线性规划总结

1、线性规划题型总结知识点(1)在坐标系中画不等式Ax+By+C0(或0(或00)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线.用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：平面区域二元一次不等式Ax+By+O0(A0,B0)Ax+By+C0(A0,B0)Ax+By+O0(A0,B0,B0(0,00)表示直线Ax+By+C=0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点(x。，y。)，把它代入Ax+By+C0,若不等式成立，则和(x,y)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax+By+C0所表示的区域，当上0时，常取特殊

2、点(0,0)为代表，当C=0时，直线过(0,0),常选(1,0)或(0,1)加以判断.这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”.(4) .求在线性约束条件下的线性目标函数t=ax+by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax+by=0,平移直线ax+by=0,此时，在经过可行域内的点且平行于ax+by=0的直线中，找出对应于t最大(或最小)时的直线，最后求其最值.生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解.题型一：给出具体的变量x,y满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法:(1)画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值

3、;(2)直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。y2例1、已知变量x,y满足约束条件xy4,则z3xy的最大值为()xy1【解析】选B约束条件对应ABC边际及内的区域：A(2,2),B(3,2),C(-,-)22则 z 3x y 8,11例2、若x,y满足约束条件：x2y3;则xy的取值范围为2xy3【解析】xy的取值范围为3,0约束条件对应ABC边际及内的区域：A(0,3),B(0,3),C(1,1)2贝Utxy3,0练习题：x-y101、设变量x,y满足0x+y20,则2x+3y的最大值为(D)0y15A.20B.35C.x

4、y2、若x,y满足约束条件xyx3y45D.551030,则z3xy的最小值为30答案：1x2y23、【2012高考山东理5】已知变量x,y满足约束条件2xy4,则目标函数4xy1z3xy的取值范围是33(A)3,6(B)3,122(C)1,6(D)6,32【答案】Ay24、已知变量x、y满足约束条件xy1,则z3xy的最大值为()xy1A.12B.11C.3D.1顶点C在第一象限5、(2012年高考(课标文)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),若点(x,y)在4ABC内部，则zxy的取值范围是()A.(1-3,2)B.(0,2)C.(3-1,2)D.(0,1+3)6、设函数f

5、(x)lnx,x02x1,x0D是由x轴和曲线yf(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则zx2y在D上的最大值为2.非线性目标函数的的求法：(1)距离型目标函数：目标函数形式为“zx2y2,z后一片，z(xa)2(yb)2。xy4例1、已知点P(x,y)的坐标满足条件yx,点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等y1,于，最大值等于.x1,22,例2、已知x-y10,则x+y的最小值是.2x-y-20,x1,解析：x-y10,画出可行域，得交点A(1,2),B(3,4),则x2+y2的最小值是5.2x-y-20,答案：5xy3练习题：1、设x、y满足条件y0x2y10则D中的点

6、P(x,y)到直线x y 10距离的最两点，则|MN |的最大值是2.设D是不等式组2xy3表示的平面区域0x4y1大值.x3、若M , N是yxx11，一表示的区域内的不同y10y62xy204、如果点P在平面区域xy20上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值2y10x1,5、已知xy10,则x2y2的最小值是2xy20(2)斜率型目标函数：目标函数为2,U1型的，几何意义是可行域内的点与定点(0,0),(xi,yi)xxx1连线的斜率xy20例4.设实数x,y满足x2y40,则y的最大值是.x2y30x0练习题：1、设x,y满足约束条件yx，则x2y3取值范x14x3y12

7、围是yx2、设变量x、y满足约束条件xy2,则最小值为xy3x6例2、已知x，y满足xx21yy500，则号的最大值为，最小值为x2y30题型二：求可行域的面积：关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形xy20,例1、不等式组xy20,表示的平面区域的面积是()x2(A)42(B)4(C)2八(D)2解：可行域是A,B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4xy)，例2、若不等式组2xy02,表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是y)0,xy&a例3、设二元一次不等式组x2y,所表示的平面区域为M,使函数yax(a0,a1)的xy80

8、,J2xy141,例2、已知实数x,y满足yW2x1,如果目标函数zxy的最小值为1,则实数m等于xywm.y的最大值为12,最小x4y30练习题：1、如果实数x,y满足3x5V250，目标函数zkxxyx1值为3,那么实数k为2、若直线y 2x上存在点（x, y）满足约束条件A. -1B. 1C. 32隐形线性规划问题x y 3 0x 2y 3 0,则实数m的最大值为()x mD. 2例1、在平面直角坐标系xOy,已知平面区域A （x,y）|x y 1,且x0,y 0,则平面区域B (x y,x y)|(x, y) A的面积为()A. 2解析：令u vx 2u vu 1u v 0 ,作出区域

9、是等腰直角三角形，可求出面积例 2、 已知正数a,b,c满足5c 3a b a clnc,则上的取值范围 a是 .【答案】e, 7 。【考点】可行域【解析】 条件5c 3a b a clnc可化为:ec设a=X, y=b,则题目转化为： c c3x y 5已知x, y满足x y 4,求上的取值范围。y exxx 0, y 0作出（x, y）所在平面区域（如图）。求出y=ex的切线的斜率e ,设过切点P x0, y0的切线为y=ex m m 0 ,则应exq = e m,要使它最小，须m=0o xoxox，y的最小值在P %, y0 x当（x, y）对应点C时，处，为此时，点P x0y0在y=e

10、x上A B之间。y=4y=5x3x5y=204y=205x12xy=7x =7 ,x.y的最大值在C处，为7。x.y的取值范围为e,7,即b的取值范围是e,7。xax0,练习题：若a0,b0,且当y0,时，恒有axby1,则以a,b为坐标点P（a,b）xy1所形成的平面区域的面积等于,题型四：知识点交汇问题：与不等式，函数，向量等知识进行综合命题例1、已知：点P的坐标（x, y）满足:x 4y 3 0,3x 5y 25,及 A (2, 0),则|OP| cos/ AOP ( Ox10.为坐标原点）的最大值是解：即标aop即为oP在oA上的投影长，由x4y3x5y325aM(5,2),故所求最大值为5例2、设不等式组002,表示平面区域为D,2在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A)4(B)【解析】题目中