最新广东省揭阳市-学度高中毕业班学业水平考试理科数学试题

1、揭阳市2022-2022学年度高中毕业班学业水平考试数学理科本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回.考前须知：1. 答题前，考生先将自己的、准考证号码填写清楚2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚.3. 请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在 草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分在每个小题

2、给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的."T1.复数王=十？十；的虚部是()弓B釘A. -B. 2C.匕D.-I222【答案】C【解析】【分析】先用复数除法运算化简，由此求得其虚部.十i飞咅3【详解】依题意z = -一+2 + 1 = ； + 丁，故虚部为匚.所以选C.-i-ii222【点睛】本小题主要考查复数除法的运算，考查复数虚部的概念，属于根底题2集合江，？ L 貳，那么严广丁 -()x-l- 1A. DD B.血 1VI C.D.肛忑Z 釘【答案】C【解析】AI的取值范围，然后求两个集合的交集【分析】解分式不等式求得集合【详解】对于集合，由4H(3C-3XX+ 1)&l

3、t;0，解得|-|<x<3，故 nB = L2,3|，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查两个集合交集的概念及运算，属于根底题3. 命题：假设日n |b|，那么；命题q m、h是直线，ex为平面，假设m 口总u a，贝hi n 以下命题为真 命题的是A.弋 g B. L: C. r - -| D.【答案】B【解析】【分析】利用两边平分的方法判断命题 .是真命题，利用线面平行的性质判断命题.是假命题，由此选出正确的选项.【详解】对于命题广，将工卜:两边平方，可得到卜，故命题兄为真命题对于命题目，直线:：.：，但是w.有可能是异面直线，故命题 为假命题为真命题.所

4、以* ' I，为真命题，应选 B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查线面平行以及两条直线的位置关系，考查含有简单逻辑词命题真假性的判断，属于根底题 .4. 如图是某地区2000年至2022年环境根底设施投资额|y单位：亿元的折线图那么以下结论中表述不正.A. 从2000年至2022年，该地区环境根底设施投资额逐年增加；B. 2022年该地区环境根底设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2022年该地区根底设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ;D. 为了预测该地区2022年的环境根底设施投资额， 根据2022年至2022年的数据时间变量t的值依次为 I：,

5、；：: ；|建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型 卜史:二对，根据该模型预测该地区 2022的 环境根底设施投资额为 256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】 根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项【详解】对于 选项，玄*二心投资总额为用护-处 3亿元，小于 年的I皿亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到卜八1切选项，令上代入回归直线方程得'亿元，应选项描述不正确.所以此题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于根底题5函数取=打国4一的图象大致为D.【答案】A【解析】【分析】j分别令，根据的函数值

6、，对选项进行排除，由此得出正确选项e【详解】由四个选项的图像可知i| I :,，由此排除 C选项令 ，A.由此排除B选项由于皿 点°，排除D选项故本小题选e【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于根底题L K-y-l <0 I Ix6假设满足约束条件_：，那么的最小值为lx>nIZ_A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值【详解】画出可行域如以下列图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为-.应选 D.【点睛】本小题主要考查利用线

7、性规划求线性目标函数的最大值这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求 得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的 位置；最后求出所求的最值 属于根底题7假设靈£,山1鹉4匕©吨曲,贝那么的大小关系为()A.；B. : .一 I'C.菽-j :D.【答案】A【解析】【分析】的大小，由此得到乱工必大小关系即 所以首先利用对数运算比拟的大小，同理利用对数运算比拟【详解】由于B =【。囱X = -log2K =< 1 確啣5 = a，应选A.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查比

8、拟大小的方法，属于属于根底题8假设点卜在抛物线 雹亠 土上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为 B,贝U臥唾=()A. rip B. '2-3 C. 口 D.;【答案】D【解析】【分析】将点 的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立直线曲的方程与抛物线的方程求得 回点的坐标，由此求得IF的值，而T A.FR的夹角为，最后利用数量积的运算求得能.73的值【详解】依题意易得，由抛物线的定义得应空，联立直线 AF的方程与抛物线的方程消去y得計;:.二：匕=门，得、，.应选D.2【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查

9、了向量数量积 的运算属于根底题.8，那么该几何体侧面积的最大值为【答案】CC.D.9某几何体示意图的三视图如图示，其主视图的周长为【解析】【分析】有三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用根本不等式求得侧面积的最大值【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为.，那么_： _-.，又S侧r + 1 r=:'当且仅当7 时"=成立应选C.【点睛】本小题主要考查由三视图复原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用根本不等式求最值， 属于根底题10. 在区间0X上，函数与函数y = L 沁的图象交于点P,设

10、点P在x轴上的射影为P,F的横 坐标为，贝y的值为y=3sinD利用两个函数图像相交,交点的坐标相同列方程， 化简后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得 叫的值【详解】依题意得【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的根本关系式，考查正切的二倍角公式, 属于根底题211. 双曲线c：尙顷的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点F?的对称点为P,点Pa2 b'到双曲线的渐近线距离为 2百，过F的直线与双曲线 C右支相交于 M N两点，假设花氏|二3 ,的周长为10，那么双曲线C的离心率为35A. - B. 2 C. - D. 392【答案】B【解析】【分析】依题意得到P点的

11、坐标，禾U用点P到渐近线的距离列方程，求得 b的值，根据双曲线的定义得吐卜氓周长的表达式，由此列方程求得，的值，进而求得双曲线的离心率2b - 【详解】依题意得点P2gO, =筑=2点我=頂，由双曲线的定义得周长为-la + 6 = 10，由此&十肝得 ，厂2,故上.【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心2 2率的求法，考查分析与求解的能力属于中档题双曲线1的渐近线方程是bx 土即-d根据双曲线的定a' b-义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为12. 如图，在三棱柱中， 底面附匸,/ ACB=90°，

12、让 n號m.护为心=上的 动点，贝y的最小值为A.B. i ； C. 5D.【答案】C【解析】【分析】易得A,丄平面RCCBi，故/匸90".将二面角 讨-BCi 沿nq展开成平面图形，此时的长度即总匕也的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.【详解】由题设知 P为等腰直角三角形，又口丄平面BCC,故/珀C声=90° 将二面角 沿庄T展开成平面图形，得四边形A.CB如图示，由此，CPIPA要取得最小值，当且仅当 9几八三点共线，由题设知/cq.%= 13畀，由余弦定理得 A1C1=3V51+1 -2 x3/5 «cos135* 三弓= 5.【点睛】本小题主要考查空间

13、线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.JE- 1 J fl13. 后十的展开式中-的系数为 ;对%【答案】224【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项公式，化简后求得的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为.；,令，解得 ，故的系数为【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数，属于根底题.14. 假设向量；一1用、 = 1厂2|不共线，且a + b 1 a-b，那么;6-；【答案】3【解析】【分析】先利用I. I. I _ I ，求出F的值，再求F讥的值.【详解】由于肩+ H丄；-E

14、，故二0，即，即一十J = _- J，亠，解得K 土 2 ,2时，a = i.2= -b，两者共线，不符合题意故芯二2所以帚6 =二_4 =齐【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的表示，考查向量模的坐标表示，考查两个向量数量积的坐标表示如果两个平面向量相互垂直，那么它们的数量积为零数量积运算有两种表示形式，一种是利用模和夹角来表示，即|:述另一种是用坐标来表示，即 厂;- v-v;.15. 函数f刈二】4 2孔，假设fnT 亠f2拓W：,那么实数制的取值范围是 ；【答案】【解析】【分析】先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式 m.丨心齐"转化为十1.1 门，解不等式求

15、得的取值范围.【详解】因函数 K为增函数，且为奇函数，fQI弋2302話1 KI “，+ n-I “，解得 I 2 a -【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于根底题.16. ,心 W二|，那么.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦、余弦公式，化简-，由此求得函数的最小正周期，根据 ' ig，0及函数的周期性，求得表达式lwJ M；山咧的值【详解】依题意可得 fg = 2切常，其最小正周期T三®且f币+ f2 +匚+ f0*故心+只 fl2022 =血±1 土回二2$【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变

16、换，考查两角和的正弦公式以及余弦公式，考查三角函数的周期性以及特殊角的三角函数值 两角和与差的正弦、余弦公式是有差异的，要记忆准确，不能记混在求有关年份的题目时，往往是根据题目所给条件，找到周期，再根据周期性来求解三、解答题：共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22题第23题为选考题，考生根据要求做答.一必考题：共60分17. 数列何J的前n项和为鼻，且满足3 =3，2耳I十2 =码 1求数列而的通项公式;2假设等差数列的前n项和为，且，：*%，求数列的前 项和1科bnbu +15【答案】1【解析】【分析】lii'. -

17、 '.|，求得包的值，用用根本元的思想求得帕的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前目项和【详解】解：1当时，由 2S1L + 3 = a11+J 得 门£，又，1令论=眾-远-片三T.求得 的通项公式.2利用1的结论求得的值，利11 J，即数列是首项为3、公比为3的等比数列,显然片1丰0,【点睛】本小题主要考查数列得，解得 ，* = ：- - '1求 的方法，考查利用根本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法根本元的思想是在等差数列中有 个根本量/，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列18. 如图，在三棱锥 P

18、-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形 ABC所在平面互相垂直， AB= BC，O是AC中点，OHL PC于 H1证明：PQ平面BOH2假设oh = OB =占，求二面角 A-BH-0的余弦值.【答案】1详见解析2匹1【解析】【分析】1先证明-平面得到尺:，结合 / I ； ，证得上；丄平面:d 2以 为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面点刃的法向量，计算出二面角 卜-汨-：；】的余弦值【详解】解：1： AB= BC, 0是AC中点， BOL AC又平面PACL平面 ABC且I3OU平面ABC平面PACT平面 ABC= AC, BCL平面 PAC BCL PC 又 OHL

19、PC, BOT 0H= 0, PCL平面 BOH2易知POL AC又BOL平面PAC如图，以0为原点，0B所在的直线为x轴，建立空间直角 坐标系0 - xyz，由:口- 易知主-：；.爲，0C= 2,-HQ 如3),设平面ABH的法向量为- y p； 7叫嚣恋，计霁鼠二，取x=2,得5-閃, 由1知吃是平面BHO勺法向量，易知 ；：,2 ；:阀设二面角A-BH-0的大小为，显然为锐角,|m PC| 125-141 1 辰沢4那么 cosA = |cos < m -面角A-BH-0的余弦值为一=【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角余弦值的方法，属于中档题19

20、某公司培训职工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训 4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组记为甲组、乙组先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标 的职工评为优秀.第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组81620161在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；2每个职工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率i设公司职工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、 的分布列，假设选平均受训时间少的,那么公司应选哪种培训方式？ii按i中所选方式从公司任选两人，求恰有一人

21、优秀的概率.【答案】1竺2i丨应选择培训方式一ii31JR【解析】【分析】1甲组 人中有 人优秀，利用超几何分布概率计算公式，计算得“甲组内任选两人，求恰有一人优秀 的概率 2 可能取值有丽瓦毋，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到 分布列并其算出期望值鼻的所有可能取值为.ki,iI16|,根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概 率，由此得到分布列并其算出期望值根据两个期望值较小的即为选择 3先计算出从公司任选一人，优秀率为，再按照二项分布的概率计算公式计算得“从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率斗【详解】解：1甲组60人中有45人优秀，任选两人，5101520P

22、1111V21511的分布列为481216P21541524J441164、一十 12 K - + 164K =153151515.卫公司应选培训方式一;ii按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为 那么从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为【点睛】本小题主要考查利用超几何分布和二项分布计算概率，考查离散型随机变量分布列及其期望，属 于中档题.20.椭圆:心 I A的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为a" b-(0+冋、01卫卜1求椭圆的方程；2设不经过点 A的直线 与椭圆 交于P、Q两点，且.霁；-:；,试探究直线是否过定点？假设过定点, 求出该定点

23、的坐标，假设不过定点，请说明理由【答案】14-y2直线过定点【分析】i根据圆 的圆心和半径写出圆的标准方程,【解析】令二寸求得圆与日轴交点的坐标，由此列方程组求得壮!的值, 进而求得椭圆的标准方程.1根据匹仝痊，利用点斜式设出直线.的方程，并分别代入椭圆方程解出.两点的坐标，由此求得直线的方程，由此求得定点的坐标为【详解】解：1依题意知点 A的坐标为丄，那么以点A圆心，以 为半径的圆的方程为：X + (yj b)"二令入=订得，由圆A与y轴的交点分别为；工1斗心、©!.fb + a =1-电1 b * a 可得，解得b = l.a =也,故所求椭圆的方程为2由门得应已，可知

24、PA的斜率存在且不为 0，设直线1枫丫亠十1- 那么也丫- 春+ |-将代入椭圆方程并整理得(I十弘十6kx，可得叼=那么冷，6k6类似地可得由直线方程的两点式可得：直线的方程为-匚一.二4k 2即直线.过定点，该定点的坐标为【点睛】本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问题属于中档题要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求 得，这里需要较强的运算能力 直线过定点的问题，往往是将含有参数的局部合并，由此求得直线所过的定 占八、-kx21. 函数心=一二 ER, k¥Q1讨论函数的单调性;，求k的取值范

25、围.2当¥王时,【答案】1详见解析2或【解析】【分析】1将函数求导并化简，对 分成L -：- 'J： - .俩种情况,讨论函数.的单调性2原不等式即X - 1I,当- '1.-：时，将不等式变为x-1e，构造函数 g - <'<< - il，禾U用导数研究函数的单调性,由此求得.的取值范围【详解】解：1-2I-2-kx-k(x - -kxKekxc1 k占一 (kx-l)k占2假设k >0，当时，在亠#上单调递增;当.时，门:、：-.局在m 上单调递减.22假设k<0,当咒时，fg7, f闆在上单调递减;kk当龙 g时呃7在伞十呵

26、上单调递增.a当 时， 在上单调递增，在mi上单调递减;2j当k"时，赵在一叫上单调递减，在 用上单调递增.当吓时，上不等式成立，满足题设条件;r . , X X - 1当时，等价于X - 1，那么2-x kic - x2 *-klnx(x> 1) exgx)-e托xeH时k 上 1，那么 二 2( 1 -刈 kJ < 0，设'曲：在. - ;上单调递减，得 血;：卜： i “当！-以"L ；-，即上二时，得.-；，：:的 ,e：:?：;；在I, * ：上单调递减，得.： I ：，满足题设条件;当1-也、(，即0小亡时，h匚环，而h-h?",

27、%亡1.2：,肚吋=0，又h(xi单调递减，当二2.。，得止空j 在卩九'上单调递增，得I或:它咸為r,不满足题设条件;综上所述,!-'或.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒 成立问题对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往 要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间,从而得到函数的单调区间二选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一 题计分.pc = 2t22. 曲线C的参数方程为t为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线h、卜相互垂直，与曲线c分别相交于a、b两点不同于点o，且q的倾斜角为锐角k.1求曲线C和射线 的极坐标方程；2求厶OAB的面积的最小值，并求此时