初中经典几何证明练习题集

1、C、E 是圆上的两点， CD± AB, EH AB, EG, CO.PAD= / PDA= 15° 。初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图， O是半圆的圆心， 求证：CD= GF.证明：过点G作GHXABT H,连接OE EG± CO, EF± AB/ EGO=90° , / EFO=90° ./ EGO+Z EFO=18O° E、G、O、F四点共圆/ GEO=Z HFG / EGO=Z FHG=90° . EGA FHGEO GO FG - HGGH± AB, CD, AB .GH/ CD ,GO

2、COHG CD EO CO FG CD EO=CO CD=GF2、已知：如图，P是正方形 ABCD内部的一点，/ 求证： PBC是正三角形.（初二） 证明：作正三角形 ADM,连接MP . / MAD=60 ° , / PAD=15°/ MAP=Z MAD+Z PAD=75°. / BAD=90° , / PAD=15°Z BAP=Z BAD-Z PAD=90° -15° =75° .Z BAP=Z MAP MA=BA, AP=AP . MAPA BAP ，/BPA=/ MPA, MP=BP 同理/ CPD=Z M

3、PD, MP=CP . / PAD= / PDA= 15°PA=PQ / BAP=Z CDP=75 BA=CD . BAP / CDP/ BPA=Z CPD / BPA=Z MPA, / CPD=Z MPD ./ MPA=Z MPD=75° ./ BPC=360 -75° X 4=60° MP=BP, MP=CP BP=CP .BPC是正三角形N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交 MN于E、3、已知：如图，在四边形 ABCD中，AD=BC, M、 F.求证：/ DEN= Z F.证明:连接AC,取AC的中点G,连接NG、MG CN=DNI, C

4、G=DG .GN/ AD, GN=1AD 2 ./ DEN=Z GNM AM=BM , AG=CGGM / BC, GM= 1 BC2 ./ F=Z GMN AD=BC.GN=GM ./ GMN=/GNM/ DEN=Z F经典题（二）1、已知： ABC中，H为垂心(各边高线的交点)，O为外心，且(1)求证：AH=2OM;(2)若/ BAC= 600,求证：AH=AO.(初二)证明：(1)延长AD交圆于F,连接BF,过点O作OGL AD于GOG± AFAG=FG AB =Ab/ F=Z ACB又 ADBC, BEX AC ./ BHD+Z DBH=90°/ ACB+Z DBH

5、=90°/ ACB=Z BHD ./ F=Z BHDBH=BF又 ADXBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2GH+DH) =2GD又 ADBC, OM ± BC, OGXAD 四边形 OMDG是矩形OM=GD AH=2OM(2)连接 OR OC . / BAC=60.,. / BOC=12O°OB=OC, OMXBC，_1 ._ j/ BOM= / BOC=60 / OBM=30 2BO=2OM由（1）知 AH=2OM-. AH=BO=AO2、设MN是圆O外一条直线，过 O作OA，MN于A,自A引圆的两条割线交圆

6、O于B、C及D、E,连接CD并延长交 MN于Q,连接EB并延长交 MN于P求证：AP=AQ.证明：作点E关于AG的对称点F,连接AF、AG± PQ / PAG4 QAG=90°又/ GAE=Z GAF/ PAG吆 GAE=Z QAG+Z即 / PAE之 QAF E、F、C、D四点共圆AEF+Z FCQ=180°EF± AG, PQ± AGEF/ PQ/ PAF=/ AFE AF=AE/ AFE=Z AEF/ AEF=Z PAF / PAF吆 QAF=180°/ FCQ=Z QAFF、C、A、Q四点共圆/ AFQ=Z ACQ又/ AEP

7、=Z ACQ在 AEP和 AFQ中r /AFQ=/ AEP:.AF=AEI /QAF=/ PAE . AEP AFQAP=AQ/ AFQ=Z AEPA任作两弦 BC DE,设CD EB分另1J交MN于P、Q.3、设MN是圆O的弦，过 MN的中点 求证：AP= AQ.（初二）证明：作 OF± CD于 F, OG± BE于 G,连接 OP、OQ、OA、AF、AG C、D、B、E四点共圆 .B=/D, / E=Z C. AB® ADC,AB 匹 2BG BG AD DC 2FD DF . ABGs ADF / AGB=Z AFD / AGE=Z AFC AM=AN, O

8、A± MN又 OG± BE, ./ OAQ+ZOGQ=180° O、A、Q、E四点共圆 ./ AOQ=Z AGE 同理/ AOP=Z AFC ./ AOQ=Z AOP又/ OAQ=Z OAP=90° , OA=OA . OAQZ AOAPAP=AQ4、如图，分别以 ABC的AB和AC为一边，在 ABC的外侧作正方形 ABFG和正方形 ACDE点O是DF的中 点，OP, BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过 F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是 L、M、N OF=OD, DN/OP/ FLPN=PL二.OP是梯形DFLN的中位线 DN+FL=2O

9、P.ABFG是正方形 ./ ABM+Z FBL=90° 又/ BFL+Z FBL=90° ./ ABM=Z BFL又 / FLB=/BMA=90° , BF=AB . BFL ABMFL=BM同理 AMCA CND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形 ABCD为正方形，DE/ AC, AE= AC, AE与CD相交于F.求证：CE= CF.（初二）证明：连接 BD交AC于Oo过点E作EG± AC于G ABCD是正方形BD±AC 又 EG± ACBD/ EG又 DE/ ACODEG是

10、平行四边形又/ COD=90°ODEG是矩形EG=OD= BD= 1 AC= - AE222/ EAG=30° AC=AE / ACE玄 AEC=75又/ AFD=90° -15° =75°/ CFE=/ AFD=75° =/ AECCE=CF2、如图，四边形 ABCD为正方形，DE/ AC,且CE= CA,直线EC交DA延长线于F.求证：AE= AF.(初二)证明：连接BD,过点E作EG，AC于G ABCD是正方形BD±AC,又 EG± AC.BD/ EG又 DE/ ACODEG是平行四边形I又/ COD=90&

11、#176;ODEG是矩形1I-八 111iEG = OD =BD=-AC=-CE/ GCE=3C AC=EC1/ CAE=Z CEA=1 / GCE=152在AFC中/F =180° -/FAC2ACF=180° -/FACZGCE =180° -135° -30° =15 / F=Z CEA AE=AF3、设P是正方形 ABCD一边BC上的任一点，PF±AP, CF平分/ DCE求证：PA= PF.(初二)证明：过点F作FG, CE于G,CD± CGHCGF是矩形 . / HCF=Z GCF FH=FGHCGF是正方形CG

12、=GF .API FP / APB+/ FPG=90 / APB+Z BAP=90° / FPG玄 BAP又/ FGP=Z PBA . FGF PBAFhl± CD于 H设 AB=x, BP=y, I z： y= (x-y+z): x化简彳导(x-y) - y= (x-y) , . x-yw 0 y=z即 BP=FGCG=zFG: PB=PQ AB . ABP PGF求证:证明:4、如图，PC切圆O于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D.AB= DC, BC= AD.（初三）B J过点 E作EK/ BD,分别交 AC AF于M、K,取EF

13、的中点H,连接 OH、MH、EC EH=FHOH± EF,/ PHO=90°又 PCX OC,/ POC=90°P、C、H、O四点共圆/ HCO=Z HPO又 EK/ BD, .HPO=Z HEK ./ HCM=/HEM H、C E、M四点共圆/ ECM=Z EHM又/ ECM=Z EFA ./ EHM=Z EFAHM / AC EH=FH.EM=KM. EK/ BD,OB AOODEM AMKM.OB=OD又 AO=CO四边形ABCD的对角线互相平分ABCD是平行四边形.AB=DC, BC=AD经典题（四）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA=

14、 3, PB= 4, PC= 5.A求/APB的度数.（初二）解：将 ABP绕点B顺时针方向旋转 60°得 BCQ连接PQ 则 BPQ是正三角形/ BQP=60° , PQ=PB=3在APQC中，PQ=4, CQ=AP=3, PC=5 . PQC是直角三角形/ PQC=90°Z BQC=Z BQP+Z PQC=60° +90° =150°C ./ APB=Z BQC=150°2、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA= / PDA. 求证：/ PAB= / PCB （初二）证明：过点P作AD的平行线，过点BE两平

15、行线相交于点 E,连接 PE/ AD, AE/ PDADPE是平行四边形PE=AD,又ABCD是平行四边形AD=BCPE=BC又 PE/ AD, AD/ BCPE/ BCBCPE是平行四边形 ./ BEP=/ PCB ADPE是平行四边形 ./ ADP=Z AEP又/ ADP=Z ABP/ AEP=Z ABP A、E、B P四点共圆/ BEP=Z PAB/ PAB=Z PCB3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证:AB - CD+ AD - BC= AC BD.证明：在 BD上去一点 E,使/ BCE=/ ACD- CD =CD / CAD=Z CBD（初三） . BES ADC_BE_ BCA

16、D ACAD - BC=BE- AC / BCE玄 ACD / BCE-+Z ACE=Z ACD+/ ACE即 / BCA=Z ECD- BC =BC ,，/ BAC=Z BDC BAC EDC,AB ACDE CDAB - CD=DE- AC+彳导 AB - CD+ AD- BC =DE- AC+ BE- AC=（DE+BB - AC=BD AC4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE= CF.求证：/ DPA= / DPC.（初二）证明：过点 D作DG, AE于G,作DHL FC于H,连接C 11SaadE=2 AE - DG, &F

17、DC=2 FC- DHPGG 1又 & ADE= & FDC=2 ScabcdAE - DG=FC DH又 AE=CFDG=DH.点D在/APC的角平分线上/ DPA= / DPC经典题（五）1、设P是边长为1的正 ABC内任一点，L= PA+ PB+ PC, 求证：V3 < 1,<2.证明：（1）将 BPC绕B点顺时针旋转 60°的4 BEF,连接PE, BP=BE / PBE=60°. PBE是正三角形。PE=PB 又 EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+E的值最小（如图）在

18、4ABF 中，/ ABP=120° . AF= J3 L=PA+PB+P偻 3(2)过点P作BC的平行线分别交 AB、AC于D、G 则 ADG是正三角形/ ADP=Z AGP, AG=DG. / APD> / AGP ./ APD> / ADPAD> PA又 BD+PD>PBCG+PG> PC + +彳导 AD+BD+CG+PD+PG> PA+PB+PC . AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=L AB=AC=1, L<2由(1) (2)可知：J3 WL<2.2、已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，

19、求 PA+ PB+ PC的最小值.解：将4BCP绕点B顺时针旋转60°得BEF,连接PE,则 BPE是正三角形PE=PB/. PA+ PB+ PC=PA+PE+EF要使 PA+ PB+PC最小，则 PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）此时 AF= PA+PE+EF过点F作FG± AB的延长线于 G则 / GBF=180 -/ABF=180° -150° =30°,7'- 3 gf=2 , BG=MF'GF2 AG2、2 苧 1 42 J3PA+ PB+ PC的最小值是 V2 ；33、P为正方形ABCD内的一点，并且PA= a

20、, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的边长.证明：将 ABP绕点B顺时针旋转90°得 BCQ,连接PQ则 BPQ是等腰直角三角形，PQ=/2 PB=<2 x 2a=2 V2 a又 QC=AP=aQP2+QC2=(2 . 2 a)2+a2=9a2=PC2 . APQC是直角三角形BQC=135BC?=BQ2+CQ2-2BQ - CQ cos/ BQC=PB2+PA2-2PB PAcos135°4a2+a-2 x 2ax a x (- )2解得 BC=、,5 2 2a，正方形的边长为5 2,2a4、如图， ABC中，/ ABC= /ACB= 80° , D

21、、E分别是 AB、AC上的点，/ DCA= 30° , / EBA= 20° , 求/ BED的度数.解：在AB上取一点F,使/ BCF=60, CF交BE于G,连接EF、DG. /ABC=80° , / ABE=20° , . . / EBC=6CT ,又/ BCG=60° BCG是正三角形BGBC / ACB=80° , / BCG=60°/ FCA=20°/ EBAZ FCA又/ A=/A, AB=AG,. ABE ACF . . AEAF/1Z AFE=Z AEF=2 (180。-/A) =80。又. / ABC=80° =/ AFE，EF/ BC< / EFG=Z BCG=60 . EFG是等边三角形EF=EG / FEG=/ EGF=/ EFG=60° ACB=80° , / DCA=30°/ BCD=50° ./BDC=180° -/BCD-/ ABC=180° -50° -80° =50°/ BCD=Z B