完全平方公式变形地应用(定稿子)

1、实用文案乘法公式的拓展及常见题型整理标准文档一.公式拓展:拓展一: a2 -b2 = (a -.-b)2 .2ab21/1 29a _2 (a ) -2a a拓展二:(a b)2 _(a b)2 =4ab(a b)2 =(a - b)2 4ab222_a b =(a-b) 2aba2 4 =(a 一1)2 2a a,2.222a b a -b = 2a 2b(a-b)2 = (a b)2 -4ab拓展三：a2 b2 c2 =(a b c)2 -2ab -2ac -2bc拓展四：杨辉三角形(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 = a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b

2、4拓展五：立方和与立方差a3 b3 = (a b)(a2 -ab b2)a3 -b3 ;(a b)(a2 ab b2)二.常见题型：(一)公式倍比a2 b2,例题：已知a +b=4,求+ab。2如果 a b=3, a c=1 ,那么(abf +(bcf +(ca2 的值是 x + y=1,贝U 1 x2 +xy+1 y2= 222 + 2已知 x(x 1) (x2 y) = 2,则 X 2 y -xy =(二)公式组合例题：已知(a+b) 2=7,(a-b) 2=3,求值：(1)a 2+b2 (2)ab若(ab)2=7, (a+b)2=13,则 a2+b2=, ab =22设(5a+3b) =

3、 (5a3b) +A,贝U A=若(x y)2 = (x + y)2 + a ,则 a 为如果(x y)2+M =(x + y)2,那么M等于已知(a+b) 2=n (a b) 2=n,则 ab 等于 22若(2a-3b)=(2a+3b)+N，则n的代数式是已知(a+b)2 =7, (a -b)2 =3,求 a2 +b2 +ab 的值为。已知实数 a,b,c,d 满足 ac + bd=3, ad-bc =5,求(a2+b2)(c2+d2)(三)整体代入例 1 ： x2 - y2 =24 , x + y = 6 ,求代数式 5x +3y 的值。例 2：已知 a= x + 20, b= x + 1

4、9, c= x + 21,求 a2 + b2+c2ab bcac 的值20202022(1)右 x3y=7,x -9y =49,则 x+3y=若 a +b = 2 ,则 a2 -b2 +4b= 若 a+5b = 6 ,则 a2 十5ab + 30b=,22 一, a b已知a + b =6ab且a>b>0,求 的值为a -b(4)已 知 a=2005x+2004 , b=2005x+2006 , c = 2005x + 2008 ,贝U 代数式222a + b + c -ab -bc -ca 的值.(四)步步为营例题：3 (2 2+1) (2 4 +1) (2 8+1) ( 216

5、 +1)6 (7 1) (7 2 +1) (7 4 +1) (7 8+1)+1a -b a b a2 b2 a4 b4 a8 b8实用文案(2 1) (22 1) (24 1) (28 1) (216 1) (232 1) 120122 20112 十20102 20092 中 十22121 11 U J ':，1(三人一铲八一42祸(五)分类配方例题：已知 m2 + n2 6m +10n +34 = 0 ,求 m + n的值。已知：x2 +y2 +z2 -2x+4y-6z+14=0 ,贝U x+y+z 的值为。已知x2 +y2 -6x-2y+10=0 ,贝U 1 +工的值为。 x y

6、已知x2+y2-2x+2y+2=0,求代数式x2003 +y2004的俏为若x2 +y2 +4x -6y +130 , x, y均为有理数，求 xy的值为。已知 a2+b2+6a-4b+13=0,求(a+b) 2 的值为说理：试说明不论x,y取什么有理数，多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数.(六)首尾互倒例 1：已知 X*； =2,求：。I T；(2)a4 +/(3)”I xaa a一 一.2.1 O 1'1 1例2：已知a-7a+1=0.求a十一、a2十二和 a- I的值； a a la)1o 1已知 x -3x -1 0 ,求 x +-2= x _2=xx标准文档实用文案

7、若X2-. 19x+ 1=0,求2x4 14- x的值为如果a=2,那么a2、已知x那么x已知且 0<a<1,求 a-(6)已知a2 3a+1=0.求a+1和12已知x+=3,求xxa12 X1 -的值是a1 - a和aa2 3的值为a已知a27a+1 = 0.求a+工、 a1+2 a21 a - -a的值;标准文档（七）知二求一例题：已知a+b=5,ab=3,求：a2 +b2a b a2 -b2-a b3)一 十 一b a一 22 a -ab b已知 m +n = 2 , mn = 2 ,则(1 m)(1 -n) =若 a2+2a=1 则(a+1) 2=.2,2.2,2右 a b

8、 =7, a+b=5,贝 ab= 右 a b =7, ab =5 ,贝 a+b= c cc2. 2若右 x+y =12,xy=4,则(x-y) =.a +b =7, a-b=5 ,贝U ab=2,2-a +b =3, ab =-4 ,贝U a-b=已知:a+b=7,ab=-12,求 a2+b2= a2-ab+b2= (a-b) 2=已知 a+b=3, a3+ b3=9,贝 ab=, a2+b2 =,a-b= 第五讲乘法公式应用与拓展【基础知识概述】、基本公式：平方差公式：（a+b）（a-b）=a 2 b2完全平方公式：（a+b） 2 =a2 +2ab+b2(a-b) 2 =a2-2ab+b2变

9、形公式：（1） a2+b2 = （a+b j _2ab222（2）a +b =（a _b）+2ab（2） 2 _ 2 _ 2（3） （a+b） +（a-b） =2a +2b22（4） （a +b ） _（a-b ） =4ab二、思想方法：a、b可以是数，可以是某个式子； 要有整体观念，即把某一个式子看成a或b,再用公式。注意公式的逆用。 a2 >0o用公式的变形形式。三、典型问题分析：1、顺用公式：例1、计算下列各题： a-b a b ji a2 b2 a4 b4 a8 b8 3(2 2 +1)(2 4+1)(2 8+1)( 216 +1)+12、逆用公式：例 2. 19492 -195

10、02 +19512 -19522 +20112 -20122 1.23452 +0.76552 +2.469 X 0.7655实用文案【变式练习】填空题： a2 +6a += 1 a + j 4x2+1+ = ()26. x2+ax+121是一个完全平方式，则 a为()A . 22 B . 22 C . ±22 D .03、配方法：例 3.已知：x2 +y2 +4x-2y+5=0,求 x+y 的值。【变式练习】11 .已知 x2 +y2 -6x-2y+10=0 ,求 1+1 的值。x y已知:x2 +y2 +z2 -2x+4y-6z+14=0 ,求：x+y+z 的值。当x=时，代数式

11、x2取得最小值，这个最小值是 当*=时，代数式x2 +4取得最小值，这个最小值是 2当*=时，代数式(x-3) +4取得最小值，这个最小值是 当*=时，代数式x2 -4x-3取得最小值，这个最小值是 对于一2x2 -4x 3呢？4、变形用公式：,42例5.右(xz) 4(x yXyz)=0,试探求乂+2与丫的关系。22例 6.化间：(a+b+c + d ) +(a+bc d )2222例7.如果3(a +b +c)=(a+b + c)，请你猜想：a、b、c之间的关系，并说明你的猜想。完全平方公式变形的应用练习题一：1、已知 m2+n2-6m+10n+34=0,求 m+n的值2、已知x2+y2+

12、4x6y+13=0, x、y都是有理数，求xy的值。标准文档实用文案2 a b ,2 .3 .已知（a+b） =16,ab=4,求与（a-b）的值。3二：1 .已知（a b） =5,ab = 3 求（a +b）2 与 3（a2 +b2）的值。2 .已知 a+b=6,ab=4求ab与a2+b2的值。3、已知 a +b =4,a2 +b2 =4求 a2b2 与（a -b）2 的值。4、已知（a+b）2=60, （a-b） 2=80,求 a2+b2及 ab 的值5 .已知 a+b =6,ab =4 ,求 a2b+3a2b2+ab2 的值。6 .已知 x2+y22x4y+5 =0 ,求 g（x1）2x

13、y 的值。7 .已知x-1=6,求x2+4的值。 xx118、x2 +3x+1=0,求（1） x2 +（2） x4+exx9、试说明不论x,y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数。10、已知三角形ABC勺三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式3(a2+b2+c2) = (a + b + c)2,请说明该三角形是什么三角形?B卷：提高题一、七彩题1.(多题思路题)计算：(1 ) (2+1) (22+1) (24+1)(22n+1) +1 (n 是正整数);34016(2) (3+1) (32+1) (34+1)(32008+1)22.(一题多变题)利用平方差公式计算:200

14、9 X 2007-20082.(1) 一变：利用平方差公式计算:200720072 -2008 2006(2)二变：利用平方差公式计算:200722008 2006 1标准文档二、知识交叉题3.(科内交叉题)解方程：x (x+2)+ (2x+1) (2x1) =5 (x2+3).三、实际应用题3米,4.广场内有一块边长为 2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长 则改造后的长方形草坪的面积是多少？课标新型题1 .(规律探究题)已知 xW1,计算(1+x) (1x) =1 x2, (1x) (1+x+x2) =1 x3, (1 x) (? 1+x+x2+x3) =1

15、-x4.(1)观察以上各式并猜想：(1 x) (1+x+x2+xn) =. (n为正整数)(2)根据你的猜想计算：( 1 2) ( 1+2+22+23+24+25) =.实用文案2+22+23+2n= (n为正整数). (x 1 ) (x99+x98+x97+.+x2+x+1 ) =.(3)通过以上规律请你进行下面的探索：(ab) (a+b) =.(ab) (a2+ab+b2) =.(ab) a a3+a2b+ab2+b3) =.2 .(结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母3 .从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，？将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，

16、如图171所示，然后拼成一个平行四边形，如图172所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下.4、探究拓展与应用(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 2 1)(2 2+1)(2 4+1) 二(24 1)(2 4+1)=(2 8 1).根据上式的计算方法，请计算(3+1)(3 2+1)(3 4+1)(3 32+1) 3-的值.2“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击 破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，

17、化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问 题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：1、当代数式x2+3x+5的值为7时，求代数式3x2+9x2的值.2 + b2 + c2 - ab - ac - bc 的值。一 一，3332、已知 a= x20, b=x18, c= x16,求：代数式 a888标准文档实用文案3、已知 x+y=4, xy=1,求代数式（x2+1）（y2+1）的值4、已知x =2时，代数式ax5 +bx3+cx-8 = 10 ,求当x = -2时，代数式 ax5 +bx3 +cx -8 的值5、若 M =123456789123456786,

18、 N =123456788123456787试比较M与N的大小6、已知 a2 +a -1 =0 ,求 a3 +2a2 +2007 的值.一、填空（每空 3分）1.已知a和b互为相反数，且满足（a +3 2 -（b +3 2 =18,则a2 b3 =2、已知：52n =a, 4n =b,则 106n =3 .如果x2 -12x +m2恰好是另一个整式的平方，那么 m的值4 .已知a2 -Nab +64b2是一个完全平方式，则 N等于5 .若 a2b2+a2+b2+1=4ab,贝U a= ,b= 6 .已知 10m=4,10 n=5,求 103m+前的值7 .(a 2+9)2 (a+3)(a 3)(a 2+9)=8 .若 a - =2,贝U a2 -y =a 4+_= aaa9 .若 Vx -2 + y + n +(3-m) 2=0,则(my) x=10 .若 58n2541253n =2521 ,则 n =