第3讲高等数学(三)(新版)

1、精品文档二、平面(一)平面的方程设平面过点Mo(xo,yo,zo),它的一个法向量n=(A,B,C),则平面n的方程为A(1一曲)EG广涧)+C(je-xo)=0此方程称为平面的点法式方程。平面的一般方程为Ax+By+&+D=0其中n=(A,B,C)为该平面的法向量。设一平面与x、y、z轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(O,0,c)三点(其中aw。,bw。，cw0),则该平面的方程为+4-1口匕C此方程称为平面的截距式方程，a、b、c依次称为平面在x、y、z轴上的截距。对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点。如，在方程Ax+By+Cz+D=0中，当D=0时

2、，方程表示一个通过原点的平面；当A=0时，方程表示一个平行于x轴的平面；当A=B=0时，方程表示一个平行于xOy的平面。类似地，可得其他情形的结论。(二)两平面的夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角(通常指锐角)。设有平面IIi,:Aix+Biy+Ciz+Di=0和平面ii2：A2x+B2y+C2z+D2=0,则n1和n2的夹角e由下式确定：a_I*也I_.I,I.,+且日24cC由此可得IIl与n2互相垂直相当于AlA2+BlB2+ClC2=0IIl与n2平行相当于力2%Cj空间一点P0(x0,y0,z0)到平面Ar+与+&+D=0的距离，有以下公式：精品文档（三）例题【例1-1

3、-5】求过三点Mi（2,-1,4）、M2（-1,3,-2）和M3（0,2,3）的平面的方程。【解】先找出平面的法向量/可取而稔=（-3,4,-6）与/M；=（-2,3,-1)的向量积为人即ijk«=-34-6-14/+9j-fc1-23-1由平面的点法式方程，得所求平面方程为14(r-2)+9(第十1)-(%-4)=0掰D141+915=0=0的夹角。1-1-6】求两平面x-y+2z-6=0,2x+y+z-5】因为cos5 二门2十(T)J故所求夹角9=O3【例1 - 1-7平行于x轴且经过点（4,0 , - 2和点（2 , 1 , 1 ）的平面方程是(A)+(C) 3卫-% 2 =

4、 0(B) 3工+2z 8 = 0(D) 3+ 工7 = 0故（A ）、（ B ）不正确。由平面经过两已【解】由平面平行于x轴知，平面方程中x的系数为0,知点，知（C）满足，故选（C）.三、直线（一）空间直线的方程设空间直线L是平面n:Alx+By+C1Z+D1=0和平面II2:A2x+B?y+C2Z+D2=0,的交线，则L的方程为。精品文档精品文档1A2*+Hg*+G之十D?二0此方程称为空间直线的一般方程。设直线L过点M0（xo,yo,zo）,它的一个方向向量为s=（m,n,p）,则直线L的方程为工一厘中=欠一第0=孑一到ntnp此方程称为直线的对称式方程。如设参数t如下：一三一工Q_a二

5、凶；一的一-B一一I?nnp则）X=X（）+?14*=、口+nt之二之。+力£此方程组称为直线的参数式方程。（二）两直线的夹角两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（通常指锐角）。设直线L1：一一I_y二-I_胃片如Pi和直线L2：一上|_3二-I_W-I优1负1Pl则Li和L2的夹角中可由下式确定：|s,lU2|_|$|勤| mj7n2 + wpij + pPt由此可得Li和L2互相垂直相当于Li和L2平行相当于精品文档(三)直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角邛称为直线与平面的夹角，通常规定0W邛W,。设直线的方程是2平面的方程是Ax+By+Cis+D=0则直线与平面

6、的夹角巾由下式确定:sin 中二I Am + C(j /Ay+ 再m2 + »2 + p1由此可得直线与平面垂直相当于A_B_C-二一三=m "&直线与平面平行或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0(四)例题【例1-1-8求过两点Mi(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直线方程。【解(-4,2,1)为直线的方向向量，由直线的对称式方程得所求直线方程为【例1工9】求直线中=当=中和直线5京=弯=争的夹角口【解】直线L1和L2的方向向量依次为s产(1,-4,1)、&=(2,-2,-1).精品文档设直线Li和L2的夹角为中，则oosp -|1-2+(-4)(-2)+(-1)J_/2(-4)2+P7224-(-2)2+(-1)22所以【例1-1-10设直线L的方程为工一y+母=1,21+y+?=4.则L的参数方程是工=1-2e产=1-2士(A)=1+£=-1+/Q=1+3上Q=1+3e'm=12ex=1-2/(C>“m1-；(D)|=-l-2一定=1+1志=1+3e【解】由于两平面的交线L与这两平面的法线向量j=(1,-1,1),n2=