初升高自主招生——方程与不等式(含答案)

1、初升高自主招生研讨方程与不等式(含答案)【涉及知识点、思想、方法等】1、一元一次方程、一元二次方程(1)含字母讨论(特别注意：一切实数解与无解的应用)(2)判别式与配方法(3)韦达定理(判别式前提、变形)(4)构造求参2、其他方程(分式方程、无理方程、高次方程、方程组等)(1)思想：降次、消元(2)换元法(整体思想、换元检验)(3)因式分解(猜、凑、待、除、添、拆)(4)技巧：对称换元、主元转换、特殊赋值3、绝对值相关(1)分类讨论(2)公式展开(3)平方法4、不等式问题(1) 一元二次不等式(2)均值不等式5、其他(1)整数根问题(韦达定理、初等数论、区间长度等)(2)新定义问题【题型一】一

2、元一次方程、一元二次方程2.1、解关于x的万程：m (1-x)=mx+1【参考答案】m =0,无解m = _1，一切实数解m -1m=0 m=1, x=m、一 22、方程(2000x) +1999 M2001 x-1 =0 较小的一个根是 【参考答案】-123、若方程x +2(a+1)x+2a+1 =0有一个小于1的正数根，那么实数 a的取值范围 【参考答案】-1 :二a :二22一, 2. 一4、若关于x的方程x +x+a=0与x + ax+1 =0至少有一个相同的实数根，则实数A、 2B、2C、-2D、不存在【参考答案】C5、设 P1, P2, q1，q2为实数,2P1P2 =2(。+q2

3、),右万程，甲：x + ax + q = 0 ,一 2乙：x + p2x +q2 =0 ,则()A.甲必有实根，乙也必有实根B.C.甲、乙至少有一个有实根D.甲没有实根，乙也没有实根甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为a、b、c, /B=90> 那么关于x的方程第12页/共11页a(x2 -1 )-2cx+b(x2 +1 )=0 的根的情况为()A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x的方程x2+(a 2)x+a+1=0的两实根x1、x2满足x；+x22=4,则实数a =.【参考答案】3 -

4、 .1122ba8、已知：a =7 -3a, b =7 -3b H a b ,则不十二=.a b49一、一 .21_ . 449、右万程 x + px -= 0 的根 Xi,X2满足 x +x2 W2 + J2 ,则 p =.2 p1【参考答案】2苗10、已知日为锐角，且关于x的方程x2+3x + 2sinH =0的两根之差为J5 ,则日=。【参考答案】30度11、已知方程(x-19 J(x90)= p有实根r1,r2，其中p为实数，则方程(x r1 X x r2 )=p的 最小实根是。【参考答案】1912、解关于 x,y 的方程：x+ y =x2xy+y2+11 x = 1【参考答案】y =

5、122x ,13、对于满足(x-3) +(y-3) =6的所有实数对(x, y),使一最大，这个最大值为 y【参考答案】3+2 2222 .14、已知 x +2y -5z =3 , x -2y z = -5,求 x +y +z 的取小值【参考答案】541115、已知x, y, z为实数，且 x + y + z = 5,xy + yz + zx = 3 ,则z的取值范围为 【参考答案】一1 M z M 13 3【题型二】分式方程、无理方程、高次方程1、若关于x的分式方程-1 =-a在实数范围内无解，则实数 a =x 3 x 3【参考答案】15-2x 4-3x“j办口2、方程-的解是。2x -3

6、3x -2【参考答案】-13、方程 25 = 12 +13的解是。 480 -x 372 -x 672 -x【参考答案】48354、万程+=x -4x -2的根为.x-3 x-5【参考答案】4 ±73或4或05、解方程：2x2 15x x/2x2 -15x+1998 = 18【参考答案】-3或92x . x6、解方程：«2 +点)+(72-3 ) =4【参考答案】 27、解方程：7x+3-47x1 +x/x+8-67x1 =1【参考答案】5MxM 108、解方程：J2X1 + 辰二2 + J4T二3 + J5X=4 = 7x -3【参考答案】11112.129、解万程：x

7、= IX - 1 + 1 - Ix x2.、310、解万程：x -3x +2=0【参考答案】1或-211、解方程：(x -2)(x 1)(x 4)(x 7) =19【参考答案】-585或受2212、若方程(x2 -1)(x2 -4) =k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列, 则实数k=。413、解方程：x4 +(x -4)4 =626【参考答案】5或-143214、解方程：2x4+3x3 16x2+3x+2=0【参考答案】-2 ±点或2或1232215、解关于 x 的方程：x -ax 2ax+a 1=0一1士 也一3【题型三】绝对值方程、方程组1、方程5x - x+l

8、| =3的所有解的和为 .【参考答案】-22、方程|x -2 - =2有三个整数解，求 a的值.【参考答案】13、当2=时，方程2x+1 =x + a恰有两解，且两解只差为 3.44、解关于x的方程-x-2-3 = a2a < -3,无解【参考答案】a - -3, x =4a >3,x=2a+10或-2a-25、已知a,b,c,d,e, f为实数，满足 ace#0,已知ax + b+|cx + d =|ex+f对于任意x都成立,贝U ad -bc =.【参考答案】06、方程组:217"39=2的解为.314x 217y =2x 二5317、方程组12；2二9的解为( )A

9、、x=4, y=0 B、x=0, y=0 C、无解D、无限组解【参考答案】C'xy+x + y=1748、已知2 22 ，求xx y + xy =6632234 ./士+ xy+xy +xy +y 的值。【参考答案】124999、常数a使得方程组,- 222x 4y =a224x -2y =2a -10有解，则a的取值范围是【参考答案】a -410、解方程组:【参考答案】x2 =1 + (y -z)2 y2 =2 (z-x)2 z2 =3 + (x-y)2 ，Jx=土。12y= 2j63y=±。而411、关于x、有.组解.【参考答案】212、已知x,y,z均为非负实数，且满足

10、 x+y+z=30,3x + y z = 50,则M =5x+4y+2z的取值范围是 【参考答案】120 wM <13013、设xn X2, X3,，X2007为实数，且满足X1X2X3 X2007 = X1 - X2 x3x2007 = X1X2 X3 X2007 = X1X2X3 X2006 一 X2007 = 1，则X2000的值是 .【参考答案】-3-15或1【题型四】不等式、均值不等式1、使不等式X2 <|x成立的X的取值范围是（）A. X >1 B . X < -1C . 1<X<1 D . 1<X<0 或 0<X<1【参

11、考答案】D2、使得代数式x4 -51x2 +50的值为负数的整数 x的个数为.【参考答案】6-1 x <12、若不等式组 W有解，那么 a必须满足.2x 二 a【参考答案】a -2X : 24、已知关于x的不等式xa 1无解，则a的取值范围是 . I x a【参考答案】a 一 2八C1，5、已知a >0,则a +一的最小值为 a【参考答案】226、已知a , b , c均大于零，且a +2ab + 2ac + 4bc = 20,则a+b + c的最小值是 【参考答案】2,57、定义min a,b,c表示实数a,b,c中的最小值，若x,y是任意正实数，1 一则M =min Vx, ,

12、 y +5的取大值是. y x【参考答案】,2【题型五】绝对值问题1、a1，a2,，a7是 4,2,3,，7的一个排列，|a1 a? | +1a2 a31 + a4| *,' +1a7 a1 | 的最大值为【参考答案】242、已知：a+b £c,b+ca, c + a £b,求a +b +c的值。【参考答案】03、整数 a。，a1，a2,a3,lM,a2009,a2010 满足条件：a0 0, a1 = a0 -1 , a2 = a1 -1 , a3 = a2 1 JIL ,a20101 = 1a2009 -1 ，求 % +a +a2 +a3 +| +22009+2

13、20101的最小值。【参考答案】7【题型六】整数根问题一 、一 221、求方程x +xy+2 y =29的所有整数解y=4y=4 Jy - -4y =42、已知关于x的方程ax2 (2a+7)x+(a+7)=0的根都是整数，求整数 a的值。【参考答案1±1或±7或023、已知关于x的万程kx +(k+1 )x+(k-1)=0的根都是整数，求万程的根。【参考答案】F=2或X=°y =4y - -2223、已知关于x的方程x -2px+p 5p 1 =0的根都是整数，求质数 p的值。【参考答案】3或74、学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐

14、8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有 人.【参考答案】4411 n 10 .5、若n为正整数，则使得关于 x的不等式一 << 一有唯一整数解的 n的最大值为21 x n 19【参考答案】2206、已知a >0,且不等式1< ax <2恰有三个整数解，则当不等式2<ax<3含有最多的整数解时,正数a的取值范围为。【参考答案】2 :二a :二-710【题型七】新定义问题1、对正实数a,b作定义a*b=Jab-a+b,若4*x = 44,则x的值是【参考答案】362、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a, b对应的密文为a2b,2a+ b。例如1、2对应的密文为-3、4,当接收到密文是1、7时，解密得到的明文是（）A-1,1R13C、3,1D、1,1【参考答案】C3、定义一种运算“：当a之b时，ab = a2 +b2 ；当a < b时，a* b = a2 - b2,则方程x* 2 =12的解是【参考答案】2四或4ax by = -16, 一x