相似三角形典型模型及例题

1、1:相似三角形模型1#:相似三角形判定的基本模型（一） A字型、反A字型（斜A字型）#（二） 8字型、反8字型#A（平行）（蝴蝶型）#（四）一线三等角型:#三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:2（五）一线三直角型:三直角相似可以看着是"一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方 形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：3当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造

2、完整的三直角型相似, 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型:#:相似三角形判定的变化模型一线三等角的变形#¥AK/I/x/*B丘C-. . . i一线三直角的变形2:相似三角形典型例题(1) 母子型相似三角形例1 :如图，梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于 E.2求证：OC = OA OE .例2:已知：如图， AABC中，点E在中线AD上，.DEB二.ABC .求证：(1) DB2 = DE DA; (2) . DCE 二/DAC .例3 :已知：如图，等腰 AABC中，AB= AC, AD丄B

3、C于D, CG/ AB, BG分别交AD、AC于E、F . 求证：BE2 = EF EG .21、如图，已知 AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证：FD FB FC .D- C2、已知：AD是RtABC中/ A的平分线，/ C=90° , EF是AD的垂直平分线交 AD于M , EF、BC的延长线交于一点 N。求证： AAMENMD; (2)ND2=NCNBA3、已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90° , CD丄AB于D, E是AC上一点，CF丄BE于F。 求证：EB-DF=AE DB4. 在 ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H , EF_BC，垂

4、足为F,延长AD到G,使DG=EF , M是AH的中点。求证：- GBM = 90G5已知：如图，在 RtABC中，/ C=90 °, BC=2 , AC=4, P是斜边 AB上的一个动点， PD丄AB，交边 AC 于点D (点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且/ EPD = / A.设A、P两点的距离为 x, BEP 的面积为y. (1)求证：AE=2PE;(2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3) 当ABEP与ABC相似时，求 ABEP的面积.B(2)双垂型1 如图，在 ABC中，/ A=60° BD、CE分别是 AC、AB上的高 求证：(1)

5、 AABDACE ; (2) AADEABC ; (3)BC=2ED2、如图，已知锐角ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高,ABC 和 ABDE的面积分别是 27和3,7#DE=6 2，求：点B到直线AC的距离。(3)共享型相似三角形#1、AABC是等边三角形，DBCE在一条直线上，/DAE=120 ° ,已知BD=1 , CE=3，求等边三角形的边长#2、已知：如图，在 Rt AABC 中，AB=AC ,Z DAE=45 °求证：(1) ABE sMCD ;(2) BC2 =2BE CD .#(4) 一线三等角型相似三角形例 2: (1)在:ABC 中，AB = A

6、C点B重合)，且保持.APQ =/ABC.例1 :如图，等边KBC中，边长为(1) 求证： ABDECFD(2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE若点P在线段CB上(如图)，且BP =6，求线段CQ的长;若BP = x , CQ = y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;C8#(2)正方形ABCD的边长为5 (如下图)，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持NAPQ =90。当CQ =1时，求出线段 BP的长例 3 :已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC ,且 AD = 5, AB = DC = 2 .(1) 如图8, P为AD

7、上的一点，满足/ BPC = Z A. 求证；MBPsA DPC 求AP的长.(2) 如果点 P在AD边上移动(点 P与点A、D不重合)，且满足/ BPE =Z A, PE交直线BC于点E, 同时交直线DC于点Q,那么 当点Q在DC的延长线上时，设 AP = x, CQ = y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 当CE = 1时，写出AP的长.例4:如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB二CD二BC=6 , AD =3 点M为边BC的中点，以M为顶点作.EMF二/B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF (1) 求证： MEFBEM ；(2) 若AB

8、EM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3) 若EF _CD，求BE的长.9#1、如图，在 ABC中，AB=AC=8 , BC =10 , D是BC边上的一个动点，点 E在AC边上，且.ADE C (1)求证：ABDDCE ; 如果BD = x , AE = y，求y与x的函数解析式，并写出自变量 x的定义域;当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在 AABC中， AB=AC=6, BC=5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE,并作 DEF二/B，射线EF交线段AC于F.(1) 求证：ADBEECF;(2) 当F是线段AC中点

9、时，求线段 BE的长；(3) 联结DF，如果ADEF 与 DBE相似，求FC的长.BEC3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且 BP=2 .求证：ABEPsCPD ;2)如果点P在BC边上移动(点 P与点B、C不重合)，且满足/ EPF = / C, PF交直线CD于点F , 同时交直线 AD于点M,那么 当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=X , DF= y，求y关于X的函数解析式，并写出函数的 定义域；9 当S dmf S bep时，求BP的长.an11#4、如图，已知

10、边长为3的等边ABC，点F在边BC 上, CF二1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG, FG交直线AC于点M , N ,(1) 写出图中与 BEF相似的三角形；(2) 证明其中一对三角形相似；(3) 设BE =x,MN = y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(4)若AE =1，试求GMN的面积.(5) 线三直角型相似三角形 例1、已知矩形ABCD 中, CD=2 ,AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE _ CP ,12交边AB于点E,设PD =x, AE = y，求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围。

11、例 2、在:ABC 中，.C =90°,AC =4,BC =3,0 是 AB 上的一点，且AC 2，点P是AC上的一个动点，PQ _ CP交线段BC于点Q, (不AB 5与点B,C重合)，设AP二x,CQ二y，试求y关于x的函数关系，并写出 定义域。31在直角 ABC中，.C =90°,AB =5,ta nB，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF _ DE4交射线AC于点F(1) 、求AC和BC的长(2) 、当EF / BC时，求BE的长。(3) 、连结EF,当心DEF和 MBC相似时，求BE的长。B13#By,求y关于x的函数关系式，并写出定义域B2在直角三角形

12、ABC中，/C =90°, AB =BC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，(与A,C不重合)，DF _ DE ,DF与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证： DE二DFADDE如古、当m，求 的值DBDFAD 1(3)、当 AC = BC = 6,=一，设 AE = x,BFDB 233.如图，在；ABC中，.C =90 , AC =6 , tanB, D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点,4作.DEF =90 , EF交射线BC于点F 设BE二x , BED的面积为y （1 ）求y关于x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；（2）如果以B、E、