202X版高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积及其应用课件

1、5.2平面向量的数量积及其应用高考数学高考数学 (江苏省专用)五年高考A A组组 自主命题自主命题江苏卷江苏卷题组题组1.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若=6,则的值是.ABACAOECABAC答案答案3解析解析本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算.过D作DFEC,交AB于F.D为BC的中点,F为BE的中点,又BE=2EA,EF=EA,又DFEO,AO=AD,=(+).12AO12AD1212ABAC=(+)=.=6,=

2、-+,=3,|=|,=.AOEC14ABAC13ACAB14222133ACAB ACABABACAOECABAC322AC122ABABAC2AB2ACAB3 ACABAC3一题多解一题多解由于题目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90,AB=c,AC=b,建立如图所示的平面直角坐标系.则E,D,易得lAD:y=x,lEC:+=1,联立得解得则O.由=6得6=0,c2=3b2,c=b,=.0,3c,2 2b ccbxb3yc,1,3cyxbxycb,4,4bxcy,4 4b cABACAOEC,4 4b c,3cb3ABAC32.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中

3、点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则的值是.BACABFCFBECE答案答案78解析解析解法一:=(+)(-)=-,同理,=-,=-,因为E,F是AD上的两个三等分点,所以=9,=4,由-可得8=5,即=.由可得=+3=-1+=.解法二:由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=-=(-)-(+)BACAABACADDBADDB2AD2DBBECE2ED2DBBFCF2FD2DB2AD2FD2ED2FD2FD2FD58BECEBFCF2FD15878BEBDDE12BC23DA12BC23AD12ACAB13ABAC16AC56ABCECDDE12CB23DA12CB

4、23AD12ABAC13ABAC=-,=+=+=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,因为=4,所以=4,则=-=-+=-(+)16AB56ACBFBDDF12BC13DA12ACAB16ABAC13AC23ABCFCDDF12CB13DA12ABAC16ABAC13AB23ACBACAABACBFCF13AC23AB1233ABAC19ABAC292AB292AC49ABAC59ABAC292AB2AC=4-(+)=-1,所以+=,从而=-=-+=-(+)+=-+4=.59292AB2AC2AB2AC292BECE16AC56AB1566ABAC5362AB5362AC2636A

5、BAC5362AB2AC2636ABAC5362922636637278解后反思解后反思求解平面向量的有关问题,通常有两种处理方法:一是通过建立直角坐标系,转化为向量的坐标运算来加以解决,二是选择两个不共线的向量作为基底,通过将所求的向量转化为用基底表示的形式来加以解决.一般情况下,运用向量的坐标运算时可操作性强,而运用向量的基底时对思维的要求较高.方法总结方法总结应用基底来处理相关的向量问题时,要注意合理选择向量的基底.一般地,我们在选择基底时,要注意充分利用图形的“对称性”进行选择.3.(2015江苏,14,5分)设向量ak=(k=0,1,2,12),则(akak+1)的值为.cos,si

6、ncos666kkk110k答案答案93解析解析akak+1=cos,sin+cos=coscos+=coscos+sinsin+sincos+cossin+coscos=cos+sin+coscos=+sin+cos2-cossin=+sin+-sin=+sin+cos.因为y=sin,y=cos的周期皆为6,一个周期内的函数值和皆为零,因此(akak+1)=12=9.cos,sincos666kkk(1)6k(1)6k(1)6k6k(1)6ksincos66kk(1)(1)sincos66kk6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k626k6k(1)6k322

7、6k326k126k6k3226k341 cos3k143k3 34(21)6k12(21)6k(21)6k12(21)6k110k3 343B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一平面向量的数量积考点一平面向量的数量积1.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=.答案答案8解析解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法.ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0,m=8.易错警示易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.2.(2019课标全国理改编,3,5分)已知=(2,3)

8、,=(3,t),|=1,则=.ABACBCABBC答案答案2解析解析本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方程的思想方法.考查的核心素养为数学运算.=-=(1,t-3),|=1,t=3,=(2,3)(1,0)=2.BCACABBC221(3)tABBC思路分析思路分析先利用|=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积.BC3.(2019课标全国理改编,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为.答案答案3解析解析本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思想;考查的核心素养是数学建模和数学

9、运算.解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos=,又知0,所以=.解法二:如图,令=a,=b,则=-=a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以AOB=,即=.123OAOBBAOAOB33思路分析思路分析本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.4.(2019课标全国理,13,5分)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos=.5答案答案23解析解析本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计

10、算;通过向量的数量积、夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养.|a|=|b|=1,ab=0,ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,|c|=|2a-b|=3.cos=.5552(25 )ab224a5b4 5a b|a ca c23小题巧解小题巧解不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=.5521 323方法总结方法总结利用数量积求解向量模的处理方法:a2=aa=|a|2或|a|=;|ab|=.a a2()ab5.(2018课标全国理改编,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=.答案答案37解

11、析解析因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.6.(2017课标全国理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案答案23解析解析本题考查平面向量的模与数量积的计算,考查学生的运算求解能力.解法一(公式法):由题意知ab=|a|b|cos60=21=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.解法二(坐标法):根据已知条件建立恰当的坐标系,由题意,不妨取a=(2,0),b=,则a+2b=(3,),所以|a+2b|=2.12313,22322

12、3( 3)37.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|ae|+|be|,则ab的最大值是.6答案答案12解析解析对任意单位向量e,均有|ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|,|a+b|,当且仅当a+b与e共线时,等号成立.a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2,ab,即ab的最大值为.661212考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用1.(2019课标全国文改编,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=.答案答案2解析解析本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养

13、.a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=.22( 1)12一题多解一题多解a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,则|a-b|=.222aa bb 132 1213 22.(2019天津理,14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=.3BDAE答案答案-1解析解析本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.解

14、法一:BAD=30,ADBC,ABE=30,又EA=EB,EAB=30,在EAB中,AB=2,EA=EB=2.以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示.则A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,),=(2,-),=(1,),333BD3AE3=(2,-)(1,)=-1.解法二:同解法一,得AB=2,以,为一组基底,则=-,=+=-,=(-)=-+-=-=52-12-25=-1.BDAE333ABADBDADABAEABBEAB25ADBDAEADAB25ABADADAB2AB25ABAD252AD75ABAD2AB252AD75332253.(2018北京理改编,

15、6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”或“既不充分又不必要条件”)答案答案充分必要条件解析解析本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断.|a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b22a2+3ab-2b2=0,又|a|=|b|=1,ab=0ab.方法总结方法总结1.平面向量模的问题的处理方法:通常是进行平方,转化成平面向量的数量积问题解决.2.充分条件与必要条件的判断方法:(1)直接法:分别判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真

16、假.(2)集合法:设p、q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系进行判断.(3)利用原命题与其逆否命题同真假来判断.4.(2018天津文改编,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2,则的值为.BMMACNNABCOM答案答案-6解析本题考查向量的运算.解法一:连接OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-),=3(-)=3(-|2)=3(21cos120-12)=3(-2)=-6.解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为MON=120,ON=2

17、,OM=1,所以O,C,M,B.故=-=-6.BCACABANAMONOAOMOAONOMBCOMONOMOMONOMOM32,23 30,25,0215,02BCOM15 3 3,2213,22154945.(2018天津理改编,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为.AEBE答案答案2116解析解析本题主要考查数量积的综合应用.解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B,C(0,),令E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,当

18、t=-=时,取得最小值,()min=-+=.解法二:令=(01),由已知可得DC=,=+,=+=+,=(+)(+)=+|2+2|233,2233AEBE33,22t32323322 134AEBEAEBE3163234322116DEDC3AEADDCBEBAAEBAADDCAEBEADDCBAADDCADBAADDCBADC=32-+.当=-=时,取得最小值.3232322 314AEBE2116方法总结方法总结向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.6.(2018浙江改编,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单

19、位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是.3答案答案-13解析解析本题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离.设=a,=b,=e,以O为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A点在第一象限,a与e的夹角为,点A在从原点出发,倾斜角为,且在第一象限内的射线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而=a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=x(x0)的距离减

20、去圆的半径,所以|a-b|min=-1.OAOBOEOE33BA33一题多解一题多解将b2-4eb+3=0转化为b2-4eb+3e2=0,即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e).设=e,=a,=b,=3e,=2e,则,点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图.|a-b|=|,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径.|=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1.OEOAOBONOMEBNBBAOM3337.(2017课标全国理改编,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是.

21、PAPBPC答案答案-32设BC的中点为D,AD的中点为E,则有+=2,则(+)=2=2(+)(-)=2(-).PBPCPDPAPBPCPAPDPEEAPEEA2PE2EA解析解析而=,当P与E重合时,有最小值0,故此时(+)取最小值,最小值为-2=-2=-.2AE232342PEPAPBPC2EA3432方法总结方法总结在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用=-可快速求出最值.PAPD2PE2EA一题多解一题多解以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.(+)=2=2(-1

22、-x,-y)=2=2.因此,当x=-,y=时,(+)取得最小值,为2=-.313,22PAPBPCPAPD13,22xy13(1)22xxyy22133444xy1434PAPBPC34328.(2015福建改编,9,5分)已知,|=,|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于.ABACAB1tACAP|ABAB4|ACACPBPC答案答案13解析解析以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(t0),C(0,t),P(1,4),=(-1,t-4)=17-17-22=13,故的最大值为13.1,0tPBPC11, 4t14tt1,“ ”2t当

23、且仅当时 取PBPC9.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则的最小值为.BEBCDF19DCAEAF答案答案2918解析解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C,D.由=得E,由=得F.33,2213,22BEBC32,22DF19DC113,292从而=+2=当且仅当=时,取等号.AEAF32,22113,2921718292171813291823C C组教师专用题组组教师专用题组考点一平面向量的数量积考点一平面向量的数量积1.(2014课标全国改编

24、,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=.106答案答案1解析解析由|a+b|=得a2+b2+2ab=10,由|a-b|=得a2+b2-2ab=6,-得4ab=4,ab=1.106思路分析思路分析分别对|a+b|=和|a-b|=两边平方,然后作差即可求得ab.106一题多解一题多解设m=a+b,n=a-b,则|m|=,|n|=,且a=(m+n),b=(m-n).则ab=(m+n)(m-n)=(m2-n2)=1.106121214142.(2013课标全国,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t=.答案答案2解析解析解法一

25、:bc=0,bta+(1-t)b=0,tab+(1-t)b2=0,又|a|=|b|=1,=60,t+1-t=0,t=2.12解法二:由题意作=a,=b,=60,|=|=1,设=c,则由c=ta+(1-t)b及bc=0,知A、B、C三点共线且BOC=90,如图,可知C在BA的延长线上,所以A为BC的中点,即a=b+c,所以c=2a-b,所以t=2.OAOBOAOBOAOBOC1212思路分析思路分析可以利用向量的数量积运算列方程求得t值;也可以将题中满足条件的向量用共起点的有向线段表示,从而画出符合条件的几何图形,通过分析图形中向量终点间的位置关系求得t的值.3.(2013课标全国,14,5分)

26、已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.AEBD答案答案2解析解析解法一:=(-)=-+0=22-22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).=(1,2),=(-2,2).从而=(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.AEBD12ADABADAB2AD122AB12AEBDAEBD评析评析本题考查了向量的基本运算.向量的运算可以利用运算法则也可以利用坐标运算.4.(2012江苏,9,5分)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是.2ABAF2A

27、EBF答案答案2解析解析以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,设F(x,2),=(x,2),=(,0),=x=,F(1,2),=.AFAB2ABAF22AEBF25.(2012课标,13,5分)已知向量a,b的夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.10答案答案32解析解析|2a-b|=,(2a-b)2=10,4+|b|2-4|a|b|cos45=10,|b|=3.1026.(2011课标全国文改编,3,5分)设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=-,则|a+2b|=.12答案答案3解析解析因为|a|=|b|=1,ab=-,所以|a+2b|=.

28、122244aa bb 1423考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用1.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|+|的最大值为.PAPBPC答案答案7解析解析解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径.故+=2=(-4,0)(O为坐标原点).设B(cos,sin),=(cos-2,sin),+=(cos-6,sin),|+|=7,当且仅当cos=-1时取等号,此时B(-1,0),故|+|的最大值为7.解法二:同解法一得+=2(O为坐标原点),又=+,|+|=|3+|3|+|=32+1=7,当且仅当与同向时取等号

29、,此时B点坐标为(-1,0),故|+|max=7.PAPCPOPBPAPBPCPAPBPC22(cos6)sin3712cos3712PAPBPCPAPCPOPBPOOBPAPBPCPOOBPOOBPOOBPAPBPC评析评析本题考查向量的坐标运算,向量的模等基础知识,对能力要求较高.2.(2009江苏,15,14分)设向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin).(1)若a与(b-2c)垂直,求tan(+)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tantan=16,求证:ab.解析解析(1)a与(b-2c)垂直,a(b-2c)=ab-2ac=0,即4c

30、ossin+4sincos-8coscos+8sinsin=0,即4sin(+)-8cos(+)=0,tan(+)=2.(2)b+c=(sin+cos,4cos-4sin),|b+c|2=sin2+2sincos+cos2+16cos2-32cossin+16sin2=17-30sincos=17-15sin2,其最大值为32,所以|b+c|的最大值为4.(3)证明:由tantan=16,得sinsin=16coscos,即4cos4cos-sinsin=0,所以ab.2三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组考点一平面向量的数量积考点

31、一平面向量的数量积1.(2019无锡期中,5)已知向量a,b的夹角为120,|a|=4,|b|=3,则|2a+b|的值为.答案答案7解析解析因为ab=|a|b|cos120=-6,所以|2a+b|=7.2(2)ab2244aba b6494 ( 6) 2.(2019南通基地学校3月联考,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(,1)在以原点O为圆心的圆上.已知圆O与y轴正半轴的交点为P,延长AP至点B,使得AOB=90,则=.3BPOA答案答案2解析解析由题意可知圆的半径为r=2,则P(0,2),由AOB=90可得=0,故=(+)=+=(0,2)(,1)=2.2( 3)1OAOBBPOAB

32、OOPOABOOAOPOA33.(2019连云港期中,12)在三角形ABC中,AB=3,AC=1,A=,AD是A的平分线,则=.23ADAB答案答案98解析解析如图所示,AD是A的平分线,=3,=+=+=+(-)=+,=+=+31cos=.BDDCABACADABBDAB34BCAB34ACAB14AB34ACADAB1344ABACAB142AB34ACAB94342398一题多解一题多解AD为A的平分线,A=,BAD=CAD=,SABD+SACD=SABC,ABADsinBAD+ACADsinCAD=ABACsinBAC,3AD+AD=3,AD=,=3cos=.23312121234ADA

33、B343984.(2019靖江检测,11)在等腰梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=1,DAB=60,若=3,=,且=-1,则实数的值为.BCCEAFABAEDF答案答案14解析解法一:=(+)(+)=(+)=(+)=(-)=|2-|2+|cos60=-+=-1.解得=.解法二:如图,建立平面直角坐标系,则E,F(2,0),D,AEDFABBEDAAF43ABBCDAAF4()3ABBAADDCDAAF1433ABADABAD3AB43AD4133ABAD43434133144 2 3,3313,22则=,=,所以=+=-1.解得=.AE4 2 3,33DF132,22AEDF12243

34、2 333214评析评析基底法与建系法是解决向量问题的两种常用方法,要会根据条件选择合适的方法,简化解题过程.5.(2019南京、盐城二模,12)已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高,点P在DA的延长线上,且满足(+)=4.若AD=,则的值为.PBPCAD22PBPC答案答案2解析解析由ADBC,得=0,因为(+)=4,所以(2+)=4,所以=2,即|cos0=2,所以|=2,所以=(+)(+)=+=+|cos=-|=|2-|2=4-2=2.ADDCADBDPBPCAD2PDDBDCAD2PDAD2PDAD2PDPBPCPDDBPDDC2PDDBDC2PDDBDC2PDDBDCPDAD考

35、点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用1.(2017江苏六校联考,12)在ABC中,已知AB=8,AC=6,点O为三角形的外心,则=.BCOA答案答案14解析解析设AB,AC的中点分别为M,N,连接OM,ON,由题意知MOAB,ONAC,从而(-)=0,(-)=0,即=0,=0,所以=32,=18,所以=(-)=-=-18+32=14.AOAMABAOANAC12AOABAB12AOACACAOAB122ABAOAC122ACBCOAACABOAACOAABOA2.(2019如皋期末,12)如图,在四边形ABCD中,已知AB=2,CD与以AB为直径的半圆O相切于点D,且BCAD,若=-1,

36、则=.ACBDADOD答案答案32解析解析因为=-1,所以(+)=-1,所以+=-1,因为AB为直径,BCAD,所以BDBC,所以=0,所以=-1,所以|cos(-ABD)=-1,可得|=1,在RtABD中,易得AD=,OBD=,又OB=OD,所以OBD为等边三角形,所以BOD=,所以ADO=,所以=|cos=1=.ACBDABBCBDABBDBCBDBCBDABBDABBDBD3336ADODADOD633232思路分析思路分析根据题意以及圆的直径所对的圆周角为直角,可得=-1,求得|=1,然后求得OBD为等边三角形,求出BOD=,得ADO=,再利用数量积求得结果.ABBDBD363.(20

37、19海安高级中学检测,13)如图,已知AC=8,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC的同侧作半圆,M,N分别为两半圆上的动点(不含端点A,B,C),且BMBN,则的最大值为.AMCN答案答案4解析解析设NBC=,因为BMBN,所以MBA=-,则BM=ABcos=4sin,则=(-)(-)=-+=-16=-16+=16sin2+16cos-16=-16+44,所以的最大值为4.0,222AMCNBMBABNBCBMBNBMBCBABNBABCBMBCBABNBMBABCBN21cos2AMCN一题多解一题多解以BC所在直线为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设NBC=,因为BM

38、BN,所以MBA=-,则BM=ABcos=4sin,则A(-4,0),C(4,0),N(4cos,4sin),所以M(2cos2-2,2sin2),=(2cos2+2,2sin2),=(4cos-4,4sin),则=(2cos2+2)(4cos-4)+2sin24sin=8cos2cos+8sin2sin+8cos-8cos2-8=-16+44,所以的最大值为4.0,222AMCNAMCN21cos2AMCN4.(2019扬州期中,12)在ABC中,AH是边BC上的高,点G是ABC的重心,若ABC的面积为+1,AC=,tanC=2,则(+)(+)=.65AHBCGBGC答案答案1解析解析在Rt

39、AHC中,tanC=2,AC=,所以解得AH=2,HC=1,故AHC的面积为1,又ABC的面积为+1,所以ABH的面积为,所以BH=.延长BG交AC于点D,因为G为ABC的重心,所以D为AC的中点,以H为原点建立平面直角坐标系,如图.则H(0,0),A(0,2),C(1,0),B(-,0),由中点坐标公式,得D,设G(x,y),5222,5,AHHCAHHC66661,12由=,得(x+,y)=,所以x=,y=,所以G.则+=(0,-2)+(1+,0)=(1+,-2),+=+=,所以(+)(+)=(1+,-2)=+=1.BG23BD62316,121632316 2,33AHBC66GBGC1

40、2 62,33 262,33164,33AHBCGBGC6164,331 63835.(2019南京、盐城二模,15)设向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),其中0,0,且a+b与a-b相互垂直.(1)求实数的值;(2)若ab=,且tan=2,求tan的值.245解析解析(1)由a+b与a-b互相垂直,可得(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所以cos2+2sin2-1=0.(2分)又因为sin2+cos2=1,所以(2-1)sin2=0.(4分)因为00,所以=1.(6分)(2)由(1)知a=(cos,sin).由ab=得coscos+sinsin=,即cos=.(8分)因为

41、0,所以-0,所以sin(-)=-=-.(10分)所以tan(-)=-,(12分)因此tan=tan(-)+=.(14分)24545452221cos ()35sin()cos()34tan()tan1tan()tan126.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,16)已知向量a=(2cos,2sin),b=(cos-sin,cos+sin).(1)求向量a与b的夹角;(2)若(b-a)a,求实数的值.解析解析(1)设向量a与b的夹角为,因为|a|=2,|b|=,(4分)所以cos=.(7分)考虑到0,则向量a与b的夹角为.(9分)(2)若(b-a)a,则(b-a)a=0,即ba-a2=0,(

42、12分)因为ba=2,a2=4,所以2-4=0,解得=2.(14分)22(cossin )(cossin )2| |a bab(2cos ,2sin ) (cossin ,cossin )2 2222cos2sin2 2224一、填空题(每小题5分,共40分)B B组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组(时间：40分钟 分值：55分)1.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,13)如图,在等腰直角三角形ABC中,CAB=90,AB=2,以AB为直径在ABC外作半圆O,P为半圆弧AB上的动点,点Q在斜边BC上,若=,则的最小值为.ABAQ83AQCP

43、答案答案-2 53解析解析以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2),设P(cos,sin),Q(x,y),=,即(2,0)(x+1,y)=,Q,则=,=(cos+1,sin+2),故=cos+-sin-=cos-sin=sin(-),其中tan=2,0,的最小值为-.ABAQ838312,33AQ42,33CPAQCP4343234343232 53AQCP2 532.(2019宿迁期末,12)如图所示,矩形ABCD的边AB=4,AD=2,以点C为圆心,CB为半径的圆与CD交于点E,若点P是圆弧EB(含端点B、E)上的一点,则的取值

44、范围是.PAPB答案答案8-8,02解析解析以C为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.点P的轨迹方程为x2+y2=4(x0,y0),设P(2cos,2sin),又A(-4,-2),B(0,-2),则=(-4-2cos,-2-2sin),=(0-2cos,-2-2sin),所以=8cos+8sin+8=8sin+8,因为,所以+,3,2PAPBPAPB243,2457,44sin,则8-8,0.所以的取值范围是8-8,0.421,2 PAPB2PAPB23.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,12)如图,在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,E,F是AB上的两个三等分点

45、,G,H是AC上的两个三等分点,(+)(-)=-,则bcosC的最小值为.BGCEBHCF109答案答案1解析解析因为=-,=-,=-,=-,所以(+)(-)=-(+)(-)=-,所以AC2-AB2=1,作AMBC,垂足为M,则AC2-AB2=MC2-BM2=1,则bcosC=CM=1.所以bcosC的最小值为1.BG13ACABCE13ABACBH23ACABCF23ABACBGCEBHCF2233ACAB5533ACAB109ABACACAB10921BM 思路分析思路分析从条件看,考虑用基底法去研究,因为等分点在AB,AC上,所以考虑用,作为基底表示其余向量,找到两边关系,然后构造直角三

46、角形,去转化理解bcosC的意义,题目就能够顺利解决.ABAC4.(2019如皋检测,10)在平行四边形ABCD中,A=,AB=2,AD=1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则的取值范围是.3|BMBC|CNCDAMAN答案答案2,5解析解析以AB所在直线为x轴,过A点且垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系,过D点作DE垂直于x轴,垂足为E,则A(0,0),D,B(2,0),C.设=,0,1,M,N,故=-2-2+5=-(+1)2+62,5.13,2253,22|BMBC|CNCD32,22532 ,22AMAN5.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,12)在平

47、面四边形ABCD中,AB=1,DA=DB,=3,=2,则|+2|的最小值为.ABACACADACAD答案答案25解析解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.则A(0,0),B(1,0),又DA=DB,所以设D,因为=|cosCAB=3,所以设C(3,n),又=2,所以mn=,故|+2|=2.1,2mABACACACAD12ACAD224(2 )nm221644nmmn22184mn184mn5当且仅当即或时,取“=”.故|+2|的最小值为2.2,1,2mnmn1,21mn1,21mn ACAD56.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,14)如图,在ABC中,=,=,

48、CD与BE交于点P,AP=1,BC=4,=2,则的值为.AD12ABAE13ACAPBCABAC答案答案13解析解析设=,=+=(1-)+=(2-2)+.D,P,C三点共线,2-2+=1,解得=.=+.AP=1,BC=4,=2,解得=.BPBE13BAACAPABBPAB3ACAD3AC335AP25AB15ACAPBC2222211,55()16,21()2,55APABACBCACABAP BCABACACABABAC137.(2018南通第一次调研,12)如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,AD=1.点P,Q分别在边BC,CD上,且PAQ=45,则的最小值为.APAQ答案答案4-42解析解析解法一:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1).设PAB=,则=(2,2tan),=tan,1,因为=(2,2tan)=2tan+2tan=+2tan=+2tan-2=+2(tan+1)-44-4,当且仅当tan=-1时“=”成立,所以的最小值为4-4.解法二:设PAB=,则DAQ=-,则AP=,AQ=,=|cos=APAQ410tan2APAQtan,1442(1tan )1tan41tan41