二次型及其应用

1、2016届学生毕业论文材料（四）学 生 毕 业 论 文课题名称二次型及其应用姓 名兰海峰学 号1209401-23学 院数学与计算科学学院专 业数学与应用数学指导教师陈暑波 副教授2016 年 3月 15日湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业设计（论文）作者签名：

2、二一六 年 六 月 日 目 录摘要1关键词1Abstract 1Key words 11.二次型基本理论21.1二次型的矩阵表示 21.2矩阵的合同关系 21.3二次型的标准型、规范型及其性质 31.4正定二次型及其性质 32.二次型的实例应用52.1二次型在初等数学中的应用 52.1.1二次型与因式分解 52.1.2二次型与不等式的证明 72.1.3二次型在曲线上的应用 72.1.4求解多元二次函数最值 92.1.5二次型与条件极值122.2二次型在高等数学中的应用132.2.1二次型在曲面上的应用132.2.2二次型在最小二乘法上的应用14参考文献 17致谢 17附录 18二次型及其应用摘

3、要：二次型是代数学中的重要内容，它将二次函数与矩阵直观地联系起来，通过矩阵的表达与计算简化了研究二次函数性质的过程。然而，在本科阶段中对二次型的学习要求并不多。因此本课题通过研究利用二次型的各项性质解决在因式分解、不等式的证明、二元及多元二次函数的极值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲线或曲面积分等情形的问题，扩充二次型在初等数学和高等数学中的使用范围，并使本科生能全面地认识和使用二次型。关键词：二次型；正定矩阵；正交变换；多元二次函数；曲面积分Quadratic Form and Its Applications Abstract：Quadratic form is an imp

4、ortant content in algebra, it connects quadratic function with the matrix intuitively, and make the process to research the properties of the quadratic functions easier by using matrix. However, in the undergraduate studies, learning requirements for quadratic form is not many. Thus, this project re

5、searches all the properties of quadratic form in order to solve the questions about factorization, the proof of inequality, the extremum of the binary and multivariate quadratic function and a part of curve and curved surface integral. Expand the quadratic form using scope of elementary mathematics

6、and higher mathematics, and make undergraduates understand and use quadratic form thoroughly at the same time. Key Words：Quadratic Form；Positive Definite Matrix；Orthogonal Transformation；Multivariate Quadratic Function；Curved Surface Integral1二次型基本理论二次型理论与高等代数理论、方法及其应用有着相辅相成的关系二次型与多项式的相互表示、二次型矩阵的性质以

7、及正定(半正定)二次型关于矩阵特征值等等。在此，我们详细说明二次型的一些重要理论。1.1二次型的矩阵表示二次型是满足特殊条件的多项式的集合，矩阵是代数学的基础，应用于各个分支。使用矩阵来表示二次型，将会极大程度的简化二次型函数的表达式和其运算。根据二次型的定义，将其表示为 （1.1）把等式右边的系数转化为矩阵，即。所以二次型（1.1）的矩阵表示为其中是表示其系数的对称矩阵，。1.2二次型与矩阵的合同关系定义1.11 设数域上的矩阵和，如果有同数域上的可逆的矩阵，使得，则称和是合同的，即与是合同关系。显然，要使新二次型的矩阵还原至原二次型矩阵，只需再令，而后做线性替换即可。所以，要了解或是使用原

8、二次型的性质，可通过研究变换后的二次型的性质来实现。1.3二次型的标准型、规范型及其性质定义1.21 二次型经过非退化的线性的替换而成的平方和 （1.4）称为的一个标准型。此时，二次型的系数矩阵应为。根据二次型的标准型（1.4），再作一次对应的非退化线性替换可得 （1.6）（1.6）式即为复二次型的规范型，其中()属于复数域。同理，将实数域中的二次型标准型的系数取绝对值开方后加符号，可以得到定理1.11（惯性定理）任一个实数域上的二次型，可以经过一系列非退化线性替换变为唯一的规范型，即另外，在实数域二次型的规范型中，我们将正平方项的个数称为的正惯性指数，而将其负平方项的个数称为的负惯性指数；它

9、们的差称为的符号差。1.4正定二次型及其性质正定二次型是实数域二次型中特殊的集合，它们有着非常重要的性质。在初等数学和高等数学中，灵活运用正定二次型的性质可以让问题简化处理。定义1.31 如果对于任一组不全为零的实数都可使实数域二次型满足，则此二次型称为正定的。矩阵称为正定矩阵，当且仅当二次型正定时成立。对比正定性的定义，二次型的负定性、半定型与不定性有着类似的定义。这里给出正定二次型的一个特别的判断定理：定理1.21 实数域二次型是正定的充分必要条件为的顺序主子式全大于零。关于半正定性（半负定性即在函数式添加负号，为简便故只讨论一种情况）的判定，直接给出如下结论：定理1.31 对于实数域的二

10、次型，其中是对称的实数域矩阵，则下述条件等价：（1）的正惯性指数与秩相等，（2）的正惯性指数为，其符号差也为，（3）的规范型为，（4）存在实数域矩阵，使得，（5）矩阵的所有主子式大于或等于零（主子式为行指标与列指标相同的子式）。（6）有可逆的实数域矩阵，使，其中，。需要注意的是，对于第（5）条，只判断顺序主子式的性质并不能确保半正定性。例如就是负定的。2二次型的应用实例二次型基于函数与矩阵的关系，能有效的解决函数、矩阵方面的问题。因此，拓广二次型在初等数学和高等数学中的使用方式，能有效得体现出二次型的各项特性，并为充分认识和使用二次型形成了条件。2.1二次型在初等数学中的应用在初等数学中，函数

11、的地位举足轻重。因此，讨论二次型在初等数学中关于函数的作用,既是对二次型的使用范围进行扩充、对其使用方式进行变通，同时也为解题思路提供了更多的方向。2.1.1二次型与因式分解因式分解，即把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式的过程。对二次型而言，其函数表达式最高为二次，因此在讨论因式分解时，其多项式次数大于三均不考虑。现假设有二元函数表达式为 （2.1）此时，存在二次型无法表达的一次项和常数项，因此，将（2.1）式扩展为后，可得。下面，用矩阵表示出，可得取，由定理1.2可知，其中是原二次型的规范型，而矩阵应合同于规范型的矩阵。现设出矩阵,是通过非退化线性变换得到，故对函数而言，只需对应替换

12、变量即可变换回。这就是说，要使原多项式可因式分解，只需可因式分解。此时，应满足：（1）（2）。可以得出以下定理：定理2.11 设存在实数域二次型，则可分解为两个实数域的一次齐次多项式乘积的充要条件为：秩为1，或者秩为2且符号差为0。下面给出一个实例。例2.1 求解是否可以进行因式分解？如果可以，请分解。解：将扩展为，则。，取,由非退化线性变换得根据定理2.1可知，矩阵B的秩为1，故可在实数域内分解因式。最后可得。2.1.2二次型与不等式的证明对于不等式来说，一般都可以转化为与0值的比较。因此，正定二次型或负定二次型是证明不等式的有力工具。例2.2 证明三元不等式成立（其中不同时为0）。证：设函

13、数。要证原不等式成立，只要证函数即可。现取，根据定理1.4，的一阶顺序主子式，二阶，三阶表明矩阵是正定矩阵，对任意都有2、3。所以，原不等式成立。2.1.3二次型在曲线上的应用设是正交矩阵，称线性变换为正交变换。考察空间中向量的模，可得即是两向量的长度完全相同。这便说明，向量在经过正交变换后，其长度不会发生改变。因此，几何体的整体形状也不会发生改变。这让以向量为主要研究载体的曲线（面）有了更加方便的研究方法。在此，给出定理：定理2.24 向量在经过正交变换后，其长度不会发生改变。进而其几何体形状大小也不会发生变化。例2.3 化简二次曲线方程,并判断其形状大小。解：根据例2.1的方法，我们令，再

14、设三个变量的函数，则有。由此可得的矩阵由合同变换，得到其标准型的矩阵，其方程转化为。再根据定理2.2，图形整体形状在正交变化下是不会发生改变的（如图2.1），故有整理后可得。显然，这是一个椭圆，且长短轴分别为个单位和2个单位，其面积为。图2.1 椭圆的正交变换在对例题进行分析后，我们可以讨论利用二次型对一般曲线的形状判断。设方程是二次曲线的一般方程，根据不同的参数设置，有如下情况：（1）或时，是只含有单一未知量的一元二次函数；（2）或时，方程可直接化为一般抛物线方程；（3）上述两种外，可将原方程扩充为三元二次方程从而形成二次型可解决的问题，即，其中。依照定理2.2，则一定可以通过非退化线性变换

15、变换为的形式，且不会改变原方程表示图形的形状。因此，我们只需要讨论（）即可：（i）若，由于对称性，我们设而（同时为0时，不满足二次的要求）。此时上式即化简为 （2.2）当（2.2）式右边值为负数，即时，图像表示为两条平行虚直线；当（2.2）式右边值为正数，即时，图像表示为两条平行实直线；当时，图像为一条轴，事实上是两条直线重合。（ii）在的情况下，我们从与0的关系开始讨论，（a），则。显然，如果（即），那么图像表示为两条相交直线，且其夹角；如果（即），即在只有零解的情况下，其图像为一个点；（b），我们可以将式子简化为，其中，。若且，则显然是一个实椭圆图像；当且时，图像为复数域上的虚椭圆。若，不

16、妨设，此时原式的等价于,其图像是一个双曲线。综上，我们已经完成了对二次型在曲线形状判定上的讨论。2.1.4求解多元二次函数最值对一元二次函数的各类探讨，是初等数学中很重要的知识点。根据2.1.2节的理论可以发现，二元二次函数的探讨可以利用二次型完成，因此，我们可以自然的联想到“多元二次函数是否能通过二次型来求得最值”这个问题。对一元二次函数而言，其函数表达式为。当时，在处取得最小值；时，在同一点处取得最大值。现扩充为元二次函数的形式，则有再用矩阵表示各项系数，就可得到 （2.3）其中，,且所有。此时，在可逆时，即是对称矩阵。由以上条件，作变换,（2.3）可化为整理开即最后化简，可以得到 （2.

17、4）这里可以看出，（2.4）式右端仍是一个二次型，故有如下讨论（1）如果矩阵是正定的，则正定，也就是说对任意的都有（当且仅当时等号成立），也即所以，只有在时，可取的最小值，此时；（2）同理可知，如果矩阵是负定的，则对任意的都有（当且仅当时等号成立）。故在时，可取得最大值，此时仍等于。综上可知，多元二次函数的极值求解与一元二次函数极值的求解办法相似，只是在计算方式上由常数的运算变为矩阵运算。下面再用例题说明上述结论。例2.4 求三元二次函数最值。解：根据上述推到，我们设，则其中,，。显然，的一阶顺序主子式，二阶顺序主子式，其三阶顺序主子式，所以矩阵是负定矩阵，原函数有最大值5、6。又当取时，可取

18、得函数最大值，故计算（使用MATLAB软件，代码见附录A）：再将的值带入上式可知，当时可取的函数值最大值。2.1.5二次型与条件极值条件极值问题是运筹学中一个非常重要的理论问题，它在高中数学也有所体现。二次型可以将多元二次函数构成的极值问题变得简单化，其方法也比较类似2.1.4节对二次函数最值的求解。我们设是一个实二次型，其中 。再设，那么应有。对二次型矩阵进行正交化，若的特征值为，则。这时，其中所以这就是讨论在下的极值情况。这里可以给出定理定理2.37、8 元实二次型在条件下的最大（小）值就是矩阵的最大（小）特征值的倍。下面再用两个题目来加以说明。例2.5 已知，求的值。解：设二次型，则其矩

19、阵。所以的特征值分别为：，。根据定理2.3，。又在两个特征值下的特征向量分别为：，。因此，在时，可取得的最小值；在时，可取得的最大值。例2.6 设函数，且满足，求的最值。解：函数的矩阵为可以求得（MALAB代码见附录A），矩阵的特征值分别为：，。根据定理2.3可得，最大值，最小值2.2二次型在高等数学中的应用二次型的各种性质，尤其是有定性，在高等数学中用处非常大。本节将会说明二次型在曲面上的一些便捷运用，以及在回归模型中最小二乘法与之的关系。2.2.1二次型在曲面上的应用在2.1.3节中，证明了向量经过正交变换并不会改变大小这一特性，保证了平面原几何体的形状是不会发生变化的。同样的，由于向量本

20、身的特性，空间几何体由向量表示后，作正交变换而得的新的空间几何体也不会改变形状。所以，在解决一些几何问题时，通过正交变换能解决得更加便捷。例2.7 求被曲面所截取部分的面积。解：首先将曲面通过正交变换化简，令，有，其中取正交变化可得曲面方程为，平面方程为。显然，一个水平平面截取一个圆柱体的面积就是圆柱体横截面面积，得9。在积分方面，由于同样的性质，可以通过简化（正交变换）几何体方程来让计算过程简便。例2.8 求的值，其中。解：将由二次型矩阵表示，可得，其中。再由正交变换这表明原椭球与新椭球的体积相同10。故记，可得显然，这样的计算方式会简便很多。2.2.2二次型在最小二乘法上的应用最小二乘法多

21、用于回归分析。无论是经济模型，物理模型还是其他需要找寻最贴近实际的参数的模型，都是为了找到函数的可能的拟合值。一元一次函数的参数估计已经很明朗了，因此我们根据最小二乘法的理论推导，探寻多元条件下二次型对其的作用。类似一元一次函数的情况，设变量受到这个变量的影响。与的关系式为 （2.5）其中,。为简化方程，记，则（2.5）式等价于其中,。在矩阵中的元素都已知时，即是确定的（且非退化），要使得误差平方和 （2.6）达到最小值，即满足最小二乘估计，根据（2.6）式中关于的偏导数计算可得，需满足方程事实上，二次型为正定矩阵，故一定存在，而有唯一解最后将回归值带入（2.5）式，即。再对回归值进行探讨所以

22、可以求得，即是的无偏估计量。其次这说明的协方差矩阵仍是正定矩阵11、12。根据上述分析，我们将其运用于实际例题中，并编写R软件程序来实现整个算法。例2.9 若在人的身高相等的情况下，血压的收缩压与体重，年龄有关。试着通过下列实验数据，建立关于和的线性关系方程。表2.1 实验数据表序号序号176.050120879.050125291.520141985.040132385.5201241076.555123482.5301261182.040132579.0301171295.040155680.5501251392.520147774.560123解：我们将数据用矩阵表示，由公式，令带入前面

23、推到的计算公式中可得图2.2的结果（R语言代码见附录）图2.2 最小二乘估计值最后可得回归方程为这与直接使用R软件中的lm()函数所得结果完全相同。参考文献1 王萼芳.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2 李晓萍.二次型的性质在初等数学中的应用J.通化师范学院学报，2001(5)：27-30.3 陈丽，杜海霞.二次型性质的简单应用J.廊坊师范学院学报，2013(1):8-10.4 白颉.二次型理论在中学数学中的应用J.太原大学教育学院学报，2010（1）:113-115.5 徐阳栋.二次型在多元函数极值问题上的应用J.教育教学论坛，2015(28):180-181.6 杨桂

24、元.二次型的正定性在函数极值判定中的应用J.数学理论与应用，2007（1）:21-23.7 陈荣群.二次型在求条件极值中的应用J.福建教育学院学报，2008(10):100-101.8 薛蓉华.二次型性质的若干应用J.福建工程学院学报，2011(9):273-275.9 何郁波.线性代数中二次型应用的研究J.怀化学院学报，2009(28):106-108.10 孙秀花.二次型的应用J.宜宾学院学报，2010(6):28-29.11 魏宗舒.概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社，2010:262-303.12 薛毅，陈立萍.统计建模与R软件M.北京：清华大学出版社，2007:270-271.致 谢首先衷心感谢我的论文指导老师陈暑波副教授对我论文上的指导和帮助。在毕业论文写作的过程中，陈暑波老师给我提出了各种建议与莫大的支持，并引导我逐步解决各种问题，使我的毕业论文变得条例清晰、逻辑清楚，格式规范，同时使我增长了见识、提高了水