初中数学第一轮总复习之第85份学案

1、人教版七至九年级数学第一轮总复习学案之角平分线知识及应用（主导：信州区秦峰中学 朱校华）学情分析：如今班级学生中，心骄气傲者至少占60；舍不得吃苦者起码有八成；潜在悲哀！事实已证明：每天不做十道题，数学成绩甭高提！（这也是历届不少学生数学成绩平平的主因之一。）面对中考数学试题千变万化，要想提高中考数学成绩，多做题，对强基固本有帮助；现实中，题是做不完的，有的学生做完题后，会感觉收效不高，加上功课多，时间又不允许；如今学生存在的普遍现状是“考试时老师讲过的或自己做过的题有的会做，稍有变化的或者说没做过的题感觉不知从何处下手做，想了好久结果白白浪费时间，导致最终难以拿到高分（考过100分者少啊！）

2、”。这应该是目前第一轮总复习所要解决的大问题！ 方法悟正再给力，以一当十高效率！（由图形变化.条件变换悟道是本案主要目的之一。）天天预备：准备齐全直尺、圆规、铅笔等作图用具；草稿本；笔记本和作业本。学案内容：（至少两节课完成） （一） 考点罗列1.角平分线的定义和表示；（角平分线是直线？射线？还是线段？）2.会叙述角平分线性质定理及逆定理；(使用时须注意什么？这里暗藏第一幅基本图形：如图4示，AP是BAC的平分线，点D在AP上，DEAB于E,DFAC于F，则DE = DF 成立.即条件共同作用才有成立.出示例考题：ABC中，AD既是BAC的平分线,又是BC上的中线，则ABC是等腰三角形；试证明

3、之.)3.如何作出角平分线？（尺规作图，保留痕迹。） 4.三角形的四条重要线段之一：角平分线（其余三条是指谁？），能否说三角形的三条角平分线一定在三角形内部？外角平分线呢？内心指什么？内心有何性质？内心肯定在三角形内部吗？（课后请记得抽时间联系外心进行对比，并与垂心，及重心一起来归纳；勿忘关注这些概念隶属于特殊三角形的表现情形！） 【ZHXH教学笔记851】 【ZHXH教学笔记852】 5.由角平分线可以联想到哪些知识？(知道这点对做题特有效，俗称解题找到“下刀处”!)碰到题给条件或结论中出现角平分线时，请记住：（绝招系列） 有相等的角出现，即使用定义； 与三角形其它重要线段之高、中线、中位线

4、等结合使用，注意综合处理。 通过翻折，易构作轴对称型全等三角形，利用全等性质； 与平行线搭配，构成等腰三角形，巧用其性质；（这里暗藏第二幅基本图形） 与垂线搭档，不仅可勾出等腰三角形（这里又暗藏着第三幅基本图形）；有时甚至还能活用到角平分线性质定理； 有对应线段成比例结论存在（现已移到高中教材中咯！暂不要求.）。（二）考题解决1. 在任意ABC中，（1）如图1示，若两角平分线BI、CI交于点I,试探求I与A之间的关系；（2）如图2示，若两外角平分线BP、CP交于点P，试探求P与A间的关系；（3）如图3示，BI、CI是角平分线，BP、CP是外角平分线，则I与P存在怎样的数量关系？写出您认为正确的

5、结论并证明之。（4）如图4示，角平分线AP与外角平分线BP交于点P，求证：ACB = 2PABICABCP图1 图2图3 图4ICBCAABPP做后感悟：透过不同的表象，你从中悟到哪些共同点？ 题中用到角平分线的什么知识？（明知识是什么？暗知识又是什么？）悟道之一：万变肯定不离宗，抓住题宗别放松！本题“宗”指什么？2. 在ABC中，ABC ACB , AE是CAB的平分线交BC于E， （1）如图5示，若A DB C于点D ，则 2 EAD = C - B .试证明之； （2）如图6示，点F是A E上任一点，若F DB C于点D ， 试探究 EFD 、 C 与 B的关系； （3）如图7示，点F是

6、A E延长线上任一点，若F DB C于点D ，则 （2）中的推导是否仍成立？AA （4）如图8示，点F是内心，过F作F DB C于点D ，请探究 EFD 、ABC与 ACB的关系. AB 图5 图6DEEDFCBCE 图7 图8EDFCDFBEABC做后感悟： 你能很快看出四小题变化的要点是平移了吗？（勿忘翻折与旋转哦！）题图虽变，关系是否在改变呢？什么在改变？什么没改变？ 悟道之二： 以不变来应万变，学会添加辅助线！ 首先常规抓补全基本图形；其次熟记常添辅助线作图例；最后是需什么想到添什么。 【ZHXH教学笔记853】 【ZHXH教学笔记854】3. 如图9示，已知梯形ABCD中，ADBC，

7、ABBC，DE平分ADC, CE平分DCB,DE与CE交AB于E. 求证：AE = BE （一）探究：还可以得出哪些结论？用不同方法来说明之（Key：DECE;AD BC = DC;ADEBEC;SABCD=2SEDC） （二）变式：试将原题已知和求证交换位置，是否成立？（至少有三题哦！）（三）变形：若梯形ABCD不是直角梯形呢？（如图10示，砍掉已知条件ABBC，结论AE = BE还成立吗？）（四）变透：若将已知条件ABBC变成DCBC ，其余条件不变 ；结果又会怎样？（请您借助作图工具作出符合题意的题图，再好好地究一究噢！敬请同学们时刻牢记伟人毛泽东言：自己动手，丰衣足食！） 将本题再次延

8、伸拓展，有下列漂亮中考题例：（安徽 中考） 已知CDE中，DE = EC, DEC = 900，过点E任作一直线AB，分别过点D、C作DAAB、CBAB，垂足分别为A、B.（1）如图11示，点D、C位于直线AB同侧时， 求证：AD + BC = AB ；（2）如图12示，点D、C位于直线AB异侧时，试猜想:（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出您认为正确的结论并证明之；若成立，简单说明之. 图9 图10 图11 图12AEBCCDBECBDEACBDAAD做后感悟： 充分挖掘一道题深层次的内涵，正如尝试剥开椰子坚实的外壳，过程很简单，结果很惬意！假如我们每天在这方面多磨磨，收成应更多！ 悟道

9、之三： 探果索因手段现，解题思路易寻见！（三）.相关好题（请选择您认为非常好又喜欢的其中一题做在作业本上供批阅！）4. 平行四边形ABCD中，ABC 720，B E平分ABC交A D于点E,且B E B C ,点F在B E上，EFC D .（1） 求证 ： E F E D（2） 仔细研究，试在你所画的题图中以所标字母为端点添加一条线段，使等腰三角形最多；（3） 事实上，图中等腰三角形最多应有 个，先逐一写出来；再选择其中一个简单地给予说理.5. 已知A B是 O的直径，C是 O上一点，CAB的平分线交 O于点D,交O的过点B的切线B E于点E,过点D作D F C A，交A C的延长线于点F.（

10、1） 猜想：D F 是否是 O的切线？ 请说明之；（2） 若D E 2, D F 3, 求A D ：B E的值？6. 已知：ABC 中，2 ABC ACB ，A D 是角平分线，试猜想:线段 A B ,A C 和C D长度存在何种数量关系？写出你认为正确的结论并证明之.7. 如图13示，B D 、C E 分别是ABC外角 ABM 、 ACN 的平分线，过点 A分别作B D 、C E 的垂线段，垂足分别为 D、 E ，连D E . 求证：2 D E A B B C C A （或证 D E 长等于ABC的半周长）图13M NCBDEA 【ZHXH教学笔记855】 【ZHXH教学笔记856】（四）.

11、归纳总结 今后凡遇到或用到有关角平分线知识题，离不开上面所支五大高招：即在【ZHXH教学笔记852】黑体字所表的至条款. 例如，第4题中就呈现了“角平分线 平行线 等腰三角形” 这一（第二幅）基本图形，即妙用了；第5题仅用了，没什么特色，然而“角相等”是最基本的用法，不能轻视之；第6题活用了“沿角平分线所在直线翻折三角形构成轴对称型全等三角形”方法，渗透了转化思想，充分体现了辅助线的桥梁作用.即巧用了；第7题表明上看，似乎无从下手.其实借用了，也就是角平分线的另一种（即第三幅）基本图形：“角平分线 垂 线 等腰三角形”应该能较容易找到突破口（分别延长A D、A E 交直线M N 分别于点F 、H .）！至于条款，在第2题中早动用了，已很了不起囖！ 更何况第7题最终还是需要通过三角形中位线性质定理来搞定的；说明：知识单一难成题，错综复杂隐神奇！)