体,则过一个顶点的三条棱长分别为1,1,则长方体的对角线长为,则三棱锥的外接球的半径为1其表面积为故答案为:三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知数列的前项和,数列满足.()求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;()设,数列的前项和为,求满足的的最大值.【解析】 () ,当时,化为,即当时,,令,可得,即.又,数列是首项和公差均为1的等差数列.于是,.()由()可得,可得,由于是自然数,所以的最大值为4.18(本小题满分12分)某种大型医疗

18、检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保修理优待方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费修理2次,超过2次每次收取修理费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费修理4次,超过4次每次收取修理费1000元.某医院预备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内修理的次数,得下表:修理次数0123台数5102015以这50台机器修理次数的频率代替1台机器修理次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需修理的次数(1)求X的分布列;(2)

19、以所需延保金及修理费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?【解析】()全部可能的取值为0,1,2,3,4,5,6,的分布列为 0123456 ()选择延保一,所需费用元的分布列为: 70009000110001300015000 (元).选择延保二,所需费用元的分布列为: 100001100012000 (元).,该医院选择延保方案二较合算.19(本小题满分12分)如图,在四棱柱中,侧棱底面,且点和分别为和的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长.【解析】如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得,又由于分别为

20、和的中点,得.()证明:依题意,可得为平面的一个法向量,由此可得,又由于直线平面,所以平面(),设为平面的法向量,则,即,不妨设,可得,设为平面的一个法向量,则,又,得,不妨设,可得,因此有,于是,所以二面角的正弦值为.()依题意,可设,其中,则,从而,又为平面的一个法向量,由已知得,整理得,又由于,解得,所以线段的长为.20(本小题满分12分)已知是抛物线上不同两点.(1)设直线与轴交于点,若两点所在的直线方程为,且直线恰好平分,求抛物线的标准方程.(2)若直线与轴交于点,与轴的正半轴交于点,且,是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设,由,消去整理得,则, 直线平分, ,即:,满足,抛物线标准方程为(2)由题意知,直线的斜率存在,且不为零,设直线的方程为:,由,得, , , , 直线的方程为:假设存在直线,使得,即,作轴,轴,垂足为,由,得,故存在直线,使得,直线方程为2

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