组合变形构件的强度

1、第八章组合变形构件的强度8.1概述到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸（或压缩卜剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8-1a中悬臂吊车的横梁AB,当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC的斜向力作用，而且还有压缩（图8lb）。又如图82a所示的齿轮轴，若将啮合力P向齿轮中心平移、则可简化成如图8-2b所示的情况。载荷P使轴产生弯曲变形；矩为mC和mD的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况

2、，就称为组合变形。图S-2由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：（1）将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；（2）分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；（3）将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。本章将讨论弯曲与拉伸（或压缩）的

3、组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。8.2弯曲与拉伸（或压缩）的组合在外力作用下，构件同日产生弯曲和拉伸（或压缩）变形的情况，称为弯曲与拉伸（或压缩）的组合变形。图8-1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸（或压缩）组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸（或压缩）的组合，这种情况通常称为偏心拉伸（或压缩）。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图83a中的开口链环和图84a中的厂房柱子，如果将其上的载荷P向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视

4、为两部分：一个轴向力P和一个矩为M0=Pe的力偶（图83b、8-4b）。轴向力P将使杆件产生轴向拉伸（或压缩）；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸（或压缩）实际上就是弯曲与拉伸（或压缩）的组合变形。返fb】La*(b)83图8-4现在讨论弯曲与拉伸（或压缩）组合变形构件的应力和强度计算。设一矩形截面杆，一端固定，一端自由（图85a）,作用于自由端的集中力P位于杆的纵对称面Oxy内，并与杆的轴线x成一夹角中。将外力P沿x轴和y轴方向分解，得到两个分力（图85b）:Px=Pcos：Py=Psin其中，分力Px为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横截面上白轴力N=Px。

5、因此，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力，其值为NCT=A正应力cr在横截面上均匀分布，如图85c所不。分力Py为垂直于杆轴线的横向外力，在此力的单独作用下，杆将在Oxy平面内发生平面弯曲，任一横截面的弯矩为M=Py（l-X）此时在横截面上任一点K的弯曲应力为沿截面高度方向的变化规律，如图8-5d所示。由此可见，这是一个弯曲与拉伸组合变形的杆件。设在外力作用下杆件的变形很小,这时可应用叠加原理，将拉伸正应力仃与弯曲正应力仃''按代数值叠加后，得到横截面上的总应力为(8-1)设横截面上、下边缘处的最大弯曲应力大于（或小于）拉伸正应力，则总应力。沿截面高度方向的变化规律如图8-5

6、e（或85f）所示。由于在固定端处横截面上的弯矩最大，因此，该截面为危险截面。从图85e可知,构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。在下边缘处由于仃和仃''均为拉应力，故总应力为两者之和，由此得最大拉应力为-t maxN M maAWZ在上边缘，由于a为拉应力，而仃''为压应力，.故总应力为两者之差，由此得最大压应力max-cmaxAWZ(83 )上两式中的Mmax为危险截面处的弯矩；。Wz为抗弯截面系数。得到了危险点处的总应力后，即可根据材料的许用应力建立强度条件:(84 )NMmax.L_1-tmaxtAWz、-cmaxA% I(85 )式中口J和卜分

7、别为材料拉伸和压缩时的许用应力。如铸铁和混凝土等， 需用以上两式分 如低碳钢，则只需校核构件应力绝对一般情况下，对于抗拉与抗压能力不相等的材料,别校核构件的强度；对于抗拉与抗压能力相等的材料,值最大处的强度即可。对于偏心拉伸的杆件，上述公式仍然成立，只须将式中的最大弯矩Mmax改为因载荷偏心而产生的弯矩M=Pe即可。若外力P的轴向分力Px为压力或偏心压缩时，上述公式中的第一项N则应取负号。A还应指出，在上面的分析中，对于受横向力作用的杆件，横截面上除有正应力外，还有因剪力而产生的切应力，必要时还需考虑切应力的强度。例81悬臂吊车如图86a所示，横梁用25a号工字钢制成，梁长l=4m,斜杆与横梁

8、的夹角0(=30；电葫芦重Q1=4kN,起重量Q2=20kN,材料的许用应力h】=100MPa。试校核横梁的强度。解：(1)外力计算取横梁AB为研究对象，其受力图如图86b所示。梁上载荷为P=Q1+Q2=24KN,右端斜杆的拉力S可分解为XB、Yb两个分力。横梁在横向力P和Ya、Yb作用下产生弯曲；同时在XA和XB作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。此时，由平衡条件£MA=0,YBlP2=02P得YB=P=12KN2而XB=2-=20.8KNtan300.577又由平衡条件yY=0和ZX=0,得:YA=12KNXA =

9、20.8KN(2)内力和应力计算根据横梁的受力情形，和上面求得的数值，可以绘出横梁的弯矩图如图所示。在梁中点截面上的弯矩最大，其值为8 6cPl 24000 4M max = 24000N *m44从型钢表上查得25a号工字钢的截面面积和抗弯截面系数分别为：_2_ /2A 48.5cm =48.5 10 mWz = 402cm2 =402 10 " m3所以最大弯曲应力为(JB maxmaxWz24000-6402 1059.7 106Pa 60MPa其分布如图86e所示，梁危险截面的上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用横梁所受的轴向压力为N=Xb则危险截面上的压应力为20

10、8000.00485= 4.29 106 Pa 4.29MPa并均匀分布于横截面上，如图86d所示。故梁中点横截面上、下边缘处的总正应力分别为(图86f):max-c maxWZ二 4.29 60 ： 64.3MPaNMt maxmax=-4.2960:55.7MPaAWz(3)强度校核曲于工字钢的抗拉与抗压能力相同，故只校核正应力绝对值最大处的强度即可，即c=64MPa<bIcmax由计算可知，此悬臂吊车的横梁是安全的、例-8-2图87a所示的钻床，钻孔时受到压力P=15kN。已知偏心矩e=40cm,铸铁立柱，的许用拉应力btl=35MPa,许用压应力hc】=120MPa,试计算铸铁立

11、柱所需的直径。图8 "解：(1) 计算内力立柱在力P作用下产生偏心拉伸-,将立柱假想地截开，取上段为研究对象(图8-7b),由平衡条件，不难求得立柱的轴力和弯矩分别为：N=P=15000NM=Pe=150000.4=6000N*m(2) 选择立柱直径由于铸铁的许用拉应力kt1小手许用压应力匕。因此，应根据最大拉应力tmax来进行强度计算。由公式(84),NPet max=+AWZ<35 1061500060002'3二d二d432解此方程就能得到立柱的直径do但因这是一个三次方程，求解较繁。因此，在设计计算中常采用一种简便的方法。一般在偏心距较大的情况下，偏心拉伸(或压

12、缩)杆件的弯曲正应力是主要的，所以可先按弯曲强度条件求出立柱的一个近似直径，然后将此直径的数值稍微增大，再代入偏心拉伸的强度条件(式84)中进行校核，如数值相差较大，再作调整，如此逐步逼近，最后可求得满足此方程的直径。在此题中，先考虑弯曲强度条件M.1WZ6000二d 3 32<35 10632由此解得立柱的近似直径d=0.12m将其稍加增大，现取d=0.12m,再代入偏心拉伸的强度条件校核，得15000'tmax- 3.14 0.1252600061r=32.510=32.5MPa=35MPa3.140.125232满足强度条件，最后选用立柱直径d=0.125mo例83一带槽钢

13、板受力如图88a所示，已知钢板宽度b=8cm,厚度6=1cm,边缘上半圆形槽的半径r=lcm,已知拉力P=80kN,钢板许用应力k】=140MPa。试对此钢板进行强度校核。解：由于钢板在截面I-I处有一半圆槽，因而外力P对此截面为偏心拉伸，其偏心距之值为bb-rr1e=0.5cm2222截面i-i处的轴力和弯矩分别为：N=P=80KN=80000NM=Pe=800000.005=400N*m轴力N和弯矩M在半圆槽底部的。点处都引起拉应力(图88b),此处即为危险点。由式(84)得最大拉应力为PPe800006400二t=-max(b-r)、(b-r)20.01(0.08-0.01)0.01(0

14、.08-0.01)26=163.3106Pa=163.3MPa1一1图fl-8,计算结果表明，钢板在截面I-I处的强度不够。从上面的分析可知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe,使截面I-I的应力显著增加。为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在槽的对称位置再开一槽（图88c）。这样就避免了偏心拉伸，而使钢板变为轴向拉伸了。此时截面I-I上的应力（图88d）为P800001=133.3MPa.=140MPa、（b-2r）0.01（0.08-20.01）由此可知，虽然钢板被两个槽所削弱，使横截面面积减少了，但由于避免了载荷的偏心，因而使截面I-I的实际应力比有一个槽时

15、大为降低，保证了钢板的强度。但须注意，开槽时应使截面变化缓和些，以减小应力集中。8.2弯龈与扭转的组合机械中一般有扭转变形的构件，例如齿轮轴等，在扭转的同时，往往还有弯曲变形。当弯曲的影响不能忽略时，就应按弯曲与扭转的组合变形问题来计算。本节将讨论圆杆在弯曲与扭转组合变形时的强度计算。下面以一个典型的弯曲与扭转组合的圆杆来说明。设有一圆杆AB,一端固定，一端自由；在自由端B处安装有一圆轮，并于轮缘处作用一集中力P,如图8-9a所示，现在研究圆杆AB的强度。为此，将力P向B端面的形心平移，得到一横向力P和矩为02。PR的力偶，此时圆杆AB的受力情况可简化为如图89b所示，横向力和力偶分别使圆杆A

16、B发生平面弯曲和扭转。作出圆杆的扭矩图和弯矩图（图89c、d）,由图89d可见，圆杆左端的弯矩最大，所以此杆的危险截面位于固定端处。危险截面上弯曲正应力和扭转切应力的分布规律如图8-9e所示。由图可见，在a和b两点处，弯曲正应力和扭转切应力同时达到最大值，均为危险点，其上的最大弯曲正应力oB和最大扭转切应力%,分别为：式中M和T分别为危险截面的弯矩和扭矩；W和Wt,分别为抗弯截面系数和抗扭截面系数。如在凸，凸两危险点中的任一点，例如a点处取出一单元体，如图89f所示，则由于此单元体处于平面应力状态，故须用强度理论来进行强度计算。为此须先求单元体的主应力。将dy=0、j=Ob和%=£代

17、入公式（74）,可得:(86)另一主应力二2=0求得主应力后，即可根据强度理论进行强度计算。机械中的轴一般都用塑性材料制成，因此应采用第三或第四强度理论。由式（720）和（721）,如用第三强度理论，其强度条件为二eq3二二1一一将主应力代入上式，可得用正应力和切应力表示的强度条件为°eq3=V0B+4"t-（87）若将式（a）代入上式，并注意到对于圆杆，Wt=2W,可得以弯矩、扭矩和抗弯截面系数表示的强度条件为二 eq3M 2 T2 ,bl(8-8 )如用第四强度理论，则将各主应力代入式(7 21),、-eq4222 .二 1 - ：2 I：-2 - ：3 ：13 - ：

18、1 J可得按第四强度理论建立的强度条件为0 eq4 二.B 3 t -卜(89 )若以式（a）代入，则得,M 2 0.75T-eq4(810 )以上公式同样适用于空心圆杆，只需以空心圆杆的抗弯截面系数代替实心圆杆的抗弯截面系数即可。式（8 7）（810）为弯曲与扭转组合变形圆杆的强度条件。对于拉伸（或压缩）与扭转组合变形的圆杆，其横截面上也同时作用有正应力和切应力，在危险点处取出的单元体，其应力状态同弯曲与扭转组合时的情况相同，因此也可得出式（87）和（89）的强度条件，但其中的弯曲应力ds应改为拉伸（或压缩）应力。例8-4 图8 lOa所示的手摇绞车，已知轴的直径d = 3cm.,卷简直径D

19、 = 36cm,两轴承间的距离l =80cm,轴的许用应力 b =80MPao试按第三强度理论计算绞车能起吊的最大安全载荷Q图8-10可采用第三强度理论，即由公式(88)得、-eq3Mt21.(0.2Q)2 (0.18Q)二 0.0332-80 106解：(1)外力分析将载荷Q向轮心平移，得到作用于轮心的横向力Q和一个附加的力偶，其矩为1口me=-QD,它们代替了原来载荷的作用，且分别与轴承的反力和转动绞车的力矩相干衡。由此得到轴2的计算简图如图8lob所示。(2)作内力图绞车轴的弯矩图和扭矩图如图8l0c、d所示，由图可见，危险截面在轴的中点C处,此截面的弯矩和扭矩分别为：一11八_M=Ql

20、=Q0.8=0.2QN*m44_11_一一T=Ql=Q0.36=0.18QN*m22(3)求最大安全载荷由于轴的危险点处于复杂应力状态，故应按强度理论进行强度计算。又因轴是塑性材料制成的，32Q < 788N由此解得即最大安全载荷为788No例8-5一齿轮轴AB如图8lla所示。已知轴的转速n=265r/min,由电动机输入的功率P=10kW;两齿轮节圆直径为D1=396mm,D2=168mm;齿轮啮合力与齿轮节圆切线的夹角口=20"轴直径d=50mm,材料为45钢，其许用应力匕1=50MPa。试校核轴的强度。解：此轴的受力情况比较复杂，各啮合力和轴承反力都需要简化到两个互相垂

21、直的平面上来处理，(1)计算外力取一空间坐标系oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力和径向力：Ry、Pz和P2y、P2z，它们分别平行于y轴和x轴。再将两个切向力分别向齿轮中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶，其矩分别为：D1D2me=Rz*，mD=P2y*22简化结果，轴的计算简图如图89b所示。由图可见，me和mD使轴产生扭转，Ry、P2y和P1z、P2z则分别使轴在平面Oxy和Oxz内发生弯曲。下面进一步计算有关数据。由式(32)ccPcC10me=mD=9550=9550360Nn2652TC2360则Piz=-=1818NDi0.396_D2因mD=P2y2

22、2Td2360所以P2V=4286NyD20.168又由图811a所示切向力和径向力的三角关系，有Piy=%tan20=18180.364=662NP2z=P2ytan20=42860.364=1560N（2）作内力图、并确定危险截面根据上面的简化结果，需分别画出轴在两互相垂直于面内的弯矩图和扭矩图，为此，须先计算轴的支座反力。平面在Oxz内，由平衡条件可求得轴承A、B处的支座反力为：Za=1747N,Zb=1631N然后可画出平面Oxz内的弯矩Mz图，如图811d中的水平圆形。同样，可求得在平面Oxy内轴承A、B处的支座反力为:Ya=1662N,Yb=3286在平面Oxy内的弯矩从图，如图8

23、11d中的铅垂图形。根据图811b所示的外力偶，画出轴的扭矩图如图811c所示。由弯矩图和扭矩图上可见，在凹段内各截面的扭矩相同，而最大弯矩则可能出现在截面C或D上。截面C、D上的弯矩为该截面上两个方向弯矩的合成。对于圆截面轴而言，无论合成弯矩所在平面的方向如何，并不影响使用弯曲正应力公式来计算弯曲应力，因为合成弯矩的所在平面仍然是圆轴的纵向对称面。与力的合成原理相同，合成弯矩M的数值，等于两互相垂直平面内的弯矩平方和的开方，即m=,my+M2代进数值后，求得截面C和D的合成弯矩分别为：MC=14021332=193N，mMd=13022622=293N*m由比较可知，在截面D上的合成弯矩最大。又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为T=360N*m(3)强度校核对于塑性材料制成的轴，应采用第三或第四强度理论进行计算，用第三理论，则由式(88),eq3. 2932 360230.1 0.05=37.1 106 = 37.1MPa- - 55MPa如采用第四强度理论，则由式(810),- eq4MD 0.75 T2W2932 0.75 36020.1 0.053=34.2 1 06 = 34.2M P a 门-55M P a计算可知，不论是根据第三强度理论，还是第四强度理论，轴的强度都是足够的。必须指出，上述轴的计算是按静载荷情况来考虑的。这样处理在轴的初步设计或估算时是