深圳市届高三级第二次调研考试(理数)

1、深圳市2022届高三年级第二次调研考试数学理科本试卷共6页，23小题，总分值150分.考试用时120分钟.考前须知:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、 不污损.2选择题每题选出答案后，用 2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3非选择题必须用毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液不按以上要求作答的答案无效.4作答选做题时，请先用 2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5考生必须保持答题卡

2、的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第I卷、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1设集合A x|x 10，集合Bx |x24，那么 aC1 BA.(2,1)B.(,2)C. (, 2)D. (,1)U(2,)2.i为虚数单位，那么复数| -3z1 iU的共轭复数z为A.2 2iB .2 2iC. 1 iD. 1 i3人去参加国防教育活动，那么甲、乙均被选中的概率为3123A.-B . 一C . 一D . 一525104.设Sn为等差数列an的前n项和，a33，那么S4的值为3某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派A.3B. 0C. 3D. 62

3、5点P(1,m)在椭圆 y1的外部，那么直线y 2mx . 3与圆x2 y2 1的位置4关系为A 相离B 相交C.相切6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为D相交或相切2A -34 5C.D 337九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如以下图:卅&I /Jim 説？，无论是那种情形，都需遵循一定的规那么解下或套上全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图所执行该程序框图,那么输出结果为示的程序框图得到,1 幣止弓 /=狞t要将9个圆环全部从框架上解下或套上A 170256ttibsC. 341682閉7題国&椭圆2x24 m2y2m1与双曲线

4、2 2xy2,2ab1有共同的焦点，且其中的一个焦点 F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2 3, 那么双曲线的离心率为9 .定义在R上的偶函数f (x)对任意实数x都有f (x 4) f(x 4)，当0 x 4时,2f (x) x 2x，贝y f (x)在区间 12,16 上A 有最小值f(16)B .有最小值f(15)C有最小值f(13)D 有最小值f(12)10.点R , F2为曲线y J2sin x cos x x R常数 0的两个相邻的对称中心，假设该曲线在点 R ,F2处的切线互相垂直，那么 的值为A .仝B .2c. . 2D. 、33211.如图，在四棱锥ABCD中，顶点P在底面

5、的投影 O恰为正方形 ABCD的中心且AB 2，设点M、N分别为线段PD、PO上的动点，当 AN MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，那么该四棱锥的外接球的外表积为16B.364D.99A.225 C.412对 n N*，关于x的函数fn(x) x (1 ajn x n x n 1都不单调,其中an n1,2, ,为常数，定义x为不超过实数x的最大整数，女口 0.83，设bn3 an，记常数bn的前n项和为Sn，那么S100的值为A. 310B . 309C. 308D. 307第H卷本卷包括必考题和选考题两局部。第13题第21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22第23题为选考题，考

6、生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4小题，每题5分.13 .向量a ( 3,4) , b ( 1,t)，假设a b a，那么实数t .x10,14 .a 0，实数x , y满足xya0,假设z x 2y的最大值为5,那么xy20,a.n415假设 x的展开式中各项系数的和为 81，那么该展开式中的常数项为.x16. A、B、C为某信号该信号的传播速度为1公里/秒的三个接收站，其中A、B 相距600公里，且B在A的正东方向；A、C相距600、3公里，且C在A的东偏北30 方向现欲选址兴建该信号的发射站T ,假设在T站发射信号时，A站总比B站要迟200秒才能接收到信号，那么C站比A站最多迟秒可

7、接收到该信号.A、B、C、T站均可视为同一平面上的点三、解答题 本大题共6小题，共70分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 本小题总分值12分ABC的内角A , B , C所对的边分别为a , b , c,角B为锐角，且a cosB bsin B c .1求角C的大小；2假设B，延长线段AB至点D，使得CD .3，且 ACD的面积为3求线段BD的长度.18. 本小题总分值12分如图，在三棱锥A BCD 中,ABD和 BDC均为等腰直角三角形，且BADBDC90，侧面ABD与底面BDC垂直，点E是AC的中点，点F是第(IE)題图E的余弦值.BD的中点，点G在棱BC上，且BC 4BG，点

8、M是AG上的动点.1证明：BC MF ;2当MF /平面ACD时，求二面角 G MF19. 本小题总分值12分为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的根本规那么是： 盲拍，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他 人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额， 按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2022年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数见下表：1份2022412022J2J2022.01201K.022O1H.O3月份编如123 I4 _5竞

9、拍人数y(万人)0.5.0.61_ .7 _1由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y万人与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求 y关于t的线性回归方程：y bt a，并预测2022 年4月份参与竞拍的人数；2某市场调研机构对 200位拟参加2022年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一 个抽样调查，得到如下的一份频数表：ft价区间(万朮)3)阳)4,5)(56)呵:频数2(】6060302010i求这200位竞拍人员报价 X的平均值x和样本方差s同一区间的报价可用该价 格区间的中点值代替；ii假设所有参与竞价人员的报价 X可视为服从正态分布 N( , 2)，且 与2可 分

10、别由i中所求的样本平均数 x及s2估值假设2022年4月份实际发放车牌数量为 3174, 请你合理预测需说明理由竞拍的最低成交价.n亠. W nxy _ 参考公式及数据：回归方程y bx a，其中b 耳,a y bx ；2 _2x nxi 155 ti2 55,tiyi 18.8 , 、 1.7 1.3;i 1i 1 假设随机变量 Z服从正态分布N( , 2)，贝y P(Z)0.6826 ,P( 2 Z 2 )0.9544 , P( 3 Z 3 )0.9974 20. 本小题总分值12分实数p 0，且过点M(0, p2)的直线l与曲线C : x2 2py交于A、B两点.1设O为坐标原点，直线

11、OA、OB的斜率分别为 k、k2，假设k1k2 1，求p的 值；2设直线MTi、MT2与曲线C分别相切于点T,、T2，点N为直线 帀2与弦AB的 交点，且mA MN , MB MN，证明：-丄为定值.21. 本小题总分值12分函数f(x) xeax 其中常数e 2.71828，是自然对数的底数1求函数f (x)的极值；2当a 1时，假设f(x) ln x bx 1恒成立，求实数b的取值范围.请考生在第22、 23两题中任选一.题作答，注意：只能做选定的题目，如果多 做，那么按所做的第一题计分。 作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑。22. 本小题总分值10分选修4-4:坐标系

12、与参数方程在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点 A 1, B22,以极点为坐标原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系.1在直角坐标系中，求曲线 C的参数方程；2假设点A、B在曲线C上，且点M 异于A、B两点为曲线C上的动点在 直角坐标系中，设直线 MA , MB在x轴上的截距分别为 a , b，求| a b|的最小值.23. 本小题总分值10分选修4-5:不等式选讲1函数 f (x)| x a | |x a | a 0.a1证明：f (x)2,2 ;2假设f(2)3，求实数a的取值范围.数学理科参考答案第I卷一.选择题(1)A(2) C(3)D(4) B(5) B(6) DC A(9)B(

13、10) A(11) B(12) D(H)解析:显然AN 考虑截面PRD.由題设可知当N、M三点共线，且丄PD时.AN+MN方可取得最小值，宙点M足PD的中点可知PBD为等边三角形，于是四棱锥P-ABCD的高PO BD.又BD = 41AB = 2 .即PO二羽,2不妨设四棱惟P - A BCD的外接球的半径为R 球心为01显然0%线段FO上注意到 BOOrt有7酮=(/ +垃7匚即，=(73-/?)2 + hI AjtWW/e = *从P-ABCD的外接球的外表积为4 nRz= t应选B.33(12) 解析：对V e N*,函数/Jx)都卡单调+即函数力(打存在极值点.故必存在忑丘(斤+ 1)

14、使得：(旳) = 1+=0t /. xn经锻验,易知当nua -1 /; +1时.xi = an -1为函数fn fx)的极值点丫即 n + ait rt + 2 /, y/n + 珈:|J| = |77?|+2 5 故 TC-7A = |7t|卩纠一 2 .设线段作 的延长线交双曲线的右支于珀点.显rc|-|ra|BC| = 6.当点r取点7；时 |TC|-|ra卜|7；q-|V| = 6于是|旳T划的量大值为4,即400公里.从而可知站比片站最芳迟400秒才能接收到仃号.故应填400.三*解答题：胖容许写出文字说明*证明过程威演算步骤，17木小題总分值12#ABC的内角A.BC所对的边分别

15、为Q*b,c ,总为锐角，且求角疋的大小；假设B =延丘线段朋至点D,便得CDhJL且AJCQ的面枳为婕，求线34解：1由正弦定理可知：或n彳cosB+sin二血CsinC = siii(zl + B) = sin J cos B + cos .4 sin .8 5-.即cos-cos J:* sirr Zf=cos /sin B3分/ B g 0f f A sin B 0, A sin B = cos AI 2丿心环尹屮，分泻如，即w分(2)设 BD =麒、CB = n ./- Sxacd - AC AD - sin A = x J5丹 x(2n + w;)x = -2-*4沖AHCQ中1由

16、余荒定理CD2 =BC2 + BD2-2BC- BDcos乙DBC町得10 *联立可解得m =即BD=-12分【说明】木题吾查止.金眩疑理，二怖形的面积公式.=角恒等变形等知识点，主耍罟查考生逻辑推理能力和方程思想.(18)(本小题总分值12归S 在二棱锥彳中.AJBD刃也別M 韵为芳樱戌阳三角形，且BAD = ZSDC = 9UI侧面ABD与底皿BDC垂氏点E是AC的l卩氐点的中点*虑G在棱占7上HifC = 4BG，点M是的动点.U)证明：号C丄MF i(2)当MF平面/CD时，求一面角G-MF-E的余強血解：()-MBD为零脱克角三角移 ftZ5JP = 90 :.AB AD,连AF t

17、 -.-F 是 BQ 的中点./. AF 丄 BD,丁侧面ABD丄底J?DCR平面ABDH平面SDC = BD ,二彳F丄平而BDC.v BC C 平面 BDCt ,-TZ?C 丄F,iBC中点为N连按D/V，由BC= 4BG可知点&是丘M的中爲又点F氏RD的中点.即FG迢扎孙皿的中伉饗丁 是 FGH DN.1分t CD = RD + : BC _L DN 二 BC 丄 FG，T 分-. BC 丄/IF, BCLFG. AFnFG = F，眈丄平面 AFG ,乂 AfFu 平面/FG、二 RC 丄 AfF. E分2连覆MN . */ FN 是 MiDC 的屮位线，二 FNHCD、-CD cz

18、平面 ACD, FN 平面 ACD . FN / / 平面 ACD 6分pMF打平曲 4CD . FNH 平面/?D,阿 fFN二 F*且MFu平面闭VF* FMu平面MNF ,平而MNF / /平西彳。*又平面MNFf平即AGC二MN .宇面ACDC平血川GC二ACGV =GC 3ZDC为等腱右角三角形，iLCD = BD, :.CD丄甘D丁 FN UCD農FN 1 BD.丈AF丄平面RDC 二FN、FZX FA荷腐垂直.于是可以F为坐标原点、MFN、FD、FA为坐标轴建立宁间1用坐标系，如下图.不妨设 EDJ 从而 0,0,0, D0tl,0, C2丄0. 0,0flf S0s-l,0,J

19、V(10.0), G 是EV的中点f AG(i-io), .G4 = (-|il),占GA； _1GA 3几易知对百厂O*旦M的中点5?扣曆=】,扣设平面EMF的法向益为7 = 上疋那么-u b c 03331 .1“+ n + c 02 22 1鮮得口二一亍s b-c,令亡=3*10分由1】可知EC1丄平面JfCt即平面MFG的一个法问园为呢= 2.2,0, II分*t cos 即为二面G-MF-E的大小,a-ffij龟G_MF_E的余弦低为-二一 12分14【说明】此题以三棱锥为载体，考査了空间线面的隹置关系，通过证明位置关系及计算 空间角,考查了数学运算、直观想彖等核出素养.19木小题总

20、分值12分为了缓孵HiS拥堵的交翅状况.不少城市实施车牌竞价茉略.烘控制乍辆数量某地乍 牌竞析的根本规那么是：“盲拍3即所有参与竞护的人都是网络报价*每个人并不知晓其 他人的报价也不知遒拶与当期竞拍的息人数：竞价时间截止后，系统粮据当期牟牌配额 按汎竞拍人府出价从高到低分配名额.某人拟琴加2022年4月份的车牌竟拍*他为了预测 最低成交价根据竟拍网站的公告.统计了晟近5个月参与壷抬的人数见下点：月份2022.112022.12201S.012O1S,O22022.03月粉编号r12345竞柏人数V万人0061L4L7 I由滾集数据的散点图发现，可用线性回归棋型拟合竞幷人数，万人与月份编号PZ间

21、的相关关桑.请用最小二乘法求y关于f的线性回归方程，y = bt+a.预测201K 年4詁伪参与竟拍的人数.2某市场调研机构对200位拟参抽2DI8年耳月份车牌竞护人员的損价价格边行 一个抽样训査，得到如下的一份频数农：报价区间力元山2)23)W)4，6)阿频数206060302010估求这200位竞扌白人员报价X的半均值壬和样本方差I同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替hG假设所有参与竞价人员的报价可视为服从丄态分布N“P,且#与十可分别由i中所求的样本平均数X及，估值.假设2022年4月份实际发放车牌数量为3174, 谕你合理柚测需说圳理由竞拍的压低成交倩.参考公式及数据=回归方程y

22、= bxa,xy.-nxy55 RE y=r 転 arl 假设随机变量2服从用态分布j)，那么P(zz-crZxz + o-) = 0.6826解：(1)易知# =1+2+3+4+55P(/i-2crZ / 4-2a) = 0.9544 , P(/t-3w Z =2,00.即201S年4月份参与竞拍的人数估计为2万人. 5分(2) U)俄题意可得这200人报价的平均值牙和样本方差/分别为；jf = 1.5 x0.1+2.5x03+3*5 x 03+4.5 0.15+5.5x 0.1+6Jx 0.05=3*5, 6 分s2 =(L5-3.5)lx0,l4-(2.5-3-5)ax0.3 +(15-

23、3.5/x03+(4.5-3.5)1x0J5+(5.5-15)3 皿 1+(65-3J)2 xO.05 = lJr 8 分(ii) 20i$年4月份实际发放车牌数3174,根据竞价规那么报价在皿低咸交价以上人3174数占总人数比例为xl00%=15.87%9分20000 *根据假设，报价/可视为服从正态分祁 0、p 3.5,(T2 = L7 /(T /1 713又* 疔)=l HM bW耳“ + 4,8) = 0盘7.11 分2二可预測20】8年心月份竟拍的最低成交价为4百万.12分【说明】本世以车牌竞价为背景，考香应用线性回归樓卑对數据进行分析处理，用样事估讣总休的恩想和方法及利用正态分布曲

24、线所盍示的意丈作岀合理统讣判斷综合考査了考朱应用統计学和概率知识对我据的TbFFiir力及散学应用意识.(20) (本小题浦分12分实数p0, 口过点&f(Q/?)的宜线/与曲C:x-=2pyit于、A购点.(I)设0为坐标威点直线6T QR的斜率分别为疋、匕、假设kk2 = 1,求p的值;(2)设直线呱吗曲线C分别相切片点7；、E 点何为直线环G与弦住的交点r MA = XMN、価=#昴,显熬p0t且A/4二AMV , MB = pMN.证明：丄十丄为定値 4 P弹 (QgMgj)、Rgy) 及n线/的方程为y = kx-p-的斜率必存在)，由 妙 得工一2切斗+2/二 0.a, +x2 =

25、 Ikp r Xj a. = 2p3, 2 分W = fcr_/r_v 出& =1,:.上七=lt 即xx2 = yty21 3分乂朋堆=(虹_P)(吐e _p)，即(A -4t2) + /?4 =0 ,将代入*游理得b_2b=(h又0*解得p = 2.5分亦可由=|巧二几叫二严亍-得x丙=4卩二a 4/j2 =2/ ;* p = 22p 2p4(2)设切点7；(為七)，finhiA/7；的方程为ykx-p1.叮克线财7；与曲纯C HJ切于点环二由可知妳二心p, Rx2pH+M_hl+N 阿倔同I灯10分又对二对：旳二/A 由对称性剧知宜级7；可的方稈为y = p1 f 丁分 设N(松丿J：点

26、N为宜线?；与弦启B的交点,1 I X. X, X又显然同号，二 = + = X3 -，II分A xi x2 x2由.可虬“込注貲a* 再k 2p/ ,_|二 2t 即!+为定値 2*12 分X juX p【说明】此题以宜线与抛物线的包置先系为背景卜利用方程思想解决几何问题总會孝牛.的逻辑推理*数学运篤等数学核心素养及思葫能力.(21) (本小题总分值12分)函数/(X)二昨巴(苴中常数尸2,71 R 28是鬥然对數的底数)(1) 求函数/(.丫)的极伍*(2) 半打一I时.假设/(工)一lnx加：工1恒成立，求实数占的取值范EH.解 由/0)=计求导得尸何二Qp)e分 = 0时 /V) =

27、c0.所以函数门口在(yd,+ R)上单凋递处因此函数丿3无极值$ 2分 假设0.令f(x) = (l+Q)资=0,得一2-丄a当 jf丄时.fx) -时，f (x) 0 +aa函数何口在卜d丄:单调递减*陌数在卜丄什此)单调递増；aa所以函数/(匱)存在极小仏 其极小悄为/(-!)= -,无极大fft 3分a ca 假设0,所以假设姒小右零点x,那么OujcC令h(x) = 0.可得,re( =- . (0Lrx注意到一=-ln,nt= f(-lnx). (0xl)JC所以方程(蟻)等价于f(x)=f(-lnx). (0xl)8分又由(D可知.当口 = 1时./(工)在(0,侶)丨：单调递培

28、，又TiDvhwI 时 一Inx w(0,+oc)所以方程/(x) = /(-Inx)等价于方Sx = -lnx(Oxl)I 9分设函数Mx)-jr+lnx(Ox0所以存布瓦w(J),使得用(观 = 0，eee即方x-nx有唯一解如即In兀二一观或e*=,山分因此方程/(x) = /(-lnx)有唯一解工旷 代入得：痔严十111=0.所以h(x) - 0有唯-解兀-且xe(O,jrQ)时，A(x) 0.即g*(.r) 0,即0, g(耳)单调递增： 1分所以g(x)的最小值为g(x0) = e*1 一些生一丄二一1舟)一 J_二1.所以12分【说明】本題U常见抄St国数*对放凶数为戟体罟查学生

29、利用导数解决问題的能力s 分类讨论及陶建思怨貝有一定的綜合杵.补充说明4如有用以卜方法解题，亦可结満分.解法 2：设 F(x) = -lnx-Z?.v . MFJ(x) = (l + x)eb(x 0),易知F(x)单调递増且值域为R 所以3xJiF() = 0, Hp(l + xc)e-=(除)*5 分当xe(0.)时，H-v) 0 t Fh)单调递增；所以r(x)的最小值为Fg =工声冷-lnx0-Zx0s 6分由(知 脊旺(1 +无)匕 1 =力如，代入上式得Ff_rJ =一山旺+1 所以Fg 即耳誇埠十In舟W0, 7分设函数/?(%) = jr2eT-t Ini-e易/t(x)单调递增且值喊沖R,又A(l) = e0,所以疗在难的正实数心1*使得肌“=尸貳+Ln=-,且x 0时.罚(工)单调递增，又 皿 口卍* f?j(-1n t) =-1nrel,lT =-,f所以方reJ =-.即 w(/) = w(-ln0t等价于方程也2-RJ ef =-, 10分t又l立，即xe-lnxbx-h立，设g(x)=xe-lnx.即证明惟数g(,v)的图象在自线j = w+l上