高二数学解三角形全章 人教

1、2019-2020年高二数学解三角形全章教案 人教版【教学目的】1.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；2.理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。【教学重点】正弦定理的证明和理解【教学难点】正弦定理的证明【教学过程】一新课引入：初中学习了全等三角形只要根据已知条件就能判断三角形是否全等。能否根据给定条件算出三角形的未知边与未知角？这就是解三角形。解三角形有几个重要定理，今天学习其中之一-正弦定理问题1.在直角三角形ABC中，对应边依次为a,b,c，求证：=【猜想与推广】正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = =2R（R为A

2、BC外接圆半径）证明：2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC= 两边同除以即得：=证明二：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90°+|cos(90°-C)=|cos(90°-A) =同理，若过C作垂直于得： = =二正弦定理的应用 定理剖析，加深理解正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即：从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角的正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。这种对应关系是严谨的，也是和谐的，它体现了数学的一种和谐美。从

3、方程的观点看，表达式中每一个等号所形成的等式中，含有四个量，显然可“知三求一”。于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：已知两边与任一边，求其他两边和一角；已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。例1 已知在解：由得 由得例2 在解：【比较例1，例2】体会：例3 解：，【变式】【探索】(*)例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC四、课堂练习：1在ABC中，,则k为( )A2R BR C4R D(R为ABC外接圆半径)2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形(*)3在ABC

4、中，求证：五、小结 正弦定理，两种应用六、课后作业：1在中，已知，求2在中，已知，求3在ABC中，已知，求证：2b2a2c24在ABC中，已知试判断ABC的形状。(*)5.在中,内角A、B、C的对应三边分别为,已知,若满足对任意三角形都成立,求实数的取值范围利用正弦定理解三角形时，解的问题的探讨：已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:【变式练习】1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：，求，求，求，求，求，求(,只能为锐角,因此仅有一解.图示,只能为锐角,因此仅有一解.图示,即,仅有一解. 图示即例2，先让学生判断，然后回忆对照。再次

5、理解本题有两解。即例3，先让学生判断，然后回忆对照。再次理解本题仅有一解。由改编，由图知，本题无解)2已知A,B,C是的三个内角，求证：3在ABC中，A60°，b1，其面积为，求的值（*）4. 在中，求证作业：1. 在中,已知,在分别为20, ,和5的情况下,求相应的角C.2在中，b=2a, B=A,求A3.在中，角所对的边分别为若，求角(*)4.课本11页B组 1112 余弦定理【教学目的】1.理解并掌握余弦定理及其证明； 2.能初步运用余弦定理解斜三角形；3.理解用向量方法推导证明余弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。【教学重点】余弦定理的证明和理解【教学难点】余

6、弦定理的推导与证明【教学过程】一复习与新课引入：1正弦定理及其推导、证明: 2应用正弦定理可以解决： 3两个三角形全等的判定定理有： 问题对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？推导 如图在中，、的长分别为、即同理可证 ，二新课：1余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 2余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（2）已知三边，求三个角；【余弦定理变式】三、讲解范例：例1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C解： 0725

7、， A44° 08071， C36°, B180°(AC)100°【变式1】：已知不变，结论换成判定的形状。【变式2】：已知不变，结论换成求的面积。例2在ABC中，已知，求；已知，求；已知，,求,并判断三角形的形状。例 3 ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A解法一： |AB| |BC| |AC| = A84°解法二： (8，3)，(2，4) cosA=, A84°四、课堂练习：1在ABC中，若a2b2+c2，则ABC为；若a2=b2+c2，则ABC为 ；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，则AB

8、C为 2在ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 3在ABC中，BC=3，AB=2，且，A= 参考答案： 1钝角三角形，直角三角形，锐角三角形2等腰三角形 3 120°五、小结 余弦定理及其应用六、课后作业：课本1011页： 2，3【补充】1在ABC中，证明：（a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB02在ABC中，已知sinB·sinCcos2，试判断此三角形的类型课题 正弦定理、余弦定理4【教学目的】1.正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形； 2.会利用计算器解决斜三角形计算问题；3.通过解斜三角形培养学生用方程的思想理解有关问题,并培养学生解题的优化

9、意识. 【教学重点】正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形【教学难点】正弦定理、余弦定理运用求解中的技巧的应用和准确的计算【教学过程】一复习：说出正弦定理、余弦定理的内容和它们各自的作用；二知识应用例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度数例2在ABC中，已知2cosBsinCsinA，试判定ABC的形状例3在ABC中已知a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形例4在中，（1）若，求. （2）若 ,求A例5声速为米/秒,在相距的A,B两处,听到一爆炸声的时间差为6秒,且记录显示B处的声强是A处的4倍.若声速,声强与距离的平方成反比,试确定爆炸点P到AB的中点M

10、的距离.三小结（1）内角和定理及变换有:. （2）边角转换的常用定理有:正弦定理、余弦定理、射影定理（）.四作业1课本24页 14，2课本24页 153中,已知,判断的形状.4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.求的值；12 应用举例（一）教学目的：1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法教学难

11、点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发式在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理教学过程：一、复习引入：1正弦定理：2余弦定理： ，3解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用二、讲解范例：例1课本12页例1例2课本12页例2例3 自动卸货汽车

12、的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为195，AB与水平线之间的夹角为6°20，AC长为140，计算BC的长(保留三个有效数字)(油泵顶杆BC约长189)例4某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间(舰艇方位角为66°47，小时即40

13、分钟)例5课本17页例6三、小结 通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力四、作业1. 课本14页练习 12. 课本22页 1、2(*)3课本22页312 应用举例（二）教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课课时安排：1课时

14、教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：自学辅导法在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼教学过程：一、复习引入：上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决二、讲解范例： 例1课本15页例3例2课本15页例4例3课本16页例5例3 据气象台预报，距S岛300 的A处有一台风中心形成，并以每小时30的速度向北偏西30°的

15、方向移动，在距台风中心270 以内的地区将受到台风的影响问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由例4：海中有一小岛B，周围38海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北6O°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?三课堂练习1直线AB外有一点C，ABC6O°，AB2OO，汽车以8O 速度由A向B行驶，同时摩托车以5O公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小（答案：约13小时）2一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里

16、处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度四小结五作业1 课本17页 32 课本22页4 3 课本23页 5、7，应用举例（三）教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课一 正、余弦定理的应用回顾：（1）解三角形 （2）证明三角恒等式 （3）解决实际问题二应用举例1 课本23页102 课本23页113据气象台预报，距S岛300 的正东方向的A处有一台风中心形成，并以每小时30的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 以内的地区将受到台风的影响问：（1）S岛是否受其影响?（2）若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB27O这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过小时到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB解：设台风中心经过小时到达B点，由题意，SA