天津市2015届高考压轴数学理科试题及答案

1、 2015天津高考压轴卷 数学（理工类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷（选择题共50分）参考公式：球的表面积公式：，其中是球的半径如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）（1）若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角（2）

2、由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积是（ ）A. B. C. D. （3）若向量a、b满足a +b =（2，-1），a =（1，2），则向量a与b的夹角等于 （ ）A . B. C. D. （4）设平面平面，直线a，直线b，且ab，则A、a B、b C、a与b中至少有一个成立 D、a与b同时成立（5）下面的程序框图表示算法的运行结果是A. -3 B. -21 C. 3 D. 21（6） “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件(7) 已知恒成立,则a的取值范围是( )A. B. C. D. （8）已知实

3、数满足，则下列不等式中恒成立的是 （ ）A . B. C. D. （9）已知是偶函数，则函数的图象的对称轴是A. B. C. D. (10）定义在R上的偶函数满足且在上是减函数， 是锐角三角形的两个内角，则（ ）A. B.C. D.第卷（非选择题共100分）注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚。2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共12小题，共100分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）在复平面内，复数（）对应的点位于虚轴上，则 . （12）在（）的展开式中，所有项的系数之和为，则其展开式中的系数是_.（用数字作答）（13）在极坐标系中，

4、设曲线和相交于点、，则 . （14）已知是数列的前项和，若 ，则关于的表达式为 . （15）已知圆：，点是抛物线：上的动点，过点作圆的两条切线，则两切线夹角的最大值为 . （16）下列三个命题：若函数的图象关于y轴对称，则；若函数的图象关于点（1，1）对称，则a=1；函数的图象关于直线x=1对称。其中真命题的序号是 。（把真命题的序号都填上）三、解答题（本题共6道大题，满分76分）（17）、（本题满分12分）在中，角的对边分别为、，已知。（1）求sinA；（2）若c=5,求的面积。（18）、(本小题满分12分)3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作.（）若每名志愿者在这5天中任

5、选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；（）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量的分布列.（19）、 (本小题满分12分)已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC=60°,AB=2PA,E是线段BC的中点.(1) 求证：PEAD;(2) 求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值(3) 在线段PD上是否存在一点F,使得CF平面PAE,并给出证明.（20）、(本小题满分12分)若，（、）.(1) 求

6、的值；（2）求证：数列各项均为奇数.（21）、（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln2x+1-mx(mR).(1) 求函数f(x)=ln2x+1-mx(mR)的单调区间；(2) 若函数2f(x)m+1恒成立，求m的取值范围； （22）、（本小题满分14分）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形. （）求椭圆的方程； （）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点.证明：为定值；（）在（）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 2015天津高考压轴卷 数学（

7、理工类） 参考答案一、选择题1C 2B 3D 4C 5 A 6C 7D 8D 9A 10A二、填空题11.0 12.15 13. 14. 15. 16. 三、解答题17、因为，所以ba因为cosB，所以cosB 4分所以a2c2a2ac即c2aca20所以ca所以bc即BC 8分所以sinAsinp(BC)sin2B2sinBcosB 10分当c5时，则b5，所以SABCbcsinA10 12分18、解：（）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有种不同的结果，这些结果出现可能性都相等.1分设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件，则该事件共包括种不同的结果. 3分所以. 5分 答：

8、3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为. 6分（）解法1：随机变量的可能取值为0，1，2，3. 7分， ， . 11分随机变量的分布列为：0123 12分解法2：每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为. 7分则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数.，. 11分随机变量的分布列为：012312分19. 解：四边形ABCD是ABC=60°的菱形，E为边BC的中点，AEBC,AEAD,又PA平面ABCD，PAAE,PAAD,以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图，设AB=2，则B(3,-1,0),E(3,0,0),C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0

9、,1) .1分(1) PE=(3,0,-1)AD=(0,2,0) 2分PE·AD=03分PEAD4分(2) 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),则nPC,nPD,PC=(3,1,-1),PD=(0,2,-1),(x0,y0,z0)·(3,1,-1)=3x0+y0-z0=0,(x0,y0,z0)·(0,2,-1)=2y0-z0=0,令x0=1，则y0=3，z0=23,得平面PCD的一个法向量为n=(1,3,23),又AD平面PAE,则AD=(0,2,0)是面PAE的一个法向量，设平面PAE与平面PCD所成角为，则cos=|cosn,AD|=|n·

10、;AD|n|·|AD|=348分(3) 假设线段PD存在一点F，使直线CF平面PAE，则CF面PADCFAD，设PF=PD=(0,2,-)(01)，则CF=PF-PC=(-3,2-1,-+1)，则CF·AD=(-3,2-1,-+1)·(0,2,0)=4-2=0，解得，=12，所以，当F为线段PD的中点时，直线CF平面PAE12分20、解：（1）当时， 故，所以.（2）证：由数学归纳法（i）当时，易知，为奇数；（ii）假设当时，其中为奇数；则当时， 所以，又、，所以是偶数，而由归纳假设知是奇数，故也是奇数.综上（i）、（ii）可知，的值一定是奇数.证法二：因为当为奇

11、数时，则当时，是奇数；当时，因为其中中必能被2整除，所以为偶数，于是，必为奇数；当为偶数时，其中均能被2整除，于是必为奇数.综上可知，各项均为奇数.21、解：(1) f(x)=12ln(2x+1)-mx,x>-12,f(x)=11+2x-m,2x+1>0,当m0时,f(x)>0, 2分当m>0时，f(x)=0，解得x=1-m2m=12m-12>-12，列表x-12,1-m2m1-m2m1-m2m,+f(x)+0-f(x)Z极大值J综上所述：当m0时，f(x)的增区间是-12,+，当m>0时，f(x)的增区间是-12,1-m2m，减区间是1-m2m,+；6分(2) 若函数2f(x)m+1恒成立，只需f(x)的最大值小于等于m+12， 当m0时，f(x)=12ln(2x+1)-mx的值趋向于无穷大，故不成立，10分当m>0时，由(1)知f(x)有唯一的极值且是极大值，所以，当x=1-m2m时，f(x)的函数值最大，12分所以，2f1-m2m=ln1m-(1-m)m+1，解得，m1e2，故函数2f(x)m+1恒成立时，m的取值范围是1e2,+；14分22、解：（）