有关圆锥曲线的经典结论

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.一、椭 圆点P处的切线 PT平分 PFF2在点P处的外角.PT平分 PF1F2在点P处的外角，那么焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.假设假设FQ(x0,yo)在椭圆点弦P1P2的直线方程是2 x2y2ab22xy2 ab2XqXyoyFq(x0 , yo)在椭圆2 a1上，那么过P0的椭圆的切线方程是XoX2a1外，那么过Po作椭圆的两条切线切点为bi椭圆2b21(a >b >0)的左右焦点分别

2、为F1PF2，那么椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2yoy 1P、那么切F1, F2，点p为椭圆上任意一点bg.2椭圆笃a|MF1 | a2当 1 a > b > 0的焦半径公式：b2exo, IMF21 a eXo(F1(c,O), F2(c,0) M (x。, y。).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和A2Q交于点 M A2P和AQ交于点 N贝U MFLNF.2 2AB是椭圆务 芯 1

3、的不平行于对称轴的弦，M(X。，yo)为AB的中点，那么a bkOM kABb22 ，a即Kabb2xo2 。a yo假设Fq (x0 , y0)在椭圆2x_2a2b 1内，那么被po所平分的中点弦的方程是XoXTayoyb22Xq-2ay。2b2P)(xo,yo)在椭圆2x2a芯 1内，那么过 Po的弦中点的轨迹方程是b2 x 2 ay°yb22yXqXb21.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.、双曲线点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.PT平分 PFF2在点P处的内角，那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点

4、 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.内切：P在右支；外切:P在左支221a> 0,b >0上，那么过F0的双曲线的切线方1 a>0,b > 0夕卜，那么过Po作双曲线的两条假设P)(x0, y0)在双曲线一22a b程是 x°xy°y1程22I .a b22假设P0 (x0, y0)在双曲线一22a b切线切点为R、卩2,那么切点弦P1P2的直线方程是x°2x-y0y1.a b2 2 双曲线x2y2a b1 a> 0,b > 0的左右焦点分别为F1, F2,点P为双曲线

5、上任意-一占八、F1PF2，那么双曲线的焦点角形的面积为S F1PF2b2cot .2双曲线2 2xy2.2ab1a> 0,b > 0的焦半径公式：(h(c,0) ,F2(c,0)当 M (x°, y°)在右支上时，IMF1I ex a , | MF21a .当 M (x°, y°)在左支上时，IMF1Iex0 a, |MF21 ex a设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M N两点，那么MFL NF.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A

6、、A为双曲线实轴上的顶点,AP和A2Q交于点M A2P和AQ交于点 N,贝U MFL NF.2AB是双曲线令ab2a> 0,b >0的不平行于对称轴的弦,M(X°, y°)为 ABb2x°2 ， a y。22x y2.2ab22x°y°212.a b2x 假设P°(x0, y°)在双曲线a的中点，贝V KomK AB即Kab孚。a y°假设P°(x0, y°)在双曲线a>0,b >0内，那么被Po所平分的中点弦2b2a>0,b >0内，那么过Po的弦中点的轨迹

7、X0Xy°ya2b21.2.3.4.5.6.7.椭圆与双曲线的对偶性质 -会推导的经典结论椭 圆2&1 a>b > 0的两个顶点为川a,0), A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于2 过椭圆冷 a线交椭圆于Pl、P2时AP与AP交点的轨迹方程是2社 1 (a >0, b >0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直bB,C两点，那么直线BC有定向且kBc李常数.2假设P为椭圆冷aPF1F2任意一点,sin2a y°a>b>0上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,PF2F1a c，贝Utan cot2 22

8、y b2sin sin0v ew . 2比例中项.2xP为椭圆飞a1 a>b>0的两个焦点为Fi、F2,P异于长轴端点为椭圆上PF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2P，那么有占 1 a> b> 0的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L,那么当b1时，可在椭圆上求一点 P,使得PR是P到对应准线距离 d与PF的那么 2a | AF2|椭圆x x。2a2B2b22 椭圆笃 a1|OP|A2a2|PA|a> b> 0上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点,IPF1Iy。22(yb(Ax0 By°22a | AF1 |,当且仅当A,F2,

9、P三点共线时，等号成1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是C2.七 a > b> 0，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ . b1114a2b2;2|0P| 2+|OQ|2 的最大值为 2 ；3S OPQ| OQ|aba b的最小值是2过椭圆冷a2-2a ba b2y21 a> b > 0的右焦点b2作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦9.10.11.12.13.14.15.16.17.MN的垂直平分线交x轴于p,那么！匚!| MN |2椭圆务a2y_b21 a > b > 0 ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

10、2 b2P(X0,0)，贝y aXoa2 b22设P点是椭圆笃a2y_b71 a >b>0上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记F1PF2，那么I PF11| PF212b2P，2)5卩肝2b2ta巧.2设A B是椭圆爲a2 b, PBA22ab |cos |PAB(1) |PA| 2a2椭圆务a2y_2c2cos2.(2)a > b > 0丨的长轴两端点，P是椭圆上的一点,BPA , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，那么有丄丄2c2ab丄tantan1e .(3)SPAB 22 cotb a2b2 H a > b>0勺右准线丨与x轴相交于点E，过椭圆

11、右焦点F的直线与椭圆相交于 A B两点，点C在右准线丨上，且BCX轴，那么直线AC经过线段EF的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e离心率.注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线1.2双曲线刍a2y21 a>0,b

12、 > 0的两个顶点为 A( a,0) , Aa(a,0)，与 y 轴b2 2平行的直线交双曲线于P1、P2时AP1与A2P2交点的轨迹方程是 孚爲 1.a b2.2 2过双曲线笃占a2 b21a>0,b >o上任一点 A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，那么直线BC有定向且kBCb2x°2常数.a y。3.2假设P为双曲线笃a2& a>0,b > °右或左支上除顶点外的任一点，F J4.5.F 2是焦点，pf1f22 设双曲线笃a为双曲线PFEPF2Fi2y1 a > 0,b >0 b2上任意一点

13、，F1F2P的两个焦点为在 PF1F2sinC - tan cot 或a 22Fi、F2,P异于长轴端点,记 f1pf2，那么有(si nsin ) a2 假设双曲线务 ab 1a >0,b > °的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,那么当1v ew、2 1时，可在双曲线上求一点p,使得PF1是P到对应准线6.2P为双曲线a距离d与PFa的比例中项._yy 1a>0,b >0上任一点,F 1,F2为二焦点，A为双曲线b内一定点，贝V | AF2 | 2a |PA| | PF1 |,当且仅当A,Fa,P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立.2 2

14、7.双曲线Xy 1 a> 0,b > 0与直线Ax By C 0有公共点的充要条a2b2/川曰.22_2,2_ 2件疋A a B b C .x28.双曲线a OQ .且OPb >a > 0，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点,1P ; 2|OP| 2+|OQ|2 的最小值为b22 24ab ;3sOPQb a|OQ |2 a2b2.22b a2过双曲线冷a2的最小值是9.1 a > 0,b > 0的右焦点F作直线交该双曲线的右支于10.11.12.13.M,N两点，弦MN的垂直平分线交 x轴于P,那么2双曲线笃a垂直平分线与|PF | e| MN |22与

15、 1 a> 0,b > 0，A、B是双曲线上的两点, bx轴相交于点P(x0,0),那么x02P点是双曲线冷a其焦点记pf1f2b2 cot.1 2 22xaA B是双曲线一点， PAB离心率，那么有(1)(2) tan tan双曲线2x-2 a线段 AB的线右焦点F轴，那么直线2 2a b卡或x0aa2 b2F1PF22y- 1 b2 1PBAa>0,b >0上异于实轴端点的任一点尸、F22b2,那么(1) |PF1 |PF2| .(2)1 cosa>0,b >0的长轴两端点，P是双曲线上的BPA , c、e分别是双曲线的半焦距|PA|2 y b222ab

16、 |cos | |.2a2b2 丄 门 2cot b a|a22e .(3)2 2c cosS PAB1 a>0,b >0的直线与双曲线相交于 A、AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,点与相应焦点的连线必与切线垂直的右准线丨与x轴相交于点E，过双曲B两点，点C在右准线丨上，且BC x与以长轴为直径的圆相交， 那么相应交15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e离心率.注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴

17、交点分别称为内、夕卜点.17. 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：|AB|x, x2 ,1y1 y22、 直线的一般式方程：任何直线均可写成-，L 1 - A,B不同时为0的形式。3、 知直线横截距 ，常设其方程为_ ：它不适用于斜率为 0的直线 与直线U 垂直的直线可表示为 j 一卜 _ I。4、 两平行线Z间的距离为f门严。5、假设直线与直线' 平行贝y丄-斜率且在轴上截距充要条件6、 圆的一般方程：一-_丄一：丿 上-,特别提醒：只有当"卜时，方程1才表示圆心为 < ，半径为射4"的圆。二元二次方程心+阳+夕+及+孙“0表示圆的充要 条件是-且一且.-一卜、。f = a + rcas57、圆