高中数学导数及其应用 132 极大值与极小值习题 苏教版选修22

1、1.3.2极大值与极小值明目标、知重点1.了解函数极值的概念，能从几何方面理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及函数在某一点取得极值的条件.3.掌握用导数的方法求函数的极值1极值的概念(1)极大值如图，函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb处附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，则把f(b)叫做函数yf(x)的极大值(2)极小值如图，函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa处附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把f(a)叫做函数yf(x)的极

2、小值函数的极大值、极小值统称为函数的极值2极大值与导数的关系xx1左侧x1x1右侧f(x)f(x)>0f(x)0f(x)<0f(x)增()极大值f(x1)减()3.极小值与导数之间的关系xx2左侧x2x2右侧f(x)f(x)<0f(x)0f(x)>0f(x)减()极小值f(x2)增()情境导学在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容探究点一函数的极值与导数的关系思考1如图，表

3、示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象，观察发现，ta时，高台跳水运动员距水面的高度最大那么，函数h(t)在此点的导数是什么？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？答函数h(t)在点ta处h(a)0.在ta的附近，当t<a时，函数h(t)单调递增，h(t)>0；当t>a时，函数h(t)单调递减，h(t)<0.思考2如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数

4、yf(x)在点xd处的函数值f(d)比它在点xd附近其他点的函数值都小，f(d)0；在xd的附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)0.类似地，函数yf(x)在点xe处的函数值f(e)比它在xe附近其他点的函数值都大，f(e)0；在xe附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0.思考3函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个思考4若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明答不一定可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零

5、的点不一定是极值点可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)的符号不同例如，函数f(x)x3可导，且在x0处满足f(0)0，但由于当x<0和x>0时均有f(x)>0，所以x0不是函数f(x)x3的极值点例1求函数f(x)x34x4的极值解f(x)x24.解方程x240，得x12，x22.由f(x)>0，得x<2或x>2；由f(x)<0，得2<x<2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增由表可知：当x2时，f(x)有极大值

6、f(2)；当x2时，f(x)有极小值f(2).反思与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值跟踪训练 1求函数f(x)3ln x的极值解函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1

7、(1，)f(x)0f(x)单调递减3单调递增因此，当x1时，f(x)有极小值f(1)3.探究点二已知函数极值求参数的值思考已知函数的极值，如何求函数解析式中的参数？答解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件例 2已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值解因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解之得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(

8、x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.反思与感悟(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为“导数值等于零”不是“此点取得极值”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性跟踪训练2设当x1与x2时，函数f(x)aln xbx2x取得极值(1)试确定常数a和b的值；(2)判断当x1，x2时函数f(x)取得极大值还是极小值，并说明理由解(1)f(x)aln

9、 xbx2x，f(x)2bx1.由极值点的必要条件可知：f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解方程组得，a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且函数f(x)ln xx2x的定义域是(0，)，f(x)x1x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0；所以，x1时函数f(x)取得极小值，x2时函数f(x)取得极大值探究点三函数极值的综合应用例 3设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2

10、.因为当x>或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数跟踪训练3若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围解f(x)2x36xk，则f(x)

11、6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是单调减函数，f(x)在(，1)和(1，)上是单调增函数f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4k<0或4k>0(如图所示)或即k<4或k>4.k的取值范围是(，4)(4，)1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的_条件答案必要不充分解析对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立2下列函数存在极值的是_(填序号)y；yxex；yx3x22x3；yx3.答案解析中f(x)，

12、令f(x)0无解，中函数无极值中f(x)1ex，令f(x)0可得x0.当x<0时，f(x)>0，当x>0时，f(x)<0.yf(x)在x0处取极大值，f(0)1.中f(x)3x22x2，42420<0.yf(x)无极值也无极值3已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_答案a<3或a>6解析f(x)3x22ax(a6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)24×3×(a6)>0，解得a>6或a<3.4直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_答案2<

13、;a<2解析f(x)3x23.令f(x)0可以得到x1或x1，f(1)2，f(1)2，2<a<2.呈重点、现规律1函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反2利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.一、基础过关1.函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf(x)的图象如图，则函数yf(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有_个答案1解析当满足f(x)0的点，左侧f(x)<0，右侧f(x)>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点2下列关于函数的极值的说法正确的

14、是_(填序号)导数值为0的点一定是函数的极值点；函数的极小值一定小于它的极大值；函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案解析由极值的概念可知只有正确3若a>0，b>0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_答案9解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a>0，b>0，ab2，26，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.4函数yx33x29x(2<x<2)的极大值为_答案5解析由y3x26x90

15、，得x1或x3，当x<1或x>3时，y>0.当1<x<3时，y<0.故当x1(2<x<2)时，函数有极大值5.5函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a、b的值分别为_、_.答案13解析因为f(x)3ax2b，所以f(1)3ab0.又x1时有极值2，所以ab2.由解得a1，b3.6若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是_答案1<a<4解析y3x23a，当a0时，y0恒成立，函数yx33axa为单调函数，不合题意，舍去；当a>0时，y3x23a0x±，不难分析，当1<<2，即1&

16、lt;a<4时，函数yx33axa在(1,2)内有极小值7求下列函数的极值：(1)f(x)；(2)f(x)x2ex.解(1)函数的定义域为(，1)(1，)f(x)，令f(x)0，得x11，x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1,2)2(2)，f(x)00f(x)单调递增单调减递单调递增3单调递增故当x1时，函数有极大值，并且极大值为f(1)，无极小值(2)函数的定义域为R，f(x)2xexx2·2xexx2exx(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)

17、f(x)00f(x)单调递减0单调递增4e2单调递减由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且为f(0)0；当x2时，函数有极大值，且为f(2)4e2.二、能力提升8设函数f(x)的定义域为R，当xx0(x00)时f(x)取得极大值，以下结论一定正确的是_(填序号)xR，f(x)f(x0)；当xx0时f(x)取得极小值；当xx0时f(x)取得极小值；当xx0时f(x)取得极小值答案解析错，因为极大值未必是最大值错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，当xx0时f(x)取得极大值错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，当xx0时f(x)取得极小值对，函数yf(x)

18、与yf(x)的图象关于原点对称，当xx0时yf(x)取得极小值9.函数f(x)x33ax23(a2)x3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_答案(，1)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20，函数f(x)有极大值和极小值，方程x22axa20有两个不相等的实数根，即4a24a80，解得a2或a1.10.如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断

19、正确的是_(填序号)答案解析当x(，2)时，f(x)<0，所以f(x)在(，2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(2,2)上是增函数，在(4，)上为增函数，所以可排除和，可选择.由于函数在x2的左侧递增，右侧递减，所以当x2时，函数有极大值；而在x的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x的左右两侧均为增函数，所以x时函数无极值排除和.11已知函数f(x)x3mx22m2x4(m为常数，且m>0)有极大值，求m的值解f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，则xm或xm.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(x)极大值f(m)m3m32m34，m1.12.设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x()，(，1)1(1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(x)的极大值是f()a，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可