勾股定理练习题及答案共套

1、勾股定理课时练（1）1 .在直角三角形 ABC中，余边AB=1,则AB2 BC2 AC2的值是（）.4 C第8题图9.如图，在四边形 ABCD中，/ A=60 , / B=/D=90 , BC=Z CD=3 求 AB的长.2 .如图18 2 4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD AD/ BC斜月DC的长为10 cm,/D=120 ,则该零件另一腰 AB的长是 cm （结果不取近似值）.3 .直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为 .4 .一根旗杆于离地面12 m处断裂，犹如装有钱链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少 m ?第9题图10.如图，一个

2、牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5 .如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.第5题图第2题图6 .飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处，过了 20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米 ？7 .如图所示，无盖玻璃容器，高 18cm ,底面周长为60cm,在外侧距下底1 cm的点C处有一 蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1 cm的f

3、处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短在线的长度.11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13ml宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？:?*717 5m第11题12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源.为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米.早晨8: 00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10: 00,甲、乙二人相距多远？ 还能保持联系吗？第7题图8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm , AB=4cm ,

4、BD=12cm。求CD的长.在直角三角形 CBD中，根据勾股定理，得 CD=BC+BD=25+122=169,所以CD=13.第一课时答案:B就是最短路线.在RtA,提示：根据勾股定理得 BC2 AC2 1 ,所以ab2 BC2AC 2 =1+1=2；,提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ,而3+4-5=2 m ,所以他们少走了 4步.3. 60 ，提示：设斜边的高为 X,根据勾股定理求斜边为 石下52 13,二甲、乙两人还能保持联系.选择题勾股定理的逆定理（2）1 .下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（），12, 15 B. 513 一，41, 9 4, ,42 .满足下列条件的三

5、角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为1 ： 2 ： 1 B. 三边之比为1 ： 2 ： 55C.三边之比为J3 ： 2 ： J5 D.三个内角比为1 ： 2 ： 33 .已知三角形两边长为 2和6,要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A. J2 B. 2j10 C. 4&或240 D.以上都不对4 .五根小木棒，其长度分别为7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A B C D二、填空题5 . 4ABC的三边分别是7、24、25,则三角形的最大内角的度数是.6 .三边为9、12、15的三角形，其面积为.7 .已知三角形ABC的三边长为

6、a,b,c满足a b 13ab 18, c 8,则此三角形为 三角形.8 .在三角形 ABC 中，AB=12cm , AC=5cm , BC=13cm ,则 BC 边上的高为 AD=cm.三、解答题9 .如图，已知四边形 ABC冲，/ B=90 , AB=3, BC=4, C*12, AD=13,求四边形 ABCDl面积.11 .如图，AB为一棵大树，在树上距地面 10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从 D处上爬到树顶 A处，利用拉在 A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从 D处滑到地面B,再由B跑至I C,已知两猴子所经路程都是 15m,求高AB第11题12 .

7、如图，为修通铁路凿通隧道 AQ量出/ A=40 / B= 50 , AB= 5公里，BC= 4公里，若每天凿隧道公里，问几天才能把隧道AB凿通？10.如图，E、F分别是正方形 ABCDP BC CD边上的点，且 AB=4, C占BC F为CD勺中点，连接 AF AE问 AEF思题圄角形？ t#说明理由.勾股定理的逆定理答案:一、；，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=42262 2j10；当6为斜边时，第三边为直角边=462224/2； 4. c；二、。提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为一，一，一，一一,、i八90 .，提小：先根基勾股定理逆定理得三

8、角形是直角三角形，面积为 一 9 1254.7.直角，2提示：(a b)2 100，得 a2 b2 2ab 100,a2 b2 100 2 18 64 82 c2；8. 60 ,提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得1 1-12 5 - 13 AD ;2 2三、9.解：连接 AC在RtAABC,AC=AB+ BC=32+42=25,AC=5.在ACDt3,aC+ cD=25+ 122=169,而 aB=132=169,222AC+ CD=AB,/ACD90 .故 Smwabc=&ABdSaAC=【AB- BO 1 AC- CI=1 X3X4+ - X 5X 12=6

9、+ 30=36.222210.解：由勾月定理得 AE=25, EF2=5,AU=20, . aE= EF + AF2,.AE禹直角三角形11 .设 ADx 米，贝U AB为(10+x)米，AC为(15-x)米，BC为 5米，：(x+10)2+52=(15-x)2,解得 x=2,10+x=12 (米)12 .解：第七组，a 2 7 1 15,b 2 7 (7 1) 112,c 112 1 113.第 n 组，a 2n 1,b 2n(n 1),c 2n(n 1) 1勾股定理的逆定理（3）一、基础,巩固1 .满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 ： 2 ： 3B.三边长

10、的平方之比为 1 ： 2 ： 3C.三边长之比为 3 ： 4 ： 5D.三内角之比为 3 ： 4 ： 52 .如图182 4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD AD/ BC斜月DC的长为10 cm,/D=120 ,则该零件另一腰 AB的长是 cm （结果不取近似值）.图 18图 1825图 18- 263 .如图1825,以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为$、&、且$=4, S?=8,则AB的长为.4 .如图1826,已知正方形 ABCD勺边长为4, E为AB中点，F为AD上的一点，且 AF=1 AD,试4判断4EFC的形状.8 .已知：如图18 28,在4ABC中，CD是

11、AB边上的高，且 CD=AD BD.求证： ABC是直角三角形.图 18289 .如图1829所示，在平面直角坐标系中，点A B的坐标分别为A （3, 1）, B （2, 4）, AOAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 18 2910 .已知：在 ABC 中，/ A /R ZC 的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC的形状.二、综合应用7.已知a、b、c是RtABC的三边长,八卜1BC的三边长分别是 2a、2b、2c,那么AA BC是直角三角形吗？为什么？参考答案一、基础,巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是

12、（）A.三内角之比为1 ： 2 ： 3B.三边长的平方之比为 1 ： 2 ： 3C.三边长之比为 3： 4： 5D.三内角之比为 3： 4： 5思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余;5 .一个零件的形状如图18 27,按规定这个零件中/A 与/BDC都应为直角，工人师傅量得零件 各边尺寸：AD=4 AB=3,BD=5, DC=12 , BC=13 ,这个零件符合要求吗？图 18276 .已知 ABC的三边分别为k2- 1, 2k, k2+1 （k1）,求证： ABC是直角三角形.12 .已知：如图 18 2 10,四边形 ABCD AD/ BC AB=

13、4, BC=Q CD=5 AD=3. 求：四边形 ABCD 的面积.图 182 10两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半5.一个零件的形状如图18 27,按规定这个零件中/A 与/BDC都应为直角，工人师傅量得零件由A得有一个角是直角；B C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2.如图182 4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD AD/ BC斜月DC的长为10cm,/D=120 ,则该零件另一腰 AB的长是 cm (结果不取近似值).图 18 2 4解：过D点作DEZAB交BC于E,则4DEC是直角三角形.四边形ABE比矩形，.AB=DE.,:/ D=120 ,

14、 ： / CDE=30 .又在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，：CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= . 102 525 3 cm.AB= 102525.3 cm.3 .如图1825,以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为 $、S、且$=4, S?=8, 则AB的长为.图 182 5图 182 6思路分析：因为 ABC是RtA,所以BC+AC2=AB,即S1+8=&,所以&=12,因为S3=A氏所以ab=. S3.12 2 3答案：2 314 .如图18 26,已知正万形 ABCD勺边长为4, E为AB中点，F为AD上的一点，且 AF=AD,4试判断 EFC的

15、形状.思路分析：分别计算EF、CE CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：. E 为 AB中点，. . BE=2.：CU=BU+BC=22+42=20.同理可求得，EF2=AE2+AF=22+12=5,CF2=DF+CD=32+42=25. CU+EF=CF,.EFC是以/ CEF为直角的直角三角形.各边尺寸：AD=4, AB=3,BD=5, DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗？图 18 27思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 ADB和4DBC是否为直角三角形即可， 这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在4ABD 中，AB+AD=32+42=9+16=25=B

16、D,所以4ABD为直角三角形，/ A=90 .在4BDC中，B6+DC=52+122=25+144=169=132=BC.所以4BDC是直角三角形，/ CDB=90 .因此这个零件符合要求.6 .已知 ABC的三边分别为k2- 1, 2k, k2+1 (k1),求证： ABC是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可证明：k 2+1k21,k2+1 2k=(k 1)20,即 k2+12k, ：k2+1 是最长边. (k 2 1)2+(2k) 2=k4- 2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1) 2, .ABC是直角三角形.二、综合应用7 .已知a

17、、b、c是RtABC的三边长,八卜1BQ的三边长分别是 2a、2b、2c,那么zM 1BC是直角 三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角 三角形(例2已证).解：略8 .已知：如图18 28,在4ABC中，CD是AB边上的高，且 CD=AD- BD. 求证： ABC是直角三角形.图 18 2 8思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可证明： AC2=AD+CD, BC=CD+BD：AC2+BC=AD+2CD+BD=aD+2AD- bd+bD=(AD+BD 2=AB.ABC是直角三角形.9 .如图1829所示，在平面直角

18、坐标系中，点A B的坐标分别为A (3, 1), B (2, 4), AOAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 18 2 9思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA AR OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 OAB是否是直角三角形即可.解：OA2=OA2+AiA2=32+12=10,OB=OB2+BiB2=22+42=20,AB2=AC+BC=12+32=10,：oA+aB=oB.OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10 .阅读下列解题过程：已知 a、b、c为4ABC的三边，且满足 a2c2-b2c2=a4-b4,试判断 ABC的 形状.解：adb2c2=a4b4, (

19、A) ： c 2(a 2b2)=(a 2+b2)(a 2 b2) , (B) ： c 2=a2+b2, (C).AABC 是直角 三角形.问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 ;错误的原因是 ;本题的正确结论是 .思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑a=b这种可能，当a=b时 ABC是等腰三角形； ABC是等腰三 角形或直角三角形.11 .已知：在 ABC中，/ A /R ZC 的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2 +c2+338=10a+24b+26c.

20、 试判断 ABC的形状.思路分析：(1)移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0,则都为0; (3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形解：由已知可得 a210a+25+b224b+144+c2 26c+169=0,配方并化简得，(a 5)2+(b 12) 2+(c 13)2=0.1 . (a - 5)20,(b 12)20,(c 13)20.2 .si- 5=0,b 12=0,c -13=0.解彳# a=5,b=12,c=13.又 丁 a 2+b2=169=c2,.ABC是直角三角形.12 .已知：如图 18 2 10,四边形 ABCD AD/ BC AB

21、=4, BC=Q CD=5 AD=3.求：四边形ABCD勺面积.思路分析：(1)作DEZAR连结 BD,则可以证明 AB里AEDB( ASA；(2)DE=AB=4, BE=AD=3 EC=EB=3 (3)在ADE2 3、4、5 为勾股数， DEC 为直角三角形,DELBC (4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE/ AB，连结 BD,则可以证明 AB里AEDB( ASA ,.DE=AB= 4 BE=AD=3. BC=6,：EC=EB=3.DE2+CE=32+42=25=CD,.DEC为直角三角形.又.EC=EB=3, DBC为等腰三角形，DB=DC=5.在DA中 AD+Ae=

22、32+42=25=BD,：ABDA是直角三角形.它们的面积分别为 Sabda= X3X4=6;S adbc-1 X6X4=12.22*- S 四边形 ABC=Sa BDA+SX DBC=6 + 12=18.图 18 210勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为 &=无，S2=8无，S=Tt ,把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC一定是直角三角形吗？说明理由。6.如图，在 RtABC中，/ ACB=90 , CDLAB, BC=6, AC=& 求 AR CD的长2.求知中学有一块四边形的空地 ABCD如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量/ A=90。， AB=3m BC=12m

23、CD=13m DA=4m若每平方米草皮需要 200天，问学校需要投入多少资金买草皮？7.在数轴上画出表示 J17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）8.已知如图，四边形 ABC由，/ B=90 , AB=4, BC=3 CD=12 AD=13,求这个四边形的面积3. （12分）如图所示，折叠矩形的一边 AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cmBC=10cm 求EC的长。4.如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西8km北7km处，他想 把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？9.如图，每个小方格的边长都为 1.求图中格点四

24、边形 ABCD勺面积。5. （8分）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5, 52=12+13, 72=24+25 9 2=40+41(1)(2)(3)填空：132 =造东,B小股股定理复习题（5）这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢?请写出你发现的规律。结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。一、填空、选择题题：3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口,4、一旗杆离地面 6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部（）米。圆的直径至少为（）米。米处，则旗杆折断之前的高度是6、在 ABC中，/ C=90 ,AB=10O (1)若/ A=30，贝U BC=。(2)若/ A=45

25、 ,贝U BC=, AC=o8、在 ABC中，/ C=90 , AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高 CD= m2211、二角形的二边a b c ,满足(a b) c 2ab,则此三角形是 三角形。12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了 60米，再沿第三个方向走 100米回到原地。小明向 东走80米后又向 方向走的。13、ABC 中，AB=13cm ,BC=10cm , BC边上的中线 AD=12cmW AC 的长为蛆14、两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以 4米/秒的速度向东直行,5秒钟后他们相距 米.15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立

26、吗？ 两直线平行，内错角相等。 ()如果两个实数相等，那么它们的平方相等。20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少 ？(其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16海里，“海天”号每小时航行 12海里。它们离开港口一个半 ( )22右 a b ,贝1J a=b()全等三角形的对应角相等。 ()角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。( )16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是()(A)a=15 b=8 c=17 (B) a

27、:b:c=1:、，3： 2(C) a=2 b= c= (D) a=13 b=14 c=155517、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是().B.10 c.J28或腐18、下列各命题的逆命题不成立的是()A.两直线平行，同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等，则这两个数相等22C.对顶角相等D. 如果a=b或a+b=0,那么a b二、解答题：19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。23、一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中，能放进去吗？(提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)2