圆锥曲线预备知识

1、§7.4 圆锥曲线预备知识·方程与曲线·轨迹的概念重点·圆锥曲线的定义·圆锥曲线的标准方程·圆锥曲线的几何性质难点·抛物线和双曲线定义的思想·焦点及离心率的概念·据已知条件求圆锥曲线方程学习要求·掌握圆锥曲线的几何定义和标准方程·了解焦点、离心率和准线的含义及圆锥曲线的几何性质·会据已知条件导出已知曲线的方程·会解决圆锥曲线在实际中的简单应用问题 在上一节中你已经看到，圆以x,y的二次方程作为其特点之一；同时你也看到，有一些x,y的二次方程并不是矛盾方程，但它不表示

2、圆，那么这种方程表示的是怎样的曲线呢？这就是本节所学习的对象圆锥曲线，具体分为椭圆、抛物线和双曲线三种你所要知道的是这三种曲线的定义、标准方程及几何性质 1. 圆锥曲线的定义和来历 (1)椭圆的定义 在人类的认识史上，圆由于其特征明确、成形简单，可以说是最早被人们所认识的、具有一定形状的几何曲线一个被压扁了的圆，就其外形而言，也不难被人们所认识，但它的几何特征是什么？是怎么生成的？ 圆是到定点(圆心)的距离为常数(半径)的动点的轨迹图7-60(1)O 你可以先动手做一个试验取一根线将其两端系在两颗图钉上，把两颗固定在纸面的同一点上，用铅笔套进线环后，保持拉紧线移动铅笔因为把圆的定义“圆是到定点

3、的距离为常数的动点的轨迹”改为“圆是到定点的来回距离为常数的动点的轨迹”，并无实质性的改变，铅笔尖在纸上画图7-60(2)F2F1AB··出的当然是一个圆，固定图钉的点O就是圆心；设线长为2a，则圆半径为a (见图7-60(1) 现在你把两颗图钉分开固定在两个点F1,F2上，使线长大于两图钉之间的距离，并保持拉紧状态移动铅笔，铅笔尖在纸上也能画出一条曲线(见图7-60(2)，并立即能发现，这条曲线的形状正是一个压扁了的圆 我们把第二次试验得到的那个压扁了的圆，称之为椭圆，因此椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹并且称两个定点为椭圆的焦点，两个定点间的距离(即图

4、7-60(2)上线段F1F2的长)为焦距F1F2·图7-60(3)···AB 仍用2a表示线的长度，即动点到定点的距离和当动点在直线F1F2与椭圆的交点、即图7-60(3)的位置A(或B)处时， 2a=AF2+AF1=AF2+BF2=AB，因此2a就是直线F1F2与椭圆的交点的距离 用2c表示焦距，由试验可知a>c现在保持线的长度2a不变，你可以继续做实验：把两点并拢一些(c减小)，画出来的椭圆越接近圆；分开一些(c增大)则椭圆越“扁”因此比值 e=(<1) (7-4-1)就能很好地反映圆被压扁的程度，e越接近1(两点分得越开)，椭圆越扁；e

5、越接近0(两点并得越拢)，椭圆越圆；当e=0，即c=0，两点并成一点了，椭圆回复成圆了c的大小反映了原来并在圆心处的两点分开距离的大小，e=表示每单位到定点距离和的分开距离，因此自然被称为离心率课内练习11. 求下列椭圆的离心率e，焦距2c，并说明哪个椭圆比较“扁”一些： (1)到相距为4的两个定点距离和为6的点的轨迹； (2)到相距为4的两个定点距离和为8的点的轨迹 (2)双曲线的定义···F2F1F2F1···PP·图7-61(1)图7-61(2) 根据椭圆的定义，人们自然会想，到两个定点的距离之差是常数的动点的轨迹是怎

6、样的？你仍然先动手作一个实验：取两个细绳，各把一端固定在定点F1, F2处，其余一端穿进一个能紧箍细绳的扣子内，然后拉紧F1, F2 间的绳，此时扣子在点P处，用一支铅笔紧贴扣子点；P到F1,F2的距离差=PF2-PF1记作2a(见图7-61(1) )；之后逐步把扣子往后缩，使两条细绳放长同样的长度，那么两条细绳的长度差始终是2a, 紧贴在扣子上的铅笔就会画出一条曲线这条曲线就是满足到两个定点的距离差为常数2a的点P的轨迹(见图7-61 (2)中右边的曲线)扣子可以往上移，也可以往下移，因此在直线F1F2的两侧都有曲线；你也可以在一开始把P定在靠近F2的一侧，使PF1-PF2=2a，然后按上述

7、方法移动扣子，那么还能得到图7-66(2)中左半支的图象由此可见，满足条件的动点的轨迹是分为左右两个半支的 这样得到的轨迹称为双曲线，即平面上到两个定点的距离差为常数的动点的轨迹，称为双曲线；并且称两个定点(图7-61(2)上的F1, F2)为双曲线的焦点，称焦点间的距离(图7-61(2)上的线段F1F2的长)为焦距图7-62F2··F1P·AB 如图7-62，当P在直线F1F2与双曲线的交点A(或B)处时， |AF1-AF2|=|AF1-BF1|=AB，所以2a就是直线F1F2与双曲线的交点的距离 用2c表示焦距(即F1F2=2c)，由试验可知a<c现在保

8、持|PF1-PF2|的大小不变(即2a不变)，你可以继续作实验：把F1,F2并拢一些(c减小)，画出来的双曲线的“张口”变窄了；反之，把F1,F2拉开一些(c增大)，“张口”又变宽了因此比值 e= (7-4-2)就能很好地反映双曲线“张口”的大小，e越接近1，“张口”越窄；e越大，则“张口”越宽(7-4-2)定义的e称双曲线的离心率因为a<c，所以双曲线的离心率e>1课内练习21. 求下列双曲线的离心率e，焦距2c，并说明哪个双曲线的张口比较“宽” 一些： (1)到相距为10的两个定点距离差为6的点的轨迹； (2)到相距为10的两个定点距离差为8的点的轨迹 (3)抛物线的定义

9、83;·····lF图7-63B 圆锥曲线的第三种是抛物线，它的定义方法表明上看与椭圆和双曲线不同，其实有着内在联系现在先介绍抛物线的定义：抛物线是平面上到一个定点F与定直线l等距的动点的轨迹(见图7-63)称这个定点为抛物线的焦点，称定直线为抛物线的准线 (4)圆锥曲线的来历和它们之间的联系 椭圆、双曲线和抛物线的定义各不相同，它们之间有什么联系？ 联系切割圆锥 正圆锥你应该很熟悉，它是一个直角三角形RtDVOA绕一条直角边VO旋转得到的几何体(见图7-64(1)；称被绕的直角边VO为旋转轴，称斜边VA为母线，称由直角边OA旋转所得的圆为底面

10、，称由斜边VA旋转所得的曲面为圆锥面V图7-64(4)AO··VAO图7-64(3)VAO图7-64(2)VAO图7-64(1) 现在我们用一个平面，以四种不同角度去切割它：第一种，平面平行于底面，它与圆锥面的截交线是一个圆(见图7-65(2)；第二种，平面与底面、旋V图7-64(5)AO··转轴及母线都不平行，它与圆锥面的截交线是一个压扁了的圆，已经证明它正是一个椭圆(见图7-64(3)；第三种，平面与母线VA平行且不经过V，它与圆锥面的截交线也被证明是一条抛物线(图7-64(4)；最后当平面与旋转轴VO平行且不经过V，它与圆锥的圆锥面截交得到一条曲线

11、，恰好就是双曲线的一支(图7-64(5) 因此椭圆、双曲线和抛物线，是在同一个圆锥上、用不同平面去切割圆锥面得到的，通称为圆锥曲线，可见这三种曲线是有着密切的“血缘”关系的 联系运动学 下面的事实你是必定有体验的：投掷一个球，最后还是在地心引力的作用下回落到地面上，球在空中运行的轨迹是一条曲线，这条曲线正是以地心为焦点的抛物线(这也可以说是这条曲线命名的由来)图7-65···O1Ol1l2l3l4 如果你有像发射火箭那样的推力，使球的运动速度能略超过9.8km/s，这时球就不会回落到地面上来了，而是在地心引力的作用下，成为围绕地球运行的一颗“卫星球”，运行的轨道恰

12、好是以地心O1作为一个焦点的椭圆(见图7-65的l1)人造地球卫星总是在椭圆轨道上运行，就是这个原理如果你投掷球的速度再快一些，那么球还能脱离地球的引力范围，进入到太阳的引力范围，成为围绕太阳O的运行的一颗“行星球”，运行轨道仍然是一个椭圆，太阳O是椭圆轨道的一个焦点(见图7-65的l2)你的球的速度越快，椭圆就越“扁”，即围绕太阳的椭圆轨道的离心率e越接近1，也即椭圆轨道的另一个焦点离开太阳越远，此时你的球有点像“彗星球”了彗星通常在很“扁”的椭圆轨道上绕太阳运行设想你投球的速度能达到16km/s，这时你的球将会离太阳而去，永远也不会回来了，它的运行轨道是一个离心率e=1的“椭圆”，也就是另

13、一个焦点在无穷远处的“椭圆”然而椭圆的两个焦点应该在有限位置处，离心率也应该小于1，实际上这样的轨道已经不能再称“椭圆”了，那么是什么呢？正好是以太阳O为焦点的抛物线(见图7-65的l3)！所以可以说抛物线是一个焦点在有限位置、另一个焦点在无穷远处的“椭圆”，或者说是离心率e=1的“椭圆”最后如果你的球速能比16km/s还大，此时球将以双曲线轨道永远离开太阳系，太阳O仍然在双曲线的一个焦点上(见图7-65的l4) 联系准线定义 抛物线是以“到一个定点F与定直线l等距的动点的轨迹”来定义的，改成“到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为常数1的动点的轨迹”，是完全等价的对椭圆和双曲线，也有

14、这么一条直线l1，使椭圆和双曲线上的点，到一个焦点F1的距离与到定直线l1的距离之比为常数(见图7-66(1),(2)，只是这个常数不是1而是离心率e (即图7-66(1),(2)上=e,P1是P在l1上的垂足)；而且因为椭圆和双曲线的焦点有两个，所以这样的直线有两条，另一条是图7-66(1),(2)上的l2，它满足=e,P2是P在l2上的垂足)我们同样把上述l1,l2称为椭圆和双曲线的准线根据三种曲线的这种公共特征，可以说平面上到一个定点(焦点)的距离与到一条定直线(准线)的距离之比为常数e的动点的轨迹，称为圆锥曲线，当比值e<1称为椭圆；当e>1称为双曲线；当e=1称为抛物线因

15、此我们也很自然地规定，抛物线的离心率e=1图7-66(2)F2··F1P·ABl1l2P1P2F1F2·图7-66(1)···AB·Pl1l2P2P1 2. 圆锥曲线的标准方程 圆锥曲线在建筑、机械、电子乃至宇宙航行等领域有广泛的应用，有必要进一步探求它们的一些性质，为此首先要建立表示它们的数学方程 (1)椭圆的标准方程及几何性质 椭圆的标准方程 椭圆是到两个定点(即焦点)距离为常数的动点的轨迹，建立椭圆方程实际上是求满足条件的轨迹方程 以连接焦点F1,F2的直线为x轴，它们的中点为原点建立坐标系(见图7-67(1

16、)设F1F2=2c，动点P(x,y)到F1,F2的距离和x图7-67(1)yAC····O··PF1F2abcBD· PF1+PF2=2a, (a>c)，则焦点坐标F1(c,0),F2(-c,0) PF1+PF2= =+=2a即 =2a-两边平方 (x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2，移项整理得 a=a2-xc，两边再次平方得 a2(x2-2xc+c2+y2)=a4-2a2xc+x2c2，合并同类项后得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)记 b= (7-4-3)上式可以改写为 b2x2+a

17、2y2=a2b2，两边同除以a2b2，最终得到 =1,(a>b>0) (7-4-4)x图7-67(2)yCA····O··PF1F2bacDB· 在上面方程推导中，我们以连接焦点F1,F2的直线为x轴，如果把连接焦点F1,F2的直线设为y轴，那么得到的方程将是 =1,(a>b>0) (7-4-5)按照y轴是纵轴的习惯，椭圆的图象也转了一个个儿，成为图7-67(2)那样竖的了 按照上面两种方法建立的坐标系，称为标准坐标系；在标准坐标系中，椭圆的方程为(7-4-4)或(7-4-5)，它们称为椭圆的标准方程

18、 让我们来解释一下标准方程里的系数 方程(7-4-4)或(7-4-5)中的a是清楚的，在分析定义时你已经知道，它是图7-67中AB长的一半，即OA的长；当P到达图7-67的C或D点处，此时PF1=PF2=a，因此b=OC=OD，其中C,D是椭圆与标准坐标系非焦点所在的坐标轴的交点显然b<a 椭圆的几何性质 在导出椭圆的标准方程时，是从已知a,c出发的下面，我们从椭圆的标准方程(7-4-4),(7-4-5)出发，借助图7-68(1),(2)，来探求椭圆的一些几何性质，并把它们列在下面的表里名称内容、定义及计算公式标准方程=1,(a>b>0)=1,(a>b>0)xyA

19、C····O·F1F2abcBD·xyCA····O·F1F2bacDB·图 形有 界 性椭圆含于直线x=±a,y=±b所围成的定界矩形内椭圆含于直线y=±a,x=±b所围成的定界矩形内对 称 性椭圆关于标准坐标系的坐标轴对称，也关于原点呈中心对称中 心椭圆的对称轴的交点，即标准坐标系的原点顶 点对称轴与椭圆的四个交点，即图中的A,B,C,D长、短轴长轴为x轴上线段AB, 短轴为y轴上线段CD长轴为y轴上线段AB短轴为x轴上线段CD长、

20、短半轴长(长、短半轴)称长轴顶点间距离AB=2a为长轴长，a为长半轴长；称短轴顶点间距离CD=2b为短轴长，b为短半轴长焦点、焦距及半 焦 距焦点位于x轴上,焦点坐标为F1(c,0),F2(-c,0);焦距为2c,半焦距为c；c=焦点位于y轴上,焦点坐标为F1(0,c),F2(0,-c);焦距为2c,半焦距为c；c=离 心 率ee=, (0<e<1), e越接近0, 椭圆越接近圆准线方程x=, x= -y=, y= - 注意，所谓椭圆的长轴，就是位于焦点所在轴的两个顶点之间的线段，短轴则是位于另一轴两个顶点之间的线段，焦点总是在长轴上在标准方程(7-4-4),(7-4-5)中，我们

21、总认为a>b，所以也可以说长半轴长为a，短半轴长为b至于长轴是在x轴上还是在y轴上，要取决于标准方程的具体形式，具体些说，取决于x2, y2项的分母哪个大我们不加证明地直接给出了准线方程(其实证明也不难，你可以自己动手证明一下)，从方程可见，它们是垂直于长轴的直线，且因为c<a，所以准线在定界矩形之外(见图7-66(1) 椭圆的作图 有了椭圆的标准方程，可以用描点法作出它的比较精确的图象，但是比较麻烦因为椭圆图象有固定的特征：是一个压扁了的圆，因此如果作图要求不太高，可以用下面简便的方法作出它的草图：先根据椭圆方程的标准方程(7-4-4)或(7-4-5)标出四个顶点；然后过这四个顶

22、点作坐标轴的平行线，得到椭圆的定界矩形，再用曲线将四个顶点连成一个椭圆画图时要注意椭圆的对称性及顶点附近的平滑性 例1 求下列椭圆的顶点、焦点坐标、长轴、短轴的长、离心率及准线方程，并画出草图： (1)+=1； (2)2x2+y2=32； 解 (1)由已知标准方程得x图7-68(1)y-3-3···O· a2=10, b2=9, c2=a2-b2=1，即 a=, b=3, c=1故椭圆的四个顶点分别是 (,0), (-,0), (0,3), (0,-3)； 长轴长2a=2，短轴长2b=6； 因为x2项的分母大于y2项的分母，所以焦点在x轴上，故两个焦点分

23、别是(1,0), (-1,0)； 离心率e=； 准线方程x=±=±10没有画出准线的草图见图7-68(1) x图7-68(2)y44-4···O·-4 (2)化方程为标准方程+=1， a2=32, b2=16, c2=a2-b2=16，即 a=4, b=4, c=4故椭圆的四个顶点分别是 (0, 4), (0,- 4), (4,0), (-4,0)； 长轴长2a=8，短轴长2b=8； 因为y2项的分母大于x2项的分母，所以焦点在y轴上，故两个焦点分别是(0,4), (0,-4)； 离心率e=； 准线方程y=±=±8

24、没有画出准线的草图见图7-68(2) 比较一下两张图，可以发现第二题的椭圆比第一题的椭圆要扁一些，你可以从两个离心率的比较得到印证课内练习31. 求下列椭圆的顶点、长轴长、短轴长、焦距、离心率及准线方程，并画出草图： (1)+=1； (2)25x2+y2-25=0 (2)双曲线的标准方程及几何性质 双曲线的标准方程x图7-69(1)yPF2·F1··OA·B·2ab2cCD 按定义，双曲线是到两个定点(即双曲线的焦点)F1,F2的距离差为常数的动点的轨迹，设F1F2=2c，距离差为2a,(a<c)以直线F1F2为x轴，线段F1F2的中点为

25、原点建立坐标系如图7-69(1)，则焦点F1,F2的坐标为(c,0),(-c,0)记动点为P(x,y)，据定义应有 |PF1-PF2|=2a，即 |=2a，以下如同椭圆标准方程推导过程完全类似，得到方程 =1, (a>0, b>0) (7-4-6)其中 b2=c2- a2 (7-4-7) 如果以直线F1F2为y轴，则焦点F1,F2的坐标为(0, c),(0, -c)，方程成为 =1, (a>0, b>0) (7-4-8)x图7-69(2)yPF2·F1··OA·B·2ab2cCD其中的b还是以(7-4-8)表示，此时轨迹

26、曲线、即双曲线的图象成为图7-69(2) 称以上述两种不同方式建立的坐标系为标准坐标系，而相应得到的方程(7-4-6),(7-4-8)为双曲线的标准方程 标准方程中的系数a是双曲线与焦点所在的坐标轴的两个交点间的距离之半，那么b是什么呢？改写(7-4-7)为 c2=a2+b2，可见b是这么一条线段：边长为2a,2b的矩形的对角线长，正好等于2c，在图7-69中，我们已经画出了这个矩形，称这个矩形为双曲线的定界矩形在图7-69(1)情况，矩形四角顶点坐标是(a,b),(-a,b),(-a,-b),(a,-b)，其两条对角线方程为 =0，=0 (7-4-9)在图7-69(2)情况，矩形四角顶点的坐

27、标则变为(b,a),(-b,a),(-b,-a),(b,-a)，其两条对角线方程为 -=0，=0 (7-4-9)¢这两组方程，只要令标准方程的左边等于0，再分解因式，分别令两个因子等于0就能得到你即将看到，这两组对角线在双曲线中起着重要作用 双曲线的几何性质 从双曲线的标准方程和图象，立即可以得到它的一些几何性质，我们同样列在表中xyF2F1··OA·B·CD标准方程=1, (a>0, b>0)=1, (a>0, b>0)xyF2F1··OA·B·CD图象定界矩形由直线x=

28、7;a, y=±b围成由直线y=±a, x=±b围成渐近线=0=0无界性双曲线位于直线x=±a外侧，向x轴两头开口, 两端无限延伸且无限靠近渐近线 双曲线位于直线y=±a外侧，向y轴两头开口, 两端无限延伸且无限靠近渐近线对称性以x轴、y轴为对称轴，以原点为对称中心实轴虚轴双曲线与x轴相交, 称x轴上线段AB为实轴, 其长2a为实轴长, a为实半轴长; y轴上线段CD为虚轴, 其长2b为虚轴长, b为虚半轴长.双曲线与y轴相交, 称y轴上线段AB为实轴, 其长2a为实轴长, a为实半轴长; x轴上线段CD为虚轴, 其长2b为虚轴长, b为虚半轴

29、长.顶 点称双曲线与(实轴所在的)x轴的交点A,B为其顶点, 顶点坐标A(a,0),B(-a,0)称双曲线与(实轴所在的)y轴的交点A,B为其顶点, 顶点坐标A(0,a),B(0,-a)焦 点交点在(实轴所在的)x轴上, 坐标为F1(c,0),F2(-c,0), c=交点在(实轴所在的)y轴上, 坐标为F1(0,c),F2(0,-c), c=离心率e=,e>1,e越大, 双曲线张口越开准线方程x=, x= -y=, y= - 注意，双曲线问题中，判断实轴在哪个坐标轴至关重要，因为焦点、顶点都在这根轴上，双曲线的开口方向也是向着这根轴给出焦点坐标或给出顶点坐标，即可确定实轴所在的坐标轴非零

30、坐标的同名轴；给出了双曲线的标准方程，也能立即判定正系数变量的同名轴准线方程与椭圆是相同的，它们垂直于实轴，且因为c>a，因此准线应该在两个顶点之间(见图7-66(2) 例2 求以下列方程给出的双曲线的实轴、虚轴所在的坐标轴、实半轴长、虚半轴长、离心率、顶点坐标、焦点坐标、定界矩形、渐近线及准线： (1)x2-=1； (2)=-1； (3)y2-x2=-2 解 (1)由标准方程得a=1,b=2, c= 因x2项系数为正，所以实轴在x轴上，虚轴在y轴上；实半轴长=a=1，虚半轴长=b=2，离心率e=； 顶点在x轴上，坐标为(1,0),(-1,0)；焦点也在x轴上，坐标为(,0),(-,0)

31、； 定界矩形由直线x=1, x=-1, y=2, y=-2围成； 令x2-=0，分解因式，得渐近线方程：x+=0, x-=0； 准线方程为x=±=±，即x=± (2)改写方程为标准方程：=1得a=3, b=4, c=5 因y2项系数为正，所以实轴在y轴上，虚轴在x轴上；实半轴长=a=3，虚半轴长=b=4，离心率e=； 顶点在y轴上，坐标为(0,3),(0,-3)；焦点也在y轴上，坐标为(0,5),(0,-5); 定界矩形由直线x=4, x=-4, y=3, y=-3围成； 令=0，分解因式，得渐近线方程：=0, =0； 准线方程为y=±=± (

32、3) 改写方程为标准方程：=1得a=b=, c=2 因x2项系数为正，所以实轴在x轴上，虚轴在y轴上；实半轴长=虚半轴长=，离心率e=； 顶点在x轴上，坐标为(,0),(-,0)；焦点也在x轴上，坐标为(2,0),(-2,0)； 定界矩形由直线x=, x=-, y=, y=-围成； 令=0，分解因式，得渐近线方程：=0，即x+y=0,x-y=0(第,象限分角线和第,分角线)； 准线方程为x=±=±1 其中第(3)题的双曲线有特点：长轴长与短轴长相等，称这种双曲线为等轴双曲线等轴双曲线的两条渐近线，恰好是第,象限分角线和第,分角线，且准线方程必定是x=±1或y=&#

33、177;1课内练习41. 求以下列方程给出的双曲线的实轴、虚轴所在的坐标轴、实半轴长、虚 半轴长、离心率、顶点坐标、焦点坐标、定界矩形及渐近线： (1) =1； (2)5x2-y2=-20； (3) -x2+y2=-4 双曲线的作图 已知双曲线的标准方程，可以用描点法作出它的精确图象就作出其草图而言，双曲线的渐近线使我们可以以较少的点就能办到 第一步 据标准方程的系数，画出定界矩形及其两条对角线； 第二步 确定实轴所在轴，标出顶点和焦点； 第三步 取虚轴所在轴坐标=b，则实轴所在轴坐标=a，标出该点P1 (即坐标为(a,b)若实轴在x轴上，或(b,a)若实轴在y轴上的点P1)； 第四步 光滑连

34、接顶点、P1，使连线在顶点处与定界矩形的边相切，接着一边延伸一边与对角线之一无限靠近如此得到双曲线的半支； 第五步 关于实轴所在的坐标轴作对称，得双曲线的一支，再关于虚轴对称，得到双曲线全部图象x图7-70(1)yF2·F1P1O·211-2··· 图7-70(1)(2)(3)就是根据上述步骤作出的例2中各双曲线的草图x图7-70(2)yF2F1P1O···-443-3··x图7-70(3)yF2·F1P1O···· -课内练习51. 求作课内练

35、习4中各双曲线的草图 (3)抛物线的标准方程及几何性质 抛物线的标准方程 抛物线是到一个定点(即焦点)F和定直线(即准线)l距离相等的动点的轨迹，建立抛物线方程实际上是求满足条件的轨迹方程x图7-71(1)y·O·lFP- 以过焦点F、垂直于准线l的直线为x轴、以垂足与定点间的线段的中点为原点，建立坐标系如图7-71(1)记焦点到准线的距离为p(p>0)，则准线方程为x=-，焦点坐标为(,0)动点P(x,y)到准线的距离为|x+|，到焦点的距离为，令两者相等，得 x+=两边平方、移项整理后得 y2=2px (p>0) (7-4-10)x图7-71(4)y

36、3;O·lFP-x图7-71(3)y·O·lFP-x图7-71(2)y·O·lFP 当然你也能把准线放在原点的右边，或者把过焦点、垂直于准线的直线作为y轴，因此还有如图7-71(2)(3)(4)几种可能情况此时推出的方程，依次写在图的下面 y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)所有这些方式建立的坐标系都称为标准坐标系，而导出的抛物线方程的四种形式，也都称为标准方程 对标准方程本身的识别问题方面，特别提醒你注意几点： ¨标准方程的形式，左边是一个变量的平方项，其系数为1，右边是另一个

37、变量的一次方，其系数为±2p(p>0)；其中p为抛物线的焦点到准线的距离； ¨在标准坐标系中，焦点位于一次方变量的同名轴上；焦点坐标的两个分量，与一次方变量同名的分量是一次方项系数的，另一个分量为0； ¨准线方程是一次方同名变量等于一次方项系数的的相反数； ¨为了求焦点坐标或准线方程，你首先应把所给方程化为标准方程 通观三种圆锥曲线的标准方程，它们有一个公共的特点：方程中必定出现变量的二次方项因此在很多书中，称圆锥曲线为二次曲线 例3 求下列抛物线的焦点F的坐标及准线l方程： (1)y2=4x； (2)x2+3y=0； (3) x=- y2； (4

38、)4x2=-y； (5)5y2=-3x 解 (1)由已知标准方程y2=4x，得焦点F(1,0)；准线l：x=-1 (2)化方程为标准方程x2=-3y，得焦点F(0,-)；准线l：y= (3)化方程为标准方程y2=-x，得焦点F(-,0)；准线l：x= (5) 化方程为标准方程y2=-x，得焦点F(-,0)；准线l：x= 课内练习61. 求下列抛物线的焦点F坐标及准线l方程： (1)x2=4y； (2)x2-20y=0； (3)y2=-5x； (4) x=10y2； (5)3x2+y=0 抛物线的几何性质 从抛物线的标准方程和图象，立即可以得到它的一些几何性质，这些性质集中列在下面的表中xyOl

39、F-·xy·OlF-标准方程y2=2px,(p>0)y2=-2px,(p>0)x2=2py,(p>0)x2=-2py,(p>0)xyOlF-·xyOlF-·图象位置特征及无界性抛物线位于y轴右侧，开口向右，并向右上方和右下方无限延伸抛物线位于y轴左侧，开口向左，并向左上方和左下方无限延伸抛物线位于x轴上侧，开口向上，并向右上方和左上方无限延伸抛物线位于x轴下侧，开口向下，并向右下方和左下方无限延伸对称性以x轴为对称轴以y轴为对称轴顶点以坐标原点为顶点焦点F(,0)F(-,0)F(0,)F(0,-)准线方程x=-x=y=-y=离心率

40、e=1 你可以按照下面的规律来记忆标准方程的形式：一次方项与对称轴(焦点所在轴)同名；一次方项的系数等于焦点非零坐的4倍 例4 在标准坐标系中，已知抛物线以y轴为对称轴，且焦点到准线的距离是3，求其标准方程 解 因为抛物线的对称轴为y轴，故可设其标准方程为x2=±2py, (p>0)，焦点到准线的距离为p，据已知条件得p=3所以满足条件的抛物线为下列两条：x2=6y或x2=-6y 课内练习71. 在标准坐标系中，已知抛物线的焦点坐标为(-4,0)，求其标准方程 抛物线的作图 椭圆以离心率e的大小影响其扁圆程度，双曲线也以离心率e的大小影响其张口的大小，抛物线的离心率e总是1，那

41、么以什么来影响其“胖瘦”呢？当然只有系数p了。例如抛物线y2=2px，以直线x=1与之相交，交点的纵坐标y=±，因此p越大，|y|越大，抛物线也·1xO图7-72y·1 y2=2xy2=x就越胖，反之则越瘦(见图7-72，图中画的抛物线是y2=x和y2=2x)即当p较小时抛物线较“瘦”；当p较大时抛物线则较“胖” 由于抛物线的图象不像椭圆那样有章可循是一个压扁了的圆，也不像双曲线那样有渐近线可靠近，x图7-73(1)y·O·lFP11-1·P2因此要想得到其比较精确的图象，不得不选比较多的点，然后用描点法如果图象的要求不太高，你可以用

42、下面的方法得出简图：求出过焦点、垂直于对称轴的直线与抛物线的两个交点P1, P2坐标(例如抛物线方程为y2=2px时，P1 (, p), P2(,-p)；光滑连接原点(即顶点)和P1,P2，并注意关于对称轴对称，在原点处与非对称轴的另一坐标轴相切 例5 求下列抛物线的焦点F的坐标，并作出其草图： (1)x2=-4y； (2)2y2-3x=0 解 (1)x2=-2´2y，p=2，焦点F(0,-1) 抛物线的对称轴为y轴，向下开口特征点P1(2,-1), P2(-2,-1)，草图见图7-73(1) x图7-73(2)y·O·lFP2·P1 (2)y2=2&#

43、180;x，p=, 焦点F(,0) 抛物线的对称轴为x轴，向右开口特征点P1(,)，P2 (,-)，草图见图7-72(2) 课内练习81. 求下列抛物线的焦点F坐标，并作出其草图： (1)x2=10y； (2) y2+5x=0 3. 据已知条件求圆锥曲线的标准方程 (1)据已知条件求椭圆、双曲线的标准方程 无论是椭圆还是双曲线，要确定其标准方程，都可以通过下列步骤解决 第一步 判断焦点在哪根坐标轴上或长轴(实轴)在哪根坐标轴上，由此可设定标准方程的形式，为下列四种之一： =1，=1，=1，=1；若不能确定焦点所在轴，则应同时写出两个方程(问题可能有两解)； 第二步 由题目中关于a,b的已知条件

44、得出关于a,b的方程组，或由题目中关于a,b,c的已知条件及关系式a2=b2+c2(椭圆情况)或c2=a2+b2(双曲线情况)，得出关于a,b,c的方程组； 第三步 解上述方程组，求得a2,b2； 第四步 代入已知形式的方程中，得到标准方程 例6 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，长轴在x轴上； (2)焦距为6，离心率为 解 (1)因为长轴在x轴上，故设所求的椭圆标准方程为=1,(a>b>0)由题意知2a=4,2b=2，即a2=4,b2=2，故所求的标准方程为 +=1 解之得a2=25, b2=16，故所求的标准方程为 (2)因为不能确定椭圆的焦点是在

45、哪根坐标轴上，故应设所求的椭圆标准方程为=1或=1,(a>b>0)由已知条件及a2=b2+c2，可得方程组： 2c=6, =, a2=b2+c2， +=1 或 +=1 例7 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在y轴上，虚轴长为2，焦距为8； (2)离心率e=2，两顶点相距为2 解 (1)因为焦点在y轴上，故可设所求的标准方程为=1, (a>0,b>0)据已知条件及c2=a2+b2，得方程组 2b=2, 2c=8, 解之得a2=15, b2=1， c2=a2+b2，故所求的双曲线的标准方程为=1 (2)因为不能确定双曲线的焦点在哪根坐标轴上，故设所求的标准方程

46、为 =1，=1, (a>0,b>0) 由已知条件及c2=a2+b2，可得方程组 =2, 2a=2, 解之得a2=2, b2=6， c2=a2+b2，故所求的标准为=1或=1 课内练习91. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)短轴长为8，离心率为，焦点在x轴上； (2)焦距为8，长轴长与短轴长之和为162. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为10，虚轴长为8； (2)顶点在x轴上，焦距是16，离心率e= 例8 (1)动点到两个定点的距离和为10，定点之间距离为6，以定点组成线段的中点为原点，定点连线为x轴，求动点的轨迹方程； (2)已知定点A(0,-2),B(0

47、,2)，求到这两个定点的距离和为12的点的轨迹 解 (1)据椭圆定义知轨迹是以定点焦点的椭圆，坐标系为标准坐标系 2a=10，2c=6，b=4；因为定点连线为x轴，所以长轴在x轴上，故所形成的椭圆的标准方程是+=1 (2)由椭圆的定义可知，所求轨迹为一以A,B为焦点的椭圆 因为焦点在y轴上，且关于原点对称，所以可设它的方程为 =1,(a>b>0)由已知条件及a2=b2+c2，可得方程组： 2a=12, c=2, 解之得a2=36, b2=32， a2=b2+c2，故所求的轨迹方程为+=1 课内练习101. 动点到两个定点的距离和为2，定点之间距离为1，以定点组成线段的中 点为原点，

48、定点连线为y轴，求动点的轨迹方程2. 已知P(0,-2),Q(0,2)，求到这两个点的距离差为2的点的轨迹方程 例9 若在标准坐标系中的椭圆过下列两个点，求其方程： (1)A(0,-3),B(2,0)； (2)C(-2,),B(,-) 解 (1)由椭圆的几何性质可知，椭圆是以坐标轴为对称轴的，以标准方程表示的椭圆，只有顶点的坐标才会有一个分量为0，因此A,B分别是椭圆在y轴上和x轴的顶点，由此可知，椭圆长半轴长a=3，短半轴长b=2，且长轴在y轴上所以椭圆方程为+=1 (2)设椭圆方程为+=1,(m>0,n>0) (1) 点C,D在椭圆上，它们的坐标应满足方程，所以 +=1, +=

49、1，解之，得m2=8, n2=4，所以所求椭圆的标准方程为+=1 注意，从第(2)题给定的条件，在求得方程之前难以判定焦点在哪根坐标轴上，此时可设所求的椭圆方程为(1)那样的“中性”形式，以避免分焦点在x轴、y轴两种情况讨论的麻烦 例10 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点A(6,), B(-5,0)；(2)经过点P(-3, 2), Q(-6,-7) 解 (1)因为B的y坐标为0，所以B是双曲线与x轴的交点由双曲线的性质，这个交点是双曲线的顶点，因此双曲线的实轴在x轴，且实半轴长a=5故可设双曲线的标准方程为=1，即=1 以点A的坐标代入，得=1，解得b2=25故所求双曲线为等轴

50、的，其标准方程为 =1 (2)据已知条件无法确定焦点所在的坐标轴，故设方程为 -=1, (m,n¹0且同号，即mn>0) 点P和点Q在双曲线上，以它们的坐标代入方程，得 -=1, -=1，解之得 m=-75,n=-25，所以所求双曲线方程为 -+=1，即-=1 课内练习111. 求在标准坐标系中适合下列条件的椭圆方程： (1)经过点A(-3,0),B(0,-2)； (2)经过点C(-,1),D(,-)2. 求在标准坐标系中适合下列条件的双曲线方程： (1)经过点A(2,3),B(0,5)； (2)经过点C(2,-1),D(4,) 例11 求与椭圆2x2+7y2=70共焦点，且一

51、个顶点的坐标为(0,-6)的椭圆的标准方程 解 把已知椭圆的方程化为标准方程：+=1，可见已知椭圆的焦点在x轴上，半焦距=5，因此所求椭圆的焦点也在x轴上，且c=5 (0,-6)为椭圆在y轴上的顶点(0,±b)之一，故b=6；a2=b2+c2=36+25=71 故所求椭圆的标准方程为+=1 例12 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在x轴上，焦距为4，渐近线之一的方程为3x-2y=0； (2)一条准线的方程为y=-2，半焦距为3； (3)以椭圆+=1的焦点为顶点，且以该椭圆在y轴上的顶点为焦点 解 (1)因为顶点在x轴上，所以可设所求双曲线的标准方程为=1, (a>0,b>0)，它的两条渐近线方程为=0，即y=±x 改写已知渐近线方程为y=x，可知=；又因为2c=4,c2=a2+b2，故可得方程组 =, 2c=4, 解之，得a2=16,b2=36 c2=a2+b2，故所求双曲线的标准方程为=1 (2)因为准线y=-2垂直于y轴，所以实轴在y轴上，故设所求的双曲线方程为 =1,(a,b>0)据已知条件可得方程组 c=3, -=-2， 解之，得a2=6, b2=3故双曲线方程为=1 c2=a2+b2，·xO图7-74