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文档简介
1、第一章极限计算方法总结一、极限定义、运算法则和一些结果1定义:数列极限、函数极限, 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;等。定义证明按着总结的四个步骤来,缺一不可!(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。2极限运算法则定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且(1)(2)(3) 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。3两个重要极限(1) (2) ; 说明:(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运
2、用它们的变形形式。 (2)一定注意两个重要极限成立的条件。 例如:,;等等。4等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: 。说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价关系成立,例如:当时, ; 。 定理4 如果函数都是时的无穷小,且,则当存在时,也存在且等于。5连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有 。求极限的一个方法。6极限存在准则 定理6(准则1) 单调有界数列必有极限。 定理7(准则2) 已知为三个数列,且满足:(1) (2)
3、, 则极限一定存在,且极限值也是a ,即。二、求极限方法举例1 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限例1 解:原式= 。注:本题也可以用洛比达法则。例2 解:原式= 。例3 解:原式 。2 利用函数的连续性(定理6)求极限例4 解:因为是函数的一个连续点, 所以 原式= 。3 利用两个重要极限求极限例5 解:原式= 。注:本题也可以用洛比达法则(第三章)例6 解:原式= 。例7 解:原式= 。4 利用定理2求极限例8 解:原式=0 (定理2的结果)。5 利用等价无穷小代换(定理4)求极限 例9 解:,原式= 。例10 解:原式= 。注:下面的解法是错误的: 原式= 。 正如下面例题解法错误一样: 。例11 解:, 所以, 原式= 。(最后一步用到定理2)5 利用极限存在准则求极限例20 已知,求解:易证:数列单调递增,且有界(0<<2),由准则1极限存在,设 。对已知的递推公式 两边求极限,得: ,解得:或(不合题意,舍去)所以 。例21 解: 易见:因为 ,所以由准则2得: 。上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟
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