最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现

1、精选优质文档-倾情为你奉上最小二乘法的基本原理和多项式拟合一、最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,m)误差(i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,m)绝对值的最大值，即误差 向量的范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差(i=0，1，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,m)的平方和

2、最小，即 从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.61二 多项式拟合假设给定数据点(i=0,1,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2)即 (3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4)式（3）

3、或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出(k=0,1,，n)，从而可得多项式 (5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得 (6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 例1 测得铜导线在温度()时的电阻如表6-1，求电阻R与温度

4、T的近似函数关系。i0123456()19.125.030.136.040.045.150.076.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10解 画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为列表如下i019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.183.902034.013783.890650.085.102500.004255.00024

5、5.3565.59325.8320029.445正规方程组为解方程组得故得R与T的拟合直线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5时，铜导线无电阻。6-2例2 例2     已知实验数据如下表i01234567813456789101054211234试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解 设拟合曲线方程为列表如下I0110111101013592781154524416642561664352251256251050461362161296636571493432401749682

6、645124096161287938172965612724381041001000100004040053323813017253171471025得正规方程组解得故拟合多项式为*三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1 设节点互异，则法方程组（4）的解存在唯一。证 由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组 （7）有非零解。式(7)可写为 （8）将式（8）中第j个方程乘以(j=0,1,，n)，然后将新得到的n+1个方程左右两端分别 相加，得因为其中所以 (i=0,1,m)是次数不超过n的多项式，它有m+1n个相异零

7、点，由代数基本定理，必须有，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组（4）必有唯一解 。定理2 设是正规方程组（4）的解，则是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。证 只需证明，对任意一组数组成的多项式，恒有即可。因为(k=0,1,，n)是正规方程组（4）的解，所以满足式（2），因此有故为最小二乘拟合多项式。*四 多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；拟合节点分布的区间偏离原点越远，病态越严重；(i=0,1,，m)的数量级相差越大，病态越严重。为了克服以上缺点，一般采用以下措施：尽量少

8、作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点关于原 点对称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。平移公式为： (9)对平移后的节点(i=0,1,，m),再作压缩或扩张处理： （10）其中,（r是拟合次数） （11） 经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小，特别对于等距节点，作式（10）和式（11）两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设 为A，则对14次多项式拟合，条件数都不太大，都可以得到满意的结果。变换后的条件数上限表如下：拟合次数1234=1<9.9<50.3<435 在实际应用中还可以利用正交多项

9、式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式；另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程 组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态。我们只介绍第一种，见第三节。例如 m=19,=328,h=1, =+ih，i=0,1,，19，即节点 分布在328,347，作二次多项式拟合时 直接用构造正规方程组系数矩阵，计算可得严重病态，拟合结果完全不能用。 作平移变换用构造正规方程组系数矩阵，计算可得比降低了13个数量级，病态显著改善，拟合效果较好。 取压缩因子作压缩变换用构造正规方程组系数矩阵，计算可得又比降低了3个数量级，是良态的方程组，拟合效果十分理想。

10、如有必要，在得到的拟合多项式中使用原来节点所对应的变量x，可写为仍为一个关于x的n次多项式，正是我们要求的拟合多项式。Matlab实现：在 MATLAB 中可用函数 aa=ployfit(x,y,n)来求得参数a ，从 而实现线性最小二乘拟合(当然也可以实现多项式函数拟合)，其中参数 x 为给定结点数据的横坐标向量，y 为对应的纵坐标向量，n 为多项式的次数(如线性拟合则 n 为 1，二次多项式拟合为 2 等)，函数返回值aa 为拟合的多项式系数。在求得多项式系数后，为了求得多项式的值，可用 MATLAB 函数 y=polyval(aa,x)求得系数为 aa 的多项式在指定点 x 的函数值 y

11、。（1）【例】用多项式最小二乘拟合求电阻R 与温度t 之间的关系 R = at + b ：% 多项式最小二乘数拟合（线性拟合实例）>>t=20.5 32.5 51 73 95.7 r=765 826 873 942 1032>>aa=polyfit(t,r,1) % 插值点，其中1表示一次多项式，即直线>>a=aa(1) % 插值求得一次项系数 a=3.3940>>b=aa(2) % 插值求得常数项系数 b=702.4918>>y=polyval(aa,t) %求得拟合出来的多项式在输入值为x下的y值>>plot(t,r,

12、k+, t,y,r) 图1-1（2）例题对以下数据分别作二次和三次多项式拟合，求得多项式系数，并画出图形。u 二次多项式拟合程序如下：（程序中如果想显示结果就不加分号，图1-2）%多项式最小二乘法拟合，参照（matlab实验实验指导书李新平 实验六）自己做的%多项式表示为y=ax.2+bx+cx=2 4 5 6 7 8 10 12 14 16; r=6.4 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10.2 10.4 10.5 10.6;xs=polyfit(x,r,2); %求的系数矩阵这里是向量xs，其中2表示二次多项式a=xs(1) % 插值求得二次项系数b=xs(2) % 插值求得一

13、次项系数c=xs(3) % 插值求得常数项y=polyval(xs,x) %求得拟合出来的多项式在输入值为x下的y值plot(x,r,'r*',x,y,'b-') %画出通过数据点而拟合出来的曲线u 三次多项式拟合程序如下：（图1-3）%多项式最小二乘法拟合，参照（matlab实验实验指导书李新平 实验六）自己做的%多项式表示为y=ax.3+bx.2+cx+dx=2 4 5 6 7 8 10 12 14 16; r=6.4 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10.2 10.4 10.5 10.6;xs=polyfit(x,r,3);a=xs(1)b=x

14、s(2)c=xs(3)d=xs(4)y=polyval(xs,x)plot(x,r,'r*',x,y,'b-') 图1-2 图1-34、 拟合和插值 【例4.3-6】对于给定数据对x0 , y0 ，求拟合三阶多项式，并图示拟合情况。（见图4.3-1 ） x0=0:0.1:1; y0=-.447,1.978,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22; n=3; P=polyfit(x0,y0,n) xx=0:0.01:1; yy=polyval(P,xx); plot(xx,yy,'-b',x0,y0,'.r','MarkerSize',20),xlabel('x') 【例4.3-7】以上例所给数据，研究一维插值，并观察插值与拟合