数值分析讲义

1、第1章数值分析中的误差一、重点内容误差 设精确值X*的近似值X,差e= xx*称为近似值 x的误差(绝对误差)。误差限 近似值x的误差限是误差e的一个上界，即|e|=|x-x*|< £ o相对误差er是误差e与精确值x*的比值，与=二=冥"。常用 小二上计算。工 工X相对误差限 耳是相对误差的最大限度，/4g",常用 亩计算相对误差限。绝对误差的运算：e xi ix2)= &乂1)+ &M)exix2)=|xi| ；x2)十|x2| 以0自国=周£区)+同£(有效数字如果近似值x的误差限e是它某一个数位的半个单位，我们就说

2、x准确到该位。从 这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。关于有效数字：(1)设精确值x*的近似值x,x= 10.aia2an M0 mai, a2,，an是09之中的自然数，且 aiw0,|x-x*|< £ = 0.5X i0m l , iwiwn则x有l位有效数字.(2)设近似值x=±0.aia2anxiom有n位有效数字，则其相对误差限|鸟区公西(3)设近似值 x=± 0.aia2anx iom的相对误差限不大于- xlO-B+12 防 +1)则它至少有 n位有效数字。（4）要求精确到10 3,取该数的近似值应保留4位小数。一个近似

3、值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它 的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e= 0.0926的数x= 20.7426只有三位准确数字2, 0, 7。一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10%的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1%的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1%的量级。二、实例 * _ . 例 1 设 x= =3.1415926近似值x= 3.14=0.314X101,即m=1,它的误差是 0.001526，有|x-x*|= 0.001526 < 0.5X 101 3即1=3,故x= 3.14

4、有3位有效数字。x= 3.14准确到小数点后第2位。又近似值 x= 3.1416,它的误差是 0.0000074 ,有x-x*|= 0.0000074< 0.5 X 101 5即m=1, 1 = 5, x= 3.1416有5位有效数字。而近似值 x= 3.1415,它的误差是 0.0000926有x-x*|= 0.0000926< 0.5 X 101 4即m=1, 1 = 4, x= 3.1415有4位有效数字。这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s- 1位有效数字。例2指出下列各数具有几位有效数字

5、，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4- 0.002 009 0009 000.00解 因为 xi= 2.000 4 = 0.200 04 X 101,它的误差限 0.000 05 = 0.5X 10 1 5,即 m=1, 1=5,故 刈 =2.000 4有5位有效数字。相对误差限弓=；器;=0.。蒐$/。x2=- 0.002 00,误差限 0.000 005,因为 m=- 2, 1=3, x2=- 0.002 00 有 3 位有效数字。相对误差限 = 0.000 005/0.002 00 = 0.25%。X3= 9 000,绝对误差限为 0.5,因为 m=4, l=4, x3= 9 0

6、00有4位有效数字，相对误差限r= 0.5/9 000 = 0.005 6%。X4=9 000.00 ,绝对误差限 0.005,因为 m= 4, l = 6, X4= 9 000.00有6位有效数字，相对误差限 为 r = 0.005/9 000.00 = 0.000 056%。由X3与X4可以看到小数点之后的0,不是可有可无的，它是有实际意义的。例3 ln2= 0.69314718，精确到10一3的近似值是多少？解 精确到10-3=0.001 ,即绝对误差限是=0.05%,故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 =0.693。三、练习题1 .设某数X*,它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差

7、是 。2 .设某数X*,它的精确到104的近似值应取小数点后 位。3 .()的3位有效数字是 0.236X 102。(A) 235.54 X 10 1(B) 235.418(C) 2354.82 X 10 2(D) 0.0023549 X 1034.设a* = 2.718181828，取 a= 2.718,则有()，称a有四位有效数字。(A) |a-a*|< 0.5X 10 4(B) |a-a*|<0.5X 101 4(C) |a a*|w 10 4(D) |a a*|< 0.00035.设某数x*,对其进行四舍五入的近似值是()，则它有3位有效数字，绝对误差限是0.5X 1

8、0 4O(A) 0.315(B) 0.03150(C) 0.0315(D) 0.003156 .以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为0.25X10-3。(A) 0.01234(B) T2.34(C) 220(D) 0.22007 .将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。(1) 2.1514(2) - 392.85(3) 0.0039228 .已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1) 13267 er = 0.1%(2) 0.896 e r= 10%9 .已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。(1) 0.3941e= 0.25X 10 2(2)

9、293.481e= 0.1一4(3) 0.00381 e = 0.1x 10 410.已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。(1) 1.8921 e r= 0.1 X 10 2(2) 22.351 e r=0.15(3) 48361 e r= 1%四、练习题答案1 .该数有效数字第四位的一半。2 .五 3. (A)4. (B)5. (C) 6. (D)7 . (1)2.15, e= - 0.14 10 2, e r= 0.65 10 3； (2) 393,e= 0.15, e r=0.38 10 3； (3)0.00392, e=0.2X0 5, er=0.51 10 38 . (1

10、) e=0.13 102； (2) 0.9 10 19 . (1) 2; (2)3; (3)210 .(1) 3; (2)1; (3)2第15章线性方程组的数值解法一、重点内容1 .高斯顺序消去法解线性方程组 AX=b,对增广矩阵月他1顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中，仁注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。2 .高斯列主元消去法在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元上，=胃警卜片”(k=1, 2, 3,n1)把第r行作为主方程，做第 k次消元。把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。3.雅

11、可比迭代法(简单迭代法)解线性方程组AX = b的雅可比迭代法公式为(k= 0, 1, 2,)4.高斯一一赛德尔迭代法解线性方程组 AX=b的高斯一一赛德尔迭代法公式为1 J-11网鬲博/产+白)(i=1, 2,，n； k= 0, 1, 2,)aii>1j-J+15.解的收敛性定理【定理1】高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0; AX=b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为 0。【定理4】(迭代法基本定理)设线性方程组X=BX+f对于任意初始向量 X及任意f,对应此方程组白迭代公式 X(k+D=B (k)X + f收敛的充分必要

12、条件是 小鬻RJmI ,其中Q ( i=1, 2,，n)为迭代矩阵B的特征根。当 入i为 复数时，|入i|表示 尢的模。【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组 AX=b,(1)若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法收敛;(2)若A为对称正定矩阵，则高斯一一赛德尔迭代法收敛。注：设矩阵A=aj n,若-i/hj则称矩阵A是严格对角占优矩阵。二、实例例1用顺序消去法解线性方程组2xl + 4工至二-143哥4+啊=4% + 2x3 +4/=-1解顺序消元D 14-L1辿刃 g U 0.5 -5 5.50017-17于是有同解方程组2两十了口十4工己=-1i 4-5工彳

13、=5.5JiJ17x2 = -17回代得解X3= 1, X2= 1 , X1=1,原线性方程组的解为X= (1 , 1, 1)T。例2取初始向量X=(0, 0, 0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式，产 1)=(2 靖)+ 2工r)+ 12, 3,)/产=-(/)+申)+ 3 (k=1工产=-2(举十摩)十5第1次迭代，k=0X=0,得到 X=(1, 3, 5)T第2次迭代，k= 1= (-2x3 + 2x5)-hl = 5«= (l+5)+3 = 3婢 :2(l 十 3)+ 5 = -3X=(5, 3, - 3)T第3次迭代，k=2工丁二(-2x(-3)+ 2x(-3

14、)-bl = 1；= -(5 + (-3)+3 = 1率二一2(5-3) + 5 =1X(3)=(1, 1, 1)T第4次迭代，k=3Lf° = (-2xl + 2xl) + l= 1* 总4' = -(1 + 1) + 3 = 1一一二 - 2(1 + 1)+5 二 1 JX(4)=(1, 1, 1)T例3填空选择题:1.用高斯列主元消去法解线性方程组/+ 2穴之十I土 0- 2<1 + 2 + 3x3 = 3一七- 3/= 2作第1次消元后的第2, 3个方程分别为。解 选a2i = 2为主元，作行互换，第 1个方程变为：2xi + 2X2+3x3= 3,消元得到x2

15、 -。-5工3 = -1.5-2/ +1 3恐 3 5是应填写的内容。2 .用选主元的方法解线性方程组AX=b,是为了()(A)提高计算速度(B)减少舍入误差(C)减少相对误差 (D)方便计算答案：选择(B)3 .用高斯一一赛德尔迭代法解线性方程组五 1 + 2k± 2Km 1( %+礴+工” 32叫 + 2 勺 +x3 = 5的迭代格式中 公3"=(k=0, 1, 2,)答案：3-铲】)-工？解答：高斯一一赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求X2的值时应该用X1的新值。10再一式a - 3%=7.24 .当a ()时，线性方程组'一勺+7心+ 3也=3 3的

16、迭代解一定收敛。2zj - 4勺 + 口/= 9.2(A) >6(B) =6(C) <6(D) >6 或 V 6答案：(D)解答：当ai>6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第 io章定理6,迭代解一 定收敛。三、练习题1 .用高斯列主元消去法解线性方程组2 HL+3工工+ 5工孑=5* 3西+ 4电+71=611-H 3七+ 3工3二32 .用高斯一一赛德尔迭代法求解线性方程组6工1-修一三二11 3?“一再 + 6电-2l3 = 32一 一 / 十 双-42取初始值(4.67, 7.62, 9.05)T,求二次迭代值。3 .证明线性方程组-9工一池+

17、 2码=20；4% +11工？ 一三二 334x1 - 3x2 +12/弓-35的迭代解收敛。4 .用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是 _? Aj 一五力+ 4五三=15 .用列主元消去法解线性方程组，-a-9附=0 ,第1次消元，选择主元为()T-泡+巧=-1(A) 3(B) 4(C) -4(D) 9四、练习题答案1. X = (-4, 1, 2)T2. (4.666 19, 7.618 98, 9.047 53)T3. 提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。4. 线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。5. (C)第2章函数插值与最小二乘拟合一、重点内容1 .函

18、数插值已知函数f(x)的n个函数值yk=f(xk), k=0, 1, 2,，n。构造一个多项式 P(x),使得P(xk)=yk。 P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，xk就是插值节点。误差R(x) = f(x)P(x)。2 .拉格朗日多项式称n次多项式Pn (x)= yolo+yili+ ynln =为拉格朗日插值多项式，其中基函数1(超)=(下一见)0一再>一(五一号_1)6一为+1)一(芫一七)(均一殉)(芍-11)f 1”(均一。)(i=0, 1, 2,，n)当 n=1 时，线性插值Pi(x)= yklk(x)+yk+ilk+i(x)其中基函数'： 1/一%+1当

19、n=2时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为喂，其中E C (a, b)注意：过n+1个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n的多项式。3 .均差与牛顿插值多项式函数值与自变量的差商就是均差,一阶均差n "加一"勺)(或记作fxo, XI)；一工,)一二阶均差 ，(Xg/,K；2)= (或记作 fxo, X1, X2)均差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关。用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn(x) = f(X0)+ fX0, xi(x X0) + fX0, X1 , X2(X X0)(X Xi)

20、十+ fX0, Xi, X2, ， Xn(xX0)(xxi)(xX2) (X Xn-l)牛顿插值多项式的余项为：R n(X) =f(X) Nn(X)=fx, X0, Xi , X2, ，Xn(xX0)(xxi)(x X2) (X Xn l)(X Xn)4 .分段线性插值已知n+i个互异节点xo, xi,，xn构造一个分段一次的多项式P(x),且满足：(i)P(x)在a, b上连续；(2) P(Xk) = yk(k=0, i, 2,，n); (3)P(x)在Xk, Xk+i上是线性函数。分段线性插值函数F：二"二;：二1- .1其中lk(x)(k=0, i, 2,，n)是分段线性插值基

21、函数。工一工1o工一 < x <玉。二k£芍7,工讣1工工工外(i = i, 2,，n-i)5 .三次样条插值函数皿、 (工-0工) . 片 _勺+1. 展S(2 -叫 + -A+i-(yt -修Q： + Cyjt5期此54,6h k6(k=0, 1, 2,，n 1) (xYxWxk+i)mn满足的方其中 S(Xk)=mk (k=0, 1,2,，n),hk = xk+i xk(k= 0, 1, 2,，n1), mo,mi,程组是1史上冽41+2那工+ /鹿肚二二,(*)-1 - 4 -6 （加一._九一%）% 十%1 限为I(k= 1, 2,，n-1)2 -2班1 + H

22、z啊='工修 /MVi+2咨=%其中:(1)当已知 S(xo) = yo, S(xn)=yn 时，(*)式中 0 = 1, n=1,(2)当已知 S(xo)=yo=mo, S (xn) = y n= mn 时，(*)式化为%阳q+2e十"% = ci 4尸：几用.+2叫+4网杆二。 4 3- 4 »« + a » » * a-il-2 + 2 网X-l 十 "端力二*L Ma-lMfl6 .最小二乘法 K用(x)拟合数据(xk, yk) (k=1, 2,，n),使得误差的平方和£必-甲f为最小，求(x)的方法，称为最

23、小二乘法。(1)直线拟合 若1y =默。)=4+口/，a0, ai满足法方程组”.N叫+(Z “泗=2总 A-1：-14 RRN(2口询十熠的=2从九.E-LQlJU1(2)二次多项式拟合若 y -伊(工)二也Q + 1工+4口工口，a。，ai, a2满足法方程组叫= ZaA-"itX"iKK花荔辰 1卜 1&7nm才奇4z就十明工V十与ZX二二m点£ 1x»iJiLt二、实例例1已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk51-31试构造拉格朗日多项式Pn(x),并计算P(-1)o只给4对数据，求得的多项式不超过 3次解先构造基函数犬O-

24、4)(工- 5)841=式久-4乂了-5)° (-2-0)(-2-4)(-2-5)%® =0 + 2)年4乂工一5)4)(。-5)心+ 2心-秋犬-5)405-5)(4+2)(-0X4-5)K(K +2)(x- 5)24(x + 2)j(z-4)35(京 + 2Rx-4) + 2)(3 - 0(5 - 4)所求三次多项式为雪P3(X尸 Z/区=-5vr(x-4Xx-5) CxXr-D(x-5844024(# + 2)kQl 4)55x +14215I55, 24P3(-1) =-14- I 4214217例2已知函数y=f(x)的数据如表中第1, 2歹U。计算它的各阶均差。

25、解 依据均差计算公式，结果列表中。kXkf(Xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差00.400.410 7510.550.578 151.116 0020.650.696 751.168 000.280 0030.800.888 111.275 730.358 930.197 3340.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34计算公式为一阶均差 -JG)二小叫k* 1, 2, 3)Xj' r Xjl I 工屏1 n Xjt+Q 二阶均差八限，了心二g=八辑 Q 八z e (k=0, 1, 2)i十,工&+a 一 _/【工年七l，1四七

26、3, Xfct31二阶均差，1>£,工“1，维门，4+= (k=0, 1)几-"四阶均差打y y y y . 1力电的，电一九题,瓜与，山J L人0，1L 勺，工生 餐.例3设xo, xi, X2,，xn是n+1个互异的插值节点，lk(x) (k=0, 1, 2,，n)是拉格朗日插值基 函数，证明：n#Z人1； (2) £白琉,/(m=0, 1, 2,，n) Jt-oI证明(1) Pn(x)= yolo+y1l1+ + ynln = £y&, L-C(建 + 1)1明川(川*工)=月(工”再(工)当f(x)三1时,1= 1, 二.三：,JU

27、Jm+D!由于=。，故有 .】(2)对于 f(x) = xm, m=0, 1, 2, Jt-0n,对固定xm (0<m<n),作拉格朗日插值多项式，有当 n>m 1 时，f(n+1) (x)=0, Rn(x)=0,所以 £琥1/式工)科注意：对于次数不超过n的多项式 ")/克"f+ 为工+ % ,利用上结果，有=.，二二；八一】二'；'-'"+,二-'二'：. L-0Jt-0JUOJb-0=匚: .，,-一-：七- -D - 工,：,一 h-0Jt-0可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身

28、，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例4已知函数e x的下列数据，用分段线性插值法求x= 0.2的近似值。x0.100.150.250.30e x0.904 8370.860 7080.778 8010.740 818解 用分段线性插值，先求基函数。Z0= 3-20x 0.10 <<0,15?式犬-0.050015，工与0加x-0 10 (k05二 20x- 2a-0.25-0 io-= 2.5-1Q.t0 io<7 <0.15<0,250 25工工工U30lCH50.10-0.30二 0 050.W<j<C.1

29、50.15<<0,250 25 <x<0300.1u<x<0,25h n ?、= 20x-5 0.25 <x <0 30L 0 05所求分段线性插值函数为r-O.882 58jt+0,993095 0.10<<0.15F(x) = -0.819 07x+0.983 569 0 15< <0.25i-0.759旗工+0,968 716 0 25 <z <030所以，e 02= P(0.2) = 0.819 07X 0.2 + 0.983 569= 0.819 755例5已知数据如表的第 2, 3歹U,试用直线拟合

30、这组数据。解计算列入表中。kxkyk砰xkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5n= 5。a。，ai满足的法方程组是Sa0 +15% = 3115即斗 55 dti =105.5解得ao=2.45, ai= 1.25。所求拟合直线方程为y=2.45+ 1.25x例6选择填空题1.设 y=f(x),只要 x0, x1,X2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)=yk (k=0, 1, 2)的f(x)的插值多项式P(x)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的解答：因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P(x) = a2x2+aix+

31、ao,其中a2, ai,ao是待定数。P(xk)=yk,即/片+% =为%需十%七十即二居这是关于a2, ai, a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式君而1W / 1乂七一/)(% 工)工。K / 1所以，不超过2次的多项式是唯一的。2 .通过四个互异节点的插值多项式P(x),只要满足()，则P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值yo = 0(B) 一阶均差为0(C)二阶均差为0(D)三阶均差为0答案：(C)解答：因为二阶均差为 0,那么牛顿插值多项式为N(x) = f(xo)+ fxo, xi(x xo)它是不超过一次的多项式。3 .拉格朗日插值多项式的余项是()，牛顿插值多项式的

32、余项是()(A)(芥+1)!(B) fx, x0, xi , x2, ，xn(x- xi)(x x2) (x xn l)(x xn)(C) 1-： -(D) fx, x。，xi, x2 , ，xn(x x0)(x xi)(x x2)(x xn l)(xxn)答案：（A） , （D）。见教材有关公式。4.数据拟合的直线方程为y = ao+aix,如果记那么系数a。，ai满足的方程组是（）青5口 +的l = y（A）."0 +白1左=?（C）-, 阳网%+Q%二%答案：（B）解答：因为法方程组为（京电）的+应用固=£皈”.JULJWU11 91-由第1个方程得到怎二一 

33、3;” -%一二， 二 >- % X，将其代入第2个方程得到题兄_1增JU1岸兀&-31元）十（二工;）值1 = z二%丁k-1整理得6三:;二,二三,丁,二二A«i.故（B）正确。三、练习题1 .已知函数y = f(x),过点(2, 5), (5, 9),那么f(x)的线性插值多项式的基函数为 。2 .过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x) =。3 .已知多项式 P(x),过点(0, 0), (2, 8), (4, 64), (11, 1331), (15, 3375),它的 3 阶均差为常数 1, 一阶，二阶均差均不为0,那么P(x)>()(A)

34、二次多项式(B)不超过二次的多项式(C)三次多项式(D)四次多项式4 .已知y=f(x)的均差/与，/(/"*马=另。那么 fx4, x2, x0=()(A) 5(B) 9(C)14(D) 85 .求数据拟合的直线方程 y = ao+ax的系数ao, a1是使 最小。6 .求过这三个点(0, 1), (1, 2), (2, 3)的拉格朗日插值多项式。7 .构造例2的函数f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。8 .设l0(x)是以n+ 1个互异点x0, x1, x2,，xn为节点的格朗日插值基函数0一通)(1一飞)Q-q)% -7q77r(飞-同)(女-孙)(勒-试证

35、明:W+5 汽口)I 0 劭)5-马)(勺-瓦)(/一_)(/ 一町)5 -勺)(珀-石)(4-9.已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。x123y2412y1-110.已知数据对(7, 3.1), (8, 4.9), (9, 5.3), (10, 5.8), (11, 6.1), (12, 6.4), (13, 5.9)。试用 二次多项式拟合这组数据。四、练习题答案21.一3 3一/)(凝一工,(。-%)3 . C 4. B 5. 2。厂/-%/y6. x+1fc-i7 .给定五对点，牛顿多项式是不超过4次的多项式。N4(x) = 0.41075+ 1.11600(x 0.40) +

36、0.28000(x 0.40)(x- 0.55)+ 0.19733(x-0.40)(x- 0.55)(x- 0.65)+ 0.03134(x-0.40)(x- 0.55)(x- 0.65)(x- 0.80)将 x= 0.596 代入牛顿多项式 N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596) = 0.631 928 .提示：求l0(x)的牛顿插值多项式。9 43x3 +x-7 大五口口1Q997-x5 + 67x2-x+W5 x e23L 2210. y= 0.145x2+ 3.324x-12.794第4章数值积分与微分一、重点内容m+ 1次代数多项式不成立。1 . m次代数精度 求积公式

37、 dJUO对于任意不超过m次的代数多项式都准确成立，而对某一个2 .牛顿一一科茨求积公式f/取冏3 -+喇aJU)截断误差1, - n支£)/x (a < <h). 5+1)! Io(1)科茨系数： 微三依"| J；t° /山(k=0, 1, 2,，n),有两条性质。 g戈(2)牛顿一一科茨求积公式的求积系数：Ak = (i)Ct)(k= 0, 1, 2,，n)(3)常见牛顿一一科茨求积公式梯形公式, ,，】.一：'截断误差：对f 一色就1mg"物复化梯形公式广加河注g【f(而)十2(丁内)十/区)十十f(J)十八勺)截断误差：取三与

38、，"% , M2= rnirl抛物线公式I二心 ' _ '：，. 一 ;，)1Ja62复化抛物线公式f /立k册成+知1 +另+十力武仆+/* +Kl)+/» 上由J截断误差：%。仁寡血回*词Z oU科茨公式。以叱恁- glQ 8） +*（勺）3 .高斯一一勒让德求积公式 J j（x）依粗£aj（m）, 口U0、1 d"（公-节点为 23二1 .'的零点（高斯点）2 k! dx2其余项：，,- 一 -：，-（2理+ 2）!八4.微分公式等距节点两点求导公式：L 1（k=0, 1, 2,，n1）回力刀:叼一/吊） I口（2）等距节点

39、三点求导公式：*工h）*上%L +%-%）1）丁廉卜上（-% + %）（k= 1，2，n"%，"羡Si -"工+力）、实例例1试确定求积公式./（幻祗阳/（一-）+/（W）的代数精度。依定义，对xk （k=0, 1, 2, 3,），找公式精确成立的 k数彳1解 当f(x)取1, x, x2,计算求积公式何时精确成立。(1)取 f(x)=1,有右边=点金(2)取 f(x)=x,有左边= -小- -1 -1右边=，下(3)取 f(x)=x2,有左边= .右边一, , 一 1一73 V3(4)取 f(x)=x3,有左边= 一 、.一卜一| 右边=,-4(5)取 f(x)

40、=x4,有左边= .1，右边=>+ +二下=)=1 +1 = 2也=0 , 产*+方，dx = | , )-Y* 由T= 0 , =(-#+即=。-4dx = -,5当kw 3时求积公式精确成立，而 x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。左边=f1/(行改 = I改=2 ,例2试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算定积分后立 (计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算"LAP J)+FQ) = 口 xU.7O711 41 = o 居 2(2)用抛物线公式后版0757 + 4 mJ(15 +1)/2 +血m 6x 0.7071 l + 4x 0.866034 1 =

41、 0.43C4732 12327(3)用科茨公式系数为-> 工> TTr -TV90 90 9090 90f i 痴匕=2Px 而+32 父+ 12 * 773 + 32 *+7工.90x 4,34375 + 25.2 兆 22 - 1.139 23口 +2943326 + 7 = 143096 130如果要求精确到10 5,用复化抛物线公式，截断误差为晶区寝亦峪,ZooU% =啜犷4，(即,七0 11615 -7/2 max -z 过 43 16b- a2S80,N>2只需把。5, 1 4 等分,分点为 0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1，内兀/ 2/方)

42、+ 4cA口位5) + /(口.为+ /(1)=24口,加不!.十口父口56。口25 -i-4x(0.73057+ 0,9341)+1 =043(例3用三点高斯一一勒让德求积公式计算积分高斯型求积公式只能计算1, 1上的定积分解做变量替换 '二;y+D，查表得节点 ± 0.774 596 669 和 0;系数分别为 0.555 555 5556 和 0.888 888 88891 sin 2;.dx0 Hsin -(-0.774 596 (569+ 1)0 555555 55海 x2-0.774 5P6 66P + 1sin-(0+1)sin 1(0 774 5%品 944)

43、tO S68S8638?十口 55555555WJ+1U.774 596569=口那万.弼涓蒜磊包搬第第第9逑M'S.如双然黑=口.即皿4注：该积分准确到小数点后七位是 12章12.2节，用多种方法计算过该积分,例4用三点公式计算0.9460831,可见高斯型求积公式的精度是很高的。教材的第 它们的精度请读者自行比较。二7在x=1.0, 1.1, 1.2处的导数值。已知函数值 f(1.0) = 0.250000, f(1.1) = 0226757, f(1.2) = 0.206612解三点导数公式为k=1, 2, 3,，n-1飞中。3尸j十4打一尸痴) ju»r?/a皿)亳以

44、以4K + 3y际) Zjm>本例取 xo=i.0,xi=1.1,X2=1.2,yo= 0.250000,yi= 0.226757,y2= 0.206612,h=0.1。于是有计算/v C) - Y -250000 +4/0.22幻57 -0.206613> = -0.24792/7l.l) -(-0.250000+ 0.206612) =-0,21694/口 W)寸知00。-4xCi.22d7J7 + 3 万口.20$6121= -0 ,1EJ96例5选择填空题1 .牛顿一一科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 。解答：牛顿一一科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精

45、度；高斯型求积公式是由精度 确定其节点和求积系数。n>2 .如果用复化梯形公式计算定积分：小安了，要求截断误差的绝对值不超过0.5X10-4,试问()(A) 41(B) 42(C) 43(D) 40答案：(A)解答；复化的梯形公式的截断误差中犯 三叫察怎一£) = 1 ,故112,n = 40.8,取 n>41o 故选择(A)。3.已知n=3时，科茨系数以、=OI，端幻弓那么等=<5o答案：1/8解答：由科茨系数的归一性质,三、练习题1 .试确定求积公式的待定参数，使求积公式0/'0)改"人0*0)+4隼)+人2出2)的代数精度尽可能的高。2 .用

46、复化抛物线公式计算定积分聿，。取n= 4,保留4位有效数字。J。- - 4l 43 .试用四点(n=3)高斯一一勒让德求积公式计算积分一一女J。/ +14 .已知条件见例4。用两点求导公式计算 f(1.0), f(1.1)。5 .若用复化抛物线公式计算积分广空了，要求截断误差的绝对值不超过0.5X104,试问n>Jo()(A) 1(B) 2(C) 4(D) 36 .当 n=6 时，bf)= ()27216S407.用三点高斯一一勒让德求积公式计算积分代数精度的。第13章方程求根四、练习题答案1. Ao= A2= 1/3, Ai = 4/32. 0.11093. 3.1416244. 0.

47、23243; 0.201455. (B)6. (D)7. 5次、重点内容1.二分法：设方程f(x)=0在区间a,b内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列:名 句ng>瓦二%二二.纥二。X*°Xn=/也)(ao=a,bo= b), n=0, 1, 2, ,有误差估计式:n=0, 1, 2, 二分区间次数:+1 > Inf A - a) - In sIn：2.简单迭代法：若方程f(x)=0表成x= (x),于是有迭代格式:Xn= (Xn-1)(n= 1, 2,)Hm = x* =叶(lim /冲_) #(')*X Xn若存在0V <1,|(x)|,在区间

48、a, b内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。3.牛顿法：用切线与X轴的交点，逼近曲线 f(x)与X轴的交点。迭代公式为选初始值4.八%)(n=1, 2,)X0满足f(xo)f (xo) >0,迭代解数列一定收敛。弦截法：用两点连线与X轴交点逼近曲线f(x)与X轴的交点。迭代公式为k) (n=1, 2,)、实例例1 证明方程1 x sinx=0在区间0, 1内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5X10 要迭代多少次？4的根证明 令 f(x)= 1 X sinx,f(0) =1>0, f(1) =-sin1<0f(x)=1x sinx= 0在0 , 1内有根。又f (x)

49、 = 1 cosxv 0 (x 0, 1),故 f(x)=0 在区间0 , 1内有唯一实根。给定误差限 =0.5X10-4,有比(8一厘)一也£ - InO.S + kilO In 2In 2只要取n = 14。例2用迭代法求方程x5-4x- 2 = 0的最小正根。计算过程保留4位小数。分析容易判断1, 2是方程的有根区间。若建立迭代格式X5 -27s - 2工=一,即前期二一， 445工*同卜->1 (xC (1,2),此时迭代发散。建立迭代格式：戈=加” 2n卯(»= V4X+ 2 ,44=,<- (xC (1 , 2),此时迭代收敛。可”一犷 5解建立迭代

50、格式x = !，4x+ 2,伊(行: V4x+ 244木初一-i=T匚=(xC (1, 2),取初始值x0=1漱4*2)* 5勺中一 一2 -浙t 1 4310"承 与 + 2 =羽 了9 1.5151=V4ri + 411 791 =.0204 s 1,51(554 =/4r3 +2 =1.5132j +2 = y8.0728 sl.51851 = 04rs 工 2 = .0740 停 1 5185取"J"二二】：1二510 6。例3试建立计算 她 的牛顿迭代格式，并求知411 ,791的近似值，要求迭代误差不超过106。分析首先建立迭代格式。确定取几位小数，求

51、到两个近似解之差的绝对值不超过牛顿迭代格式为解 令 *=肪，f(x)=x2 -x7.47S07S +一甯7439956|次刈=0.038122 3 x7478078 sa=0,求x的值。(k=0, 1,)迭代误差不超过106,计算结果应保留小数点后6位。x, = x, + -t-= y 7.43? ?56 +3 切弓1,7913x7435956储 74 3576 0|x2-x3|= 0.000196当x= 7或8时，x3= 343或512, /1r，而/口，取x0=8,4" m 将 7.47S07S3x8克=2篮+二=2 义工43976口 +411791 7.4397603 罚 35 K 74?97方心计算中保留 4位小数点。所以1, 2为f(x)=0的有根区间。迭代格式:于是, 取 r* 7.439760例4 用弦截法求方程 x3-x2-1 = 0在x= 1.5附近的根。分析先确定有根区间。再代公式。解 设 f(x)= x3x21,因为 f(1)=- 1<0, f(2) = 3>0,取 xo= 1 , xi = 2。列表计算如下:nxnxn-1f(xn)f(xn 1)xn+1f