客房预订的价格和数量

1、客房预订的价格和数量摘要经过分析可知，本题是关于客房预订和数量的问题。此类问题可以通过建立数学模型，运用线性回归方程来求解。在宾馆追求利润最大化的前提下，宾馆一方面要保持自己的信誉度，又要尽最大的努力去寻求更多的客户。根据市场需求情况，在旅游的淡季和旺季又要有不同的价格，而且还要尽量减少客房预定的不确定因素。对于问题一，通过我们所学到的数学知识将多元线性回归方程模型转化为一元线性回归方程模型，通过题目所给的表一（见附录），利用Eviews软件做出散点图，通过散点图我们可以看出从2005.10-2010.3期间，该宾馆的标准间月平均价格呈线性关系，而且该散点图直观的表示出每年的标准间月平均价格呈

2、上升趋势且周期大致为一年，利用MATLAB软件算出不同年份的相同月份的线性关系，并根据已知数据进行合理的检验，利用这些线性关系很好地预测了未来一年内该宾馆标准间的参考价格。对于问题二，通过概率学和统计学对总统套房，豪华套房，标准间，进行合理化的假设和分析，利用概率学中的知识列出预订成功且按时入住和预订成功但预订客房已满的客户，以及预订成功但被挤掉的客户之间的概率关系，通过计算以及检验,给该宾馆制定了一个合理的客房数量的预订策略，让宾馆总统套房最多预定20套,豪华套房预订103套,标准间预定515套.使该宾馆在不承担信誉风险的情况下获得最合理的利润。通过计算和检验所得出的结果,准确的估算出宾馆未

3、来一年的标准间价格,和所需要预定的总统套房，豪华套房，标准间的数量，从而制定出较为合理的策略,使宾馆在得到信誉保障的同时,也得到了较合理的利润。关键词：客房预订的价格和数量 线性回归模型 统计学 eviews matlab 检验1 问题重述2006-随着国家经济水平的提高，国民生活越来越丰富，推动了旅游业的发展。特别是在春节，五一，十一黄金周等节假日，现有一某著名旅游景区供举办会议和游客使用的宾馆。该宾馆可以通过电话或者互联网预定。但是存在不确定性，客户很有可能因为各种原因取消预定，这样就会给宾馆造成经济损失。为了获取更大的利润，宾馆需要一方面争取更多的客户，另一方面又需要减少客户预订后取消的

4、损失。该宾馆采取的措施有：客户需要预付第一天房费做定金，若客户在前一天取消预订则房费如数退还，若客户没有在规定的时间内取消预约，则不退房费。另外，为了获得利益最大化宾馆在旅游旺季房价会比较高，在旅游淡季会比较低。（1） 运用所学的知识给宾馆建立一个预定价格的数学模型，并对表一（见附录）给出2005.102010.3期间每月的平均价格进行实例分析，用自己所建的模型说明价格变动规律，并估计未来来一年中的标准房参考价格。（2） 当节假日到来的时候，也就是旅游景点旅游旺季到来的时候，宾馆为了减少客户取消预订宾馆时的损失往往会预定超出实际套数的客房，但也会有超出客房数的情况出现，为此宾馆有两种方法，一，

5、给客户升级客房，但这样宾馆会有所损失；二，通过赔款来解决纠纷。现在宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套。现为宾馆制定一个合理的预定策略。2 问题分析本题给出了某著名景区的宾馆2005.10-2010.3月的标准间月平均价格，要求在这些数据的参考下制定一个预订价格的数学模型，这样就把实际生活中的问题转换为用数学知识解决的模型，在建立模型的过程中采用线性回归模型，先求出每一年，每一个月的线性函数，针对每一个函数进行解答，利用函数对未来一年内的价格进行预测。在建立模型的过程中需要很全面的考虑到各种因素，比如节假日给宾馆带来的影响，在节假日到来的时候会有很多旅客外出游玩，这个时候就是

6、该宾馆旺季的时候，价格也会有所变动。问题一，经过参考题目中所给的数据，为了更好地了解一年中旅游的淡旺季，通过日历了解到2005年到2010年每个假期所在的月份，这样可以尽量的在建立模型的时候减少误差。然后可以采用Matlab，Eviews等软件画出散点图，这几年整体呈上升趋势，并且每一年近似为一个周期，经过分析不同年的同一个月份呈线性关系，对于所画的散点图，采用一元线性回归方程建立线性回归模型，并将未来一年的不同月份带入进行预测。问题二从实际问题出发,考虑到旅游旺季,若有超出客房数的客户出现没有及时的处理,就会给公司带来信誉问题,这是公司最忌讳的.因此,这实际上是一个动态问题,为了让宾馆得到一

7、个较优的策略解决此类问题,应用统计学的方法-数学期望(均值),来表示宾馆的利润:运用概率 (k=0,1,2n) 计算出宾馆n人中有k人未能按时入住的概率,进而检验计算出宾馆最多能预定的各种套房的数量,在宾馆的利润达到最平衡时是否合理,并且不会使宾馆有信誉担忧.3. 模型假设与符号说3.1：模型假设1.每个客户都是相互独立的。2.客房全部通过互联网或者电话预定。3.未来重大经济不影响宾馆的价格。4.假设豪华套房和总统套房预订不超出宾馆的套房数。5.当预订的标准间套房数超出宾馆现有的套房数时优先考虑通过升级套房解决问题，当所有的套房均已住满不能通过升级套房来解决问题的时候再考虑通过赔偿解决。3.2

8、:符号说明 ：表示年份 ：表示宾馆的价格 ：宾馆留下的套房数 ：被挤掉的客户数 ：一个已经订客房的客户能按时入住的概率 ：一个已经订客房的客户未能按时入住的概率 ：宾馆可预订的客房数 ：人中有人未能按时入住的概率 ：一个客户预定的费用 ：宾馆每天的成本 ：一位预订客户被挤掉的赔偿 ：一天利润 ：利润的平均值4 模型的建立与求解4.1.1问题一 建立线性回归模型来解决问题。看到题目所给大量的数据，首先采用Eviews软件将这些比较复杂的大量数据转化成散点图，再结合MATLAB软件写出不同年份的相同月份的一元线性函数，随后进行一元线性回归方程的计算，最后将数据带入进行检验和预测。一元线性回归方程是

9、一个反映一个因变量与一个自变量之间线性关系的方程，当直线方程中的a和b确定时，就是一元线性回归方程。题目中给出了2005.10-2010.3月的标准间月平均价格，数据量大。经过分析后，利用软件制成散点图。如图一图一：2005.102010.3月标准间月平均价格散点图在2005年到2010年随着我国的GDP每年以11.4%的速率增长，人均收入的提高，以及社会保障的投入等使得人均消费水平得以提高。所以通过上图可以大致的看出，这几年整体呈上升趋势，经过对2005.10月到2010.3月之间的节假日所在的月份进行分析可知，在这几年节假日所在的月份大致不变，旅游旺季一般都是在节假日，所以从图上可以大致的

10、看出每一年近似为一个周期，经过析不同年的同一个月份呈线性关系。如上图所示的散点图，虽然这些点不在同一条直线上，但是可以从中找到一条合适的直线，使得各个散点到这条直线的纵向距离之和最小，这条直线就是所找的回归直线，这样就能求出多元线性回归方程。 (1) （2） （3） 对于（1）式，表示标准间的平均价格，代表常数，代表一元线性回归方程的系数，表示的是年份，若想计算该宾馆任意一年标准间价格，带入到方程中即可。 为了更好的，更直观的观察每一年每一月的价格情况，我们绘制出了折线图，从图中可以更好地看出每一年每一月份的价格走势。如图二图二：2005.102010.3月标准间月平均价格折线图由于数据量比较

11、大，我们分开计算不同年份的相同月份，提取出来不同年份的相同月份，利用MATLAB软件进行一元线性回归方程的计算，通过利用一元线性回归方程可以将数据带入方程得出每一个月的回归方程，这样就可以直接带入所想要计算的年份即可得出这个月的标准间价格，有了方程就减少了计算量。这样的话虽然看起来算式比较多，但是计算起来却是相当容易。（一元线性回归方程源代码见附录二）不同年份的相同月份一元线性回归方程如下：一月份： 二月份：三月份： 四月份：五月份： 六月份：七月份： 八月份：九月份： 十月份：十一月： 十二月： 4.1.2检验：有了不同年份的相同月份的一元线性回归方程，可以将想要计算的任意一年的任意月份带入

12、相对应的月份的线性回归方程中进行计算。如：计算2006年一月份的标准间月平均价格，将x=2006代入一月份方程y=43.3x-86583中可以得到y=276.8元，从表一中可以查出2006年一月份的标准间月平均价格为241元；误差为35元，计算2008年五月份的价格时把x=2008代入五月份方程y=48.5x-96916中可以得到y=472元，从表一中可以查出2008年五月份的标准间月平均价格为483元，误差为11元。根据实际生活中我们所建的模型误差在可接受范围内，所以我们所建的模型可以得到推广。根据所建立的数学模型，运用所求出的不同年份的相同月份一元线性回归方程进行预测，预测结果如图三：图三

13、：未来一年内标准房月平均价格趋势图我们根据图三2005.10月到2010.3月的标准间月平均价格可以很清楚的预测出未来一年的标准间月平均价格，从图一中我们知道该宾馆的标准间月平均价格类似一年为周期且呈上升趋势，观察图三2010.4月到2011.3月可以看出价格走势依然呈上升趋势，与表一中2005.10月到2010.3月所给数据整理出来走势图一致，可以看做向右上平移所得。该宾馆未来一年内所预测的标准间的月平均价格符合实际生活。为了更加清楚，直观的了解未来一年内的价格走势，我们利用excel做成表格，从表格中我们可以看出每一个月的标准间平均价格，通过不同年份的相同月份所建立的一元线性回归模方程，我

14、们将2010.4月到2011.3月每一个月代入所建立的一元线性回归方程中计算出未来一年内每个月的标准间价格。 表二：未来一年内标准间月平均价格预测表时间价格时间价格2010.45372010.16202010.55692010.115682010.65172010.124682010.75782011.1493.32010.86452011.2479.52010.95342011.3490.5在解决问题一的过程中我们建立了线性回归模型，对题目中所给的实例及数据进行分析处理得到以下结论：在2005.10月-2010.3月每月的标准间平均价格大致为一年为周期且呈上升趋势；根据未来建立的模型及方程预

15、测出未来一年内的标准房参考价格（见表二）。4.2.1问题二由于宾馆往往可以预定超出实际套数的客户数量,并且考虑到如果客户数量超出客房的需求,则宾馆就会出现信誉问题这一情况,因此,宾馆一天的利润S可以分为两种情况:(1)当入住人数小于等于宾馆可预订的客房数,即 当 时 （4） (2)当入住人数大于宾馆可预订的客房数,即 当时 （5）由于宾馆的利润是一个不确定的事件,因此要用利润的数学期望(均值)来表示,即: （6）将公式（4），（5）代入（6）中即可得到宾馆利润的数学期望（均值）。 （7）所以宾馆的利润均值为：（8）4.2.2结果的检验分析：根据查询到的市场资料调查，取三亚湾宾馆的客房入住率为例

16、，在旅游淡季客房入住率为50%，旅游旺季客房入住率为80%，则取该宾馆的入住率为70%。则 由于宾馆利润是一个随机事件，具有不确定性，对于这一动态问题将宾馆利润的数学期望与宾馆的运营成本之差作为衡量宾馆的指标。则：（9）记被挤掉的客户概率为P，则：（10）根据题意得该宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套，通过计算得到以下三种情况： 宾馆可预订总统套房M=20，设未能入住概率q=0.05,一位预定客户被挤掉所得补偿a=0.1g,当宾馆预订的客房数n=25时，则： （11）当宾馆预定的客房数n=21时，则： （12） 通过计算结果可以看出，若总统套房订够21套时，有一人被挤出的概

17、率较大为0.341，所以总统套房最多只能订20套。 宾馆可预订豪华套房M=100，设未能入住概率q=0.05,一位预定客户被挤掉所得补偿a=0.1g,当宾馆预订的客房数n=103时，则： （13） 通过计算结果可以看出，若豪华套房订够103套时，有两人被挤出的概率为0.037，概率较小，所以豪华套房最多只能订103套。 宾馆可预订标准间M=500，设未能入住概率q=0.05,一位预定客户被挤掉所得补偿a=0.1g, 当宾馆预订的客房数n=515时，则： （14） 通过计算结果可以看出，若标准间订够515套时，有八人被挤出的概率为0.00032，概率较小，所以标准间最多只能订103套。对与问题二

18、用MATLAB进行计算，详细程序见附录三。通过上述计算我们更加清楚的了解宾馆入住预订客房这一实际问题，并且也计算出了每种套房所需的最多客房数，同时，经过检验，该计算结果也符合题意，综上，宾馆各套房所需要的数量如下表所示：表三：该宾馆所需要的各类别的最多套房数套房类别 最多预定数目（单位：套）总统套房20豪华套房103标准间515 根 据上表可以看出，只有在总统套房，豪华套房和标准间满足以上条件时，该宾馆获得总利润的均值与运营成本之差最合理。故应选用总统套房20套，豪华套房103套，标准间515套时，宾馆的利润均值较为合理，在这种条件下实现利益最大化。 五模型评价优点:1. 本题建立的模型清晰易

19、懂，所建模型对解决问题起到很好的作用。2. 通过散点图，表格等直观的表达出解决问题的过程和解决结果。3. 利用Eviews，MATLAB等软件绘图使得图表更有说服力，计算结果精度高，预测结果好。4. 建立的模型能够很好地结合实际生活，有利于提高模型的推广性。5. 充分的考虑淡旺季的因素缺点:1. 列式比较多。2. 没有过多的考虑影响模型中影响因素小的因素。3. 没有考虑重大经济事件对经济的影响。6 模型推广 利用线性回归模型，将一些离散的散点图用线性曲线来表示，从而对问题的解决更加方便，并且也能很清晰的看出这些离散的点的大体趋势。利用线性回归模型对解决预测问题是十分必要的。在这些问题上，此模型

20、可以很好的应用。七参考文献1 董臻圃, 数学建模方法与实践, 北京: 国防工业出版社, 2006.2 吴礼斌, 李柏年, 数学实践与建模, 北京: 国防工业出版社,2007.3 徐茂良,刘睿,数学建模与数学实验,北京:国防工业出版社,2015.4 姜启源,谢金星,数学模型,北京:高等教育出版社,2011.附录一表一：2005.10-2010.3月标准间月平均价格时间价格时间价格时间价格2005.103282007.044012008.105342005.112632007.054392008.114982005.122512007.063972008.124022006.012412007.0

21、74632009.013972006.022492007.085092009.024162006.033162007.094742009.034512006.043442007.105082009.044862006.053602007.114582009.055072006.063202007.124122009.064582006.073442008.013692009.074932006.083842008.024032009.085622006.093682008.034362009.094742006.104012008.044472009.105282006.113632008.0

22、54832009.114362006.123362008.064392009.123982007.013662008.075142010.014422007.023312008.085502010.024042007.033902008.094892010.03428附录二Matlab源程序：syms x1 x2 x y ;x1=2005:1:2009;y=251 336 412 402 398;x=ones(5,1),x1'plot(x1,y,'*')x=ones(5,1),x1'b,bint,r,rint,stats=regress(y',x)附录三

23、 计算不同概率和超额预订水平下宾馆期望收益率的MATLAB程序示例总统套房n1=20kp=0:0.05:0.2k1=n1*kpm1=k1+n1p=0.875:0.025:0.975X11=0:1:m1(1)p11=binopdf(X11,m1(1),p(1)X12=0:1:m1(2)p12=binopdf(X12,m1(2),p(1)X13=0:1:m1(3)p13=binopdf(X13,m1(3),p(1)X14=0:1:m1(4)p14=binopdf(X14,m1(4),p(1)X15=0:1:m1(5)p15=binopdf(X15,m1(5),p(1)P11=sum(p11(21:

24、(m1(1)+1).*(X11-n1)P12=sum(p12(21:(m1(2)+1).*(X12(21:(m1(2)+1)-n1)P13=sum(p13(21:(m1(3)+1).*(X13(21:(m1(3)+1)-n1)P14=sum(p14(21:(m1(4)+1).*(X14(21:(m1(4)+1)-n1)P15=sum(p15(21:(m1(5)+1).*(X15(21:(m1(5)+1)-n1)P1=P11 P12 P13 P14 P15S1=(m1*p(1)-(1+0.2)*P1)/(0.6*n1)-1X21=0:1:m1(1)p21=binopdf(X21,m1(1),p(

25、2)X22=0:1:m1(2)p22=binopdf(X22,m1(2),p(2)X23=0:1:m1(3)p23=binopdf(X23,m1(3),p(2)X24=0:1:m1(4)p24=binopdf(X24,m1(4),p(2)X25=0:1:m1(5)p25=binopdf(X25,m1(5),p(2)P21=sum(p21(21:(m1(1)+1).*(X21-n1)P22=sum(p22(21:(m1(2)+1).*(X22(21:(m1(2)+1)-n1)P23=sum(p23(21:(m1(3)+1).*(X23(21:(m1(3)+1)-n1)P24=sum(p24(21

26、:(m1(4)+1).*(X24(21:(m1(4)+1)-n1)P25=sum(p25(21:(m1(5)+1).*(X25(21:(m1(5)+1)-n1)P2=P21 P22 P23 P24 P25S2=(m1*p(2)-(1+0.2)*P1)/(0.6*n1)-1X31=0:1:m1(1)p31=binopdf(X31,m1(1),p(3)X32=0:1:m1(2)p32=binopdf(X32,m1(2),p(3)X33=0:1:m1(3)p33=binopdf(X33,m1(3),p(3)X34=0:1:m1(4)p34=binopdf(X34,m1(4),p(3)X35=0:1:

27、m1(5)p35=binopdf(X35,m1(5),p(3)P31=sum(p31(21:(m1(1)+1).*(X31-n1)P32=sum(p32(21:(m1(2)+1).*(X32(21:(m1(2)+1)-n1)P33=sum(p33(21:(m1(3)+1).*(X33(21:(m1(3)+1)-n1)P34=sum(p34(21:(m1(4)+1).*(X34(21:(m1(4)+1)-n1)P35=sum(p35(21:(m1(5)+1).*(X35(21:(m1(5)+1)-n1)P3=P31 P32 P33 P34 P35S3=(m1*p(3)-(1+0.2)*P3)/(

28、0.6*n1)-1X41=0:1:m1(1)p41=binopdf(X41,m1(1),p(4)X42=0:1:m1(2)p42=binopdf(X42,m1(2),p(4)X43=0:1:m1(3)p43=binopdf(X43,m1(3),p(4)X44=0:1:m1(4)p44=binopdf(X44,m1(4),p(4)X45=0:1:m1(5)p45=binopdf(X45,m1(5),p(4)P41=sum(p41(21:(m1(1)+1).*(X41-n1)P42=sum(p42(21:(m1(2)+1).*(X42(21:(m1(2)+1)-n1)P43=sum(p43(21:(m1(3)+1).*(X43(21:(m1(3)+1)-n1)P44=sum(p44(21:(m1(4)+1).*(X44(21:(m1(4)+1)-n1)P45=sum(p45(21:(m1(5)+1).*(X45(21:(m1(5)+1)-n1)P4=P41 P42 P43 P44 P45S4=(m1*p(4)-(1+0.2)*P4)/(0.6*n1)-1X51=0:1:m1(1)p51=binopdf(X51,m1(1),p(5)X52=0:1:m1(2)p52=binopdf(X52,m1(2),p(5)X53=0:1:m1(3)p53=binopdf(X53,m1(3),p