在平面直角坐标系中画位似图形

1、第二十七章 相 似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结27.3 位 似第2课时 平面直角坐标系中的位似1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之 间的联系2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握 把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变 化的规律. (重点、难点)3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的 异同，并能在复杂图形中找出来这些变换.学习目标 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？平面直角坐标系中的位似变换一讲授新课讲

2、授新课1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0) 以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩 小，观察对应点之间坐标的变化.13合作探究24646B244xyABAABO如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A ( ， )，B ( ， )；A ( ， )，B ( ， ).2 12021202. ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)， C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.24646244xyAB2810C268108BACABC如图，把 ABC 放大后 A，B，C 的对应点为A

3、( ， )，B ( ， )，C ( ， )；A ( ， )，B ( ， )，C ( ， ).464210 4464210 4问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 两个两个K-k1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作两个2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的 坐标的比为k3. 当 k1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0k1 时，图形缩小为原来

4、的 k 倍 归纳：归纳： 一般地，在平面直角坐标系中，如果以一般地，在平面直角坐标系中，如果以 原点原点为位似中心，画出一个与原图形位似的为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为图形，使它与原图形的相似比为k，那么与，那么与原图形上的点（原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的）对应的位似图形上的点的坐标为点的坐标为 或或 .（kx，ky）（-kx，-ky）即：位似图形中对应点的坐标的变化规律：即：位似图形中对应点的坐标的变化规律：（课本（课本P49-第第3段）段）1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)， B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第

5、一象限内 将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD，则 端点 D 的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) 练一练DxyABCD2. ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 ABC 三 个顶点分别为 A (1，2)，B (2， )，C ( ， )， 则 ABC 与 ABC 的位似比是 . 2323131 : 3典例精析例1 如图，在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A (2，4)，B (2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与

6、ABO 的相似比为 3 : 2.246224xyABO246224xyABO提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A 的坐标为 ，即(3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.332422 ，解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A (3，6)，B (3，0)，O (0，0).AB 顺次连接点 A ，B ，O，所得的 A B O 就是要画的一个图形.还有其他画法吗？自己试一试. 例2、在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 O

7、ABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3.练一练OC解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A (4，0)，B (2，4)，C (2，2)，用线段顺次连接O，A，B，C.2324646B244xyABAC画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A (4，0)，B (2，4)，C (2，2)，用线段顺次连接O，A，B，C.23OC24646B244xyABAC3、如图，把、如图，把AOB缩小后得到缩小后得到COD，求，求COD与与AOB的相似比。（课本的相似比。（课本P50-练

8、习练习-1）解：解：AOBAOB缩小后得到缩小后得到CODCOD CODCODAOBAOB52OBODk答：答：CODCOD与与AOBAOB的相似比为的相似比为2:52:5。4 4、如图，、如图，ABOABO三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为A A（4 4，-5-5），），B B（6 6，0 0），），O O（0 0，0 0），以原点），以原点O O为位似中心，把这个三角形放大为位似中心，把这个三角形放大为原来的为原来的2 2倍，得到倍，得到A AB BO O，写出，写出A AB BO O 三个顶三个顶点的坐标。（课本点的坐标。（课本P50-P50-练习练习-2-2）解：解：ABO三个顶

9、点的坐三个顶点的坐标分别为标分别为A（4，-5），），B（6，0），），O（0，0），以原点），以原点O为位似中心，把这个三角形为位似中心，把这个三角形放大为原来的放大为原来的2倍，倍，A（8，-10）、）、B（12，0）、）、C（0，0）或）或A（-8，10）、）、B（-12，0）、）、C（0，0）这题目有两种答案，这里只要求学生回答出其中一种。这题目有两种答案，这里只要求学生回答出其中一种。5、ABC三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为A（2，2），），B（4，2），），C（6，4），以原点），以原点O为位似中心，将为位似中心，将ABC缩小得到缩小得到DEF，使，使DEF与与ABC对应

10、边的比为对应边的比为1:2，这时，这时DEF各个顶点的坐标分别是多少？（课本各个顶点的坐标分别是多少？（课本P51-3）解：解：ABC三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为A（2，2），），B（4，2），），C（6，4），以原点），以原点O为位似中心，为位似中心，将将ABC缩小得到缩小得到DEF，使，使DEF与与ABC对对应边的比为应边的比为1:2，A（1，1）、）、B（2，1）、）、C（3，2）或或A（-1，-1）、）、B（-2，-1）、）、C（-3，-2）6、如图，矩形各点的坐标分别为、如图，矩形各点的坐标分别为A（0，3），），O（0，0），），B（4，0）C（4，3），以原点），以原

11、点O为位似中心，为位似中心，将这个矩形缩小为原来的将这个矩形缩小为原来的 ，写出新矩形各顶点的，写出新矩形各顶点的坐标。（课本坐标。（课本P51-5）21解：新矩形的各顶点的坐标分解：新矩形的各顶点的坐标分别为：别为：A A1 1（0 0，1.51.5），），O O1 1（0 0，0 0），），B B1 1（2 2，0 0），），C C1 1（2 2，1.51.5），），或或A A2 2（0 0，-1.5-1.5），），O O2 2（0 0，0 0），），B B2 2（-2-2，0 0），），C C2 2（-2-2，-1.5-1.5）。）。平面直角坐标系中的图形变换二 至此，我们已经学习了四种

12、变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？四种变换的特点：四种变换的特点： 平移、轴对称、旋转都是全等变换，变换前后的图形是全等形，而位似变换前后得到的图形一般不全等的，是相似的。7. 在 1313 的网格图中，已知 ABC 和点 M (1，2). xyABC(1) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 ABC的 位似图形 ABC； MABC解：如图所示. (2) 写出 ABC 的各顶点坐标.答：ABC 的各顶点坐标分别为 A (3，6)，B (5，2)，C (11，4).以某一点为位似中心时，画放大的图形的方法以某一点为位似中心时，

13、画放大的图形的方法1：（1）先写出原图形上的各个顶点的坐标；）先写出原图形上的各个顶点的坐标；（2）以某一点为位似中心时，把这一点当作是坐）以某一点为位似中心时，把这一点当作是坐标原点，然后写出原图形上的其它点的坐标，把前标原点，然后写出原图形上的其它点的坐标，把前后两个坐标相加就得到所求的图形的坐标；后两个坐标相加就得到所求的图形的坐标；（3）依次连接各个点就得到所画的图形。）依次连接各个点就得到所画的图形。以某一点为位似中心时，画放大的图形的方法以某一点为位似中心时，画放大的图形的方法2：（1 1）以某一点为位似中心时，把这一点当作是坐标原）以某一点为位似中心时，把这一点当作是坐标原点，然

14、后写出原图形上的其它点的坐标，把求出的新坐点，然后写出原图形上的其它点的坐标，把求出的新坐标乘以放大或缩小的倍数就得到所求的图形的坐标，再标乘以放大或缩小的倍数就得到所求的图形的坐标，再加上位似中心原来的坐标就是所求的坐标。加上位似中心原来的坐标就是所求的坐标。（2）依次连接各个点就得到所画的图形。）依次连接各个点就得到所画的图形。 8、将图中的 ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；(2) 关于 x 轴对称；(3) 以 C 为位似中心，将ABC 放大2倍；(4) 以 C 为中心，将ABC 顺时针旋转180 解：由图观察可

15、知：解：由图观察可知：A A（0 0，-1-1）、）、B B（1 1，2 2）、）、C C（2 2，1 1），）， (1) (1) 沿沿 y y 轴正轴正向平移向平移 3 3 个单位长度得到个单位长度得到的坐标分别为的坐标分别为A A1 1 (0,2) (0,2) 、B B1 1 （1 1，5 5）、）、C C1 1 （2 2，4 4）. .xyABC0A1B1C1 8、将图中的 ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；(2) 关于 x 轴对称；(3) 以 C 为位似中心，将ABC 放大2倍；(4) 以 C 为中心，将ABC

16、 顺时针旋转180 xyABC解：由图观察可知：解：由图观察可知：A A（0 0，-1-1）、）、B B（1 1，2 2）、）、C C（2 2，1 1），）， (2) (2)关于 x 轴对称得到的坐标分别为得到的坐标分别为A A2 2 (0,1) (0,1) 、B B2 2 （1 1，-2-2）、）、C C1 1 （2 2，-1-1）. .A1B1C10 8、将图中的 ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；(2) 关于 x 轴对称；(3) 以 C 为位似中心，将ABC 放大2倍；(4) 以 C 为中心，将ABC 顺时针旋转

17、180 xyABC解：由图观察可知：解：由图观察可知：A A（0 0，-1-1）、）、B B（1 1，2 2）、）、C C（2 2，1 1），）， (3) (3) 以 C 为位似中心，将ABC 放大2倍得得到的坐标分别为到的坐标分别为A A3 3 (-2,-3) (-2,-3) 、B B3 3 （0 0，3 3）、）、C C3 3 （2 2，1 1）A3B30 8、将图中的 ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；(2) 关于 x 轴对称；(3) 以 C 为位似中心，将ABC 放大2倍；(4) 以 C 为中心，将ABC 顺时

18、针旋转180 xyABC解：由图观察可知：解：由图观察可知：A A（0 0，-1-1）、）、B B（1 1，2 2）、）、C C（2 2，1 1），）， (4) (4)以 C 为中心，将ABC 顺时针旋转180得到的坐标分别为得到的坐标分别为A A4 4 (4,3) (4,3) 、B B3 3 （3 3，0 0）、）、C C1 1 （2 2，1 1）. .A4B409、如图，图中的图案与、如图，图中的图案与“A”字图案（虚线图案）字图案（虚线图案）相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？关系？（课本（课本P52-综合运用综合运用-6）yxy

19、x对应点的横坐对应点的横坐标加倍，纵坐标加倍，纵坐标不变。标不变。对应点的横对应点的横坐标不变，坐标不变，纵坐标加纵坐标加 倍倍。9、如图，图中的图案与、如图，图中的图案与“A”字图案（虚线图案）字图案（虚线图案）相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？关系？如图（如图（1 1），图中的图案与），图中的图案与“A”A”字图案（虚线图案）字图案（虚线图案）相比，变相比，变“胖胖”了，对应点的纵坐标不变，横坐标是了，对应点的纵坐标不变，横坐标是原来的原来的2 2倍；倍；如图（如图（2 2），图中的图案与），图中的图案与“A”A”字图案（虚线图案

20、）字图案（虚线图案）相比，变相比，变“高高”了，对应点的横坐标不变，纵坐标是了，对应点的横坐标不变，纵坐标是原来的原来的2 2倍倍 10、如图，以点、如图，以点Q为位似中心，画出与矩形为位似中心，画出与矩形MNPQ的的相似比为相似比为0.75的一个图形。（课本的一个图形。（课本P52-7）解：解：M M、N N、P P、Q Q的的坐标分别为坐标分别为(2,1)(4,1)(4,5)(2,(2,1)(4,1)(4,5)(2,5)5)，新坐标分别为，新坐标分别为M M1 1 (2,2)(2,2)、N N1 1 (3.5,2) (3.5,2)、P P1 1 (3.5,5), (3.5,5),画出图形画

21、出图形. . 9 9. . 如图，如图，ABCABC 在方格纸中在方格纸中. . (1) (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A A (2 (2，3)3)，C C (6 (6，2)2)，并求出，并求出 B B 点坐标；点坐标；解：如图所示解：如图所示， B B (2(2，1).1).xyO(2) 以原点以原点 O 为位似中心，位似比为为位似中心，位似比为 2，在第一象限内，在第一象限内 将将 ABC 放大，画出放大后的图形放大，画出放大后的图形 ABC；xyOABC解：如图所示解：如图所示. .利用位似图形利用位似图形中对应点的坐中对应点的坐标的变化规律

22、标的变化规律，分别取点，分别取点A A1 1(4,6),B(4,6),B1 1(4,2(4,2),C),C1 1(12,4).(12,4). (3) 计算计算ABC的面积的面积 S.xyOABC解：解：14 8=16.2S 平面直角坐标系中的位似平面直角坐标系中的位似变换课堂小结课堂小结平面直角坐标系平面直角坐标系中的图形变换中的图形变换坐标变化规律平面直角坐标系中的位似图形的画法1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C当堂练习当堂练习2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位 似的直角三角形，可不小心把 E 点