第2章一元二次方程

1、精品文档南苑中学教师备课笔记精品文档课题2.1.1花边有多宽（一）第2课时共1课时教学1.理解一元二次方程的概念及它的有关概念；2.经历由具体问题抽象出一元二次目标方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.重点一元二次方程的概念及它的一般形式难点一元二次方程的概念教具准备教学过程：I.创设现实情景、引入新课经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗种设计方案吗？下面我们来学习第一节：花边有多宽.（板书）n.讲授新课例1我们来看一个实际问题（小黑板）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么

2、花边有多宽？施教时间2006年月日个矩形花园提供多分析：从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系.这个题已知：这块地毯的长为8m,宽为5m,它中央长方形图案的面积为18m2.所要求的是；地毯的花边有多宽.本题是以面积为等量关系.如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为（82x）m,宽为（52x）m,根据题意，可得方程（82x）（52x）=18例2.下面我们来看一个数学问题（小黑板）观察下面等式102+112+122=132+142.你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗总结：这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五

3、个数中的任意一个，其他四个数可随之变化.例3下面我们来看一个实际问题（小黑板）：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米分析：墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形.已知梯子的长为10m,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6m.设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙（6+x）m,根据题意，利用勾股定理，可得方程.上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程，等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一一次方程，二e-次方程等都是整式

4、方程.这三个方程还都可以化为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，aw0）的形式，这样的方程我们叫做一元一次方程（quadraticequattonwithoneunknown）,即只含有一个未知数，并且未知数的最局次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c0（aw0）的形式，其中aw0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了.m.应用、深化课本P44随堂练习1、2课本P44习题2.11、2W.课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元一次方程的概念.1. 一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为

5、ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，aw0）的形式.2. 一兀二次方程的一般形式为ax2+bx+c0（aw0）,一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.V .课后作业作业本（）VI .活动与探究当d、b、c满足什么条件时，方程（a1）x2bx+c=0是一兀一次方程？这时方程的一次项系数、一次项系数分别是什么？当2、b、c满足什么条件时，方程（a1）x2bx+c=0是一一次方程？板书设计2.1.1花辿有多宽（一）例1方程一元二次方程的定义例2方程活动与探究例3方程教学反思课题2.1.2花辿有多宽第2课时共2课时教学1、经历方程解的探索过

6、程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力；目标2、渗透“夹逼”思想。重点用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。难点用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、复习：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：2、指出卜列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。(1)2x2x+1=0(2)x2+1=0(3)x2)二、新授：ax2+bx+c0(aw0)4时，52x2.5时，52x0.(3)完成下表x00.511.522.52x213x+11从左至右分别11,4.75,0,4,7,一9(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗

7、？还有其他求解方法吗？与同伴交流。地毯花边1米，另，因82x比52x多3,将18分解为6X3,8-2x=6,x=12、例题讲析：例：梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=102也就是x2+12x15=0(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?(2)x的整数部分是几？十分位是几？x00.511.52x2+12x15-15-8.75-25.2513所以1x1.5进一步计算x1.11.21.31.4x2+12x150.590.842.293.76所以1.1x0)的方程；2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。重点

8、利用配方法解一兀二次方程难点把一兀二次方程通过配方转化为(x十m)2=n(n20)的形式.教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、复习：1、解卜列方程：(1)x2=9(2)(x+2)2=162、什么是完全平方式？利用公式计算：(1)(x+6)2(2)(x-11)2注意：它们的常数项等刁一次项系数一半的平方。3、解方程：(梯子滑动问题)x2+12x15=0二、新授：1、引入：像上面第3题，我们解方程会有国难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？2、解方程的基本思路(配方法)如：x2+12x-15=0转化为(x+6)2=51两边开平方，得x+6=病x1=*7516x2=/516(不合实际)因

9、此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n0时，两边开平方便可求出它的根。3、配方：填上适当的数，所列等式成立：(1) x2+12x+=(x+6)2(2) x212x+=(x-)2(3) x2+8x+=(x+)2从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。4、讲解例题：例1:解方程：x2+8x9=0分析：先把它变成(x+m)2=n(n0)的形式再用直接开平方法求解。解：移项，得：x2+8x=9配方，得：x2+8x+42=9+42,(两边同时加上一次项系数一半的平方)即：(x+4)2=25开平方，得：x+4=5即：x+4=5

10、,或x+4=5所以：xi=1,x2=-95、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。三、巩固练习：P50,随堂练习：1;P50习题2.31、2四、小结：(1)什么叫配方法？(2)配方法的基本思路是什么？(3)怎样配方？五、作业：作业本2.2配方法(1)E复习题例题当引例配方法定义配方法的基本思路教学反思课题2.2配方法(2)第3课时共2课时教学1、利用配方法解数字系数的一般一兀二次方程。目标2、进一步理解配方法的解题思路。重占八、用配方法解一兀二次方程的思路；给方程配方。难占八、用配方法解一兀二次方程的思路；给方程配方。教具准备施教时间200

11、6年月日教学过程：、复习：1、什么叫配方法？2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。3、解方程：(1)x2+4x+3=0(2)x24x+2=0、新授：1、例题讲析：例3:解方程：3x2+8x3=0分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。解：两边都除以3,得：x2+8x1=0移项，得：x2+3x=1配方，得：x2+3x+(3)2=1+(4)2(方程两边都加上一次项系数一半的平方)(x+4)2=(5)2即：X+4=5所以x1=1,x2=33332、用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把二次项系数化为1;(2)移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。(3)方程两边同时加上一

12、次项系数一半的平方。(4)用直接开平方法求出方程的根。3、做一做：一小球以15m/s的初速度竖面向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：2h=15t5t小球何时能达到10m高？三、巩固：练习：P51,随堂练习：1P33,习题2.41、2四、小结：1、用配方法解一元二次方程的步骤。(1)化二次项系数为1;(2)移项；(3)配方：(4)求根。五、作业：作业本板书设计2.2配方法(2)配方法定义例3复习题配方法的步骤教学反思课题2.2配方法(三)第3课时共3课时教学目标1、经历用方程解决实际问题的过程，体会一兀二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识

13、和能力；2、进一步掌握用配方法解题的技能。重点列一兀二次方程解方程。难点列一兀二次方程解方程。教具准备施教时间2006年月日教学过程:一、复习:1、配方：(1) x23x+=(x)2(2) x25x+=(x-)22、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？3、用配方法解下列一元二次方程？(1) 3x21=2x(2)x25x+4=0二、引入课题：我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：三、出示思考题：如图所示：(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程?1(162x)(122x)=1x16X

14、12(2) 一元二次方程的解是什么？x1=2,x2=12(3)这两个解都合要求吗？为什么？x1=2合要求，x2=12不合要求，因荒地的宽为12m,小路的宽不可能为12m,它必须小于荒地宽的一半。2、设花园四角的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程?X2兀=1X12X16(2) 一元二次方程的解是什么?X2=5.5(3)符合条件的解是多少?X1=5.53、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。(1)花园为菱形？(2)花园为圆形(3)花园为三角形？(4)花园为梯形四、练习：P56随堂练习P56,习题2.5,1、2五、小结：1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。2、设计方案时，

15、关键是列一元二次方程。3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。六、作业：作业本板书设计配方法解一元二次方程的步骤复习题2.2配万法(三)思考题随堂练习习题教学反思注意：当b24ac07121x=211,即：刈=9，x2=-2例：解方程：2x2+7x=4解：移项，得2x2+7x4=0这里，a=1,b=7,c=-4b2-4ac=724X1X(4)=8107/81一79x=2X24即：x1=2,x2=-4三、巩固练习：P58随堂练习：1、2习题2.61、2、四、小结：(1)求根公式：x=。一04a。(b24ac0)2a(2)利用求根公式解一元二次方程的步骤五、作业：作业本精品

16、文档南苑中学教师备课笔记加二i3殳f2.3公式法一、复习三、练习二、求根公式的推导四、小结五、作业金!攵工艮课题2.4分解因式法第2课时共1课时教学目标1 .能根据具体一兀二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2 .会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。重点掌握分解因式法解一兀二次方程。难点灵活运用分解因式法解一兀二次方程。教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、回顾交流1、用两种小向的方法解卜列一Tt一次方程。1.5x22x1=02.10(x+1)225(x+1)+10=0观察比较：一个数的平方与这个数的3倍后可能相等吗？如果相等，

17、这个数是几？你是怎样求出来的？分析小颖、小明、小亮的解法：小颖：用公式法解正确；小明：两边约去x,是非同解变形，结果丢掉一根，错误。小凫：利用如果ab=0,那么a=0或b=0来求解，正确。分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零.如：若(x+2)(x-3)=0,那么x+2=0或.x-3=0;反之，若x+2=0或x-3=0,则一BW(x+2)(x-3)=0.这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2=0或x-3=0.二、范例学习例：解卜列方程。1.5x2=4x2.x-2=x(x-2

18、)想一想精品文档精品文档你能用几种方法解方程x24=0,(x+1)225=0。三、随堂练习随堂练习1、2P62习题2.71、2拓展题分解因式法解方程：x34x2=0。四、课堂总结利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。五、布置作业补充：用分解因式法解：(1) (2x-5)2-2x+5=0;(2) 4(2x-1)2=9(x+4)2;(3) (x-1)(x+3)=12.2.4分解因式法、复习、例题、想一想四、练习五、小结六、作业精品文档精品文档课

19、题2.5为什么是0.618(1)第2课时共2课时教学目标1、掌握黄金分割中黄金比的来历；2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。重点列一k次方程解应用题，依题意列一兀二次方程难点列一k次方程解应用题，依题意列一兀二次方程教具准备施教时间2006年月日教学过程:、复习1、解方程：（1） x2+2x+1=0（2）x2+x1=02、什么叫黄金分割？黄金比是多少？（0.618）3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？（方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式）、新授1、黄金比的来历如图，如果AC=CB,那么点C叫做线段AB的黄金分割点。ABAC工II.x

20、CB由AC=CB，得AC2=AB-CBABAC设AB=1,AC=x,则CB=1x.x2=1X（1-x）即：x2+x-1=0解这个方程，得1+加1/5x1=2，x2=2（不合题意，舍去）所以：黄金比AC=-J5=0.618AB2注意：黄金比的准确数为汽二1,近似数为0.618.上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元.次方程来解决。2、例题讲析：例1:P64题略（幻灯片）（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那0.1海里）么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到解：（1）连接DF,则D

21、FXBC,ABXBC,AB=BC=200海里，AC=#AB=200海里，/C=45一1，一-CD=2AC=100位海里DF=CF,72DF=CDDF=CF=乎CD=乎X100色=100海里所以，小岛D和小岛F相距100海里。（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里EF=AB+BC(AB+BE)CF=(3002x)海里在RtADEF中，根据勾股定理可得方程：x2=1002+(300-2x)2解这个方程，得：X1 = 200 -X2=200 +100 63100.63一= 118.4（不合题意，舍去）整理得,3x21200x+100000=0精品文档118.4海里。

22、P66 习题 2.8: 1、2复习题关于黄金分割的计算2.5 为什么是0.618 (1)例1列方程解应用题的三个重要环节所以，相遇时，补给船大约航行了、巩固：练习，P65随堂练习：1四、小结：列方程解应用题的三个重要环节:1、整体地，系统地审清问题；2、把握问题中的等量关系；3、正确求解方程并检验解的合理性。五、作业：作业本课题2.5为什么是0.618(2)第1课时共1课时教学1、分析具体问题中的数量关系，列出一兀二次方程；目标2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。重点列一k次方程解应用题，找出等量关系列方程。难点列一k次方程解应用题，找出等量关系列方程。教具准备施教时间2006年月日教学过程:一、复习：1、黄金分割中的黄金比是多少？准确数为木21,近似数为0.6182、列方程解应用题的三个重要环节是什么？3、列方程的关键是什么？（找等量关系）4、销售利润=销售价销售成本二、新授在日常生活生产中，我们常遇到一些实际问题，这些问题可用列一元二次方程的方法来解答。1、讲解例题：例2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明