小学奥数：分解质因数(一).专项练习及答案解析

1、5-3-4.分解质因数(一)教学目标1. 能够利用短除法分解2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 .的结构，而且表达形式唯一”目m虐 知识点拨一、质因数与分解质因数(1) .质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数(2) .互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数 .(3) .分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数例如：30 2 3 5 .其中2、3、5叫做30的质因数.又如12 2 2 3 22 3 , 2、3者B叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约 数的和的

2、时候都要用到这个标准式 .分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以 帮助我们分析数字的特征.(4) .分解质因数的方法：短除法212例如：2怛，(匚是短除法的符号) 所以12 2 2 3; 3二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积， 即：n p； pa2 p；3 L p：k 其中为质数，；1 a2 L L ak为自然数，并且这种表示是唯一的 .该式称为n的质因子分 解式.例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.分析：210=2X3X5X7, 可知这三个数是 5、6和7.三、部分特殊数的分解111 3 37; 1001 7 11 13; 11111 41

3、271; 10001 73 137; 1995 35719;1998 2 3 3 3 37; 2007 3 3 223; 2008 2 2 2 251; 10101 3 7 13 37. 助隹例题精讲模块一、分解质因数【例1】分解质因数20034=。【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空【关键词】走美杯，决赛， 5年级，决赛，第2题，10分【解析】原式2 33 7 53【答案】2 33 7 53【例2】 三个连续自然数的乘积是 210,求这三个数是多少？【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空【解析】210分解质因数：210 2 3 5 7,可知这三个数是 5、6和7。【答案】5、6和7

4、 【例3】 两个连续奇数的乘积是 111555,这两个奇数之和是多少 ？【考点】分解质因数【难度】2星 【题型】填空【解析】111555分解质因数：111555 3 3 5 37 67 ( 3 3 37) ( 5 67) 333 335, 所以和为668.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例 如本题中的111 3 37。【答案】668 【巩固】已知两个自然数的积是 35,差是2,则这两个自然数的和是 .【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 8题【解析】35=1 X35=5X 7, 5、7差2,两个自然数的和是 5+7=12【答案】1

5、2元【例4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题【解析】11 12 13 1716, 12 13 14 2184,所以是 2184【答案】2184【例5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126,那么，它们的和是 .【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级 ，初赛，第3题【解析】126 2 32 7,因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14,它们的和为23.【答案】23【例6】4个一位数的乘积是 360,并且其中只有一个是合数，那么在这4

6、个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【解析】将360分解质因数得360 2 2 2 3 3 5 ,它是6个质因数的乘积.因为题述的 四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为6 3 3个质因数的积，又只有 3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3, 3, 5, 8,所组成的最大四位数是8533.【答案】8533【例7】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225,那么他们年龄的和为多少？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到589225 1 13 25 3

7、7 49,五个人的年龄和为 125岁。【答案】125岁例8 如果两个自然数的和与差的积是23,那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是。【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题【解析】 根据题意列式子如下：a b a b 23 ,因为23分解质因数是1与23 ,所以a b 23,a b 1,根据和差关系算出 a 12, b 11,所以这两个自然数的和除 以这两个自然数的差的商为 23,【答案】23【例9】2004 7 20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？【考点】分解质因数【难度】2星 【题型】解答【解析】首先分解质

8、因数，2004 7 20 2 2 2 2 3 5 7 167,其中最大的质因数是 167,所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.165 3 5 1,166 2 83 , 168 2 2 2 3 7,169 13 13 ,所以 165 166 167 ,166 167 168, 167 168 169都没有4个2,不满足题意.说明167不可行.尝试 334 167 2,335 5 67,336 2 2 2 2 3 7,334 335 336 22222357 67 167,包括 了 2004 7 20 中的所有质 因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005.【答案】10

9、05【例10】A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A B两数之差的最大值是。【考点】分解质因数【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 8题，10分【解析】2007=1 X 1 X 3 X 3 X 223=1 X 1 X 1 X 9 X 223=1 X 1 X 1 X 3 X 669=1 X 1 X 1 X 1 X 2007, 所以 A的可能值是 231 或 235 或 675 或 2011 ,又 2007=1 X3X 3X 223=1 X 1 X9X 223=1 X 1 X 3X 669=1 X 1X 1 X 2007,所以 B的可

10、能值是 230或 234 或 674 或 2010, A B两数之差的最大值为2011 230=1781。【答案】1781【例11(老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？)大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的年龄各是几岁？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【解析】 题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。48384 28 33 7 (22 3) (2 7) 24 (2 32)

11、12 14 16 18,由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0,显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为104 48384 ,5-3-4.分解质因数(一).题库8教师版page 3 of而 48384 204,所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。【答案】12岁、14岁、16岁

12、、18岁【例12】甲数比乙数大5,乙数比丙数大5,三个数的乘积是 6384,求这三个数？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【解析】将6384分解质因数，6384 2 2 2 2 3 7 19,则其中必有一个数是19或19的 倍数；经试算，19 5 14 2 7,19 5 24 2 2 2 3 ,恰好 14 19 24 6384, 所以这三个数即为14, 19, 24.一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数 去分析.如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38,再下一个该考虑57,依此类推.【答案】14, 19, 24【例13】四个连续自然数的乘积是 3024,这四个自然数中最大的一

13、个是多少？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【解析】分解质因数3024 24 33 7,考虑其中最大的质因数7,说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数.若为7,因3024不含有质因数5,那么这四个自然数可能是 6、7、8、9或7、8、9、10（10仍含有5,不行），经检验6、7、8、9恰符合.【答案】9【例14】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有 1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在A 3种B、7种100至200之间，则有分法（C 11种5-3-4.分解质因数(一).题库8教师版page 5 of【考点】分解质因数【难度】3星【题型】选择【关键词】华杯赛，五年

14、级，初赛，第 4题【解析】 只要找到100到200之间可以整除1430的数即可。1430可分解成2, 5, 11, 13 的乘积，所以可以按每组 110人，130人，143人分组，共有3个方案。所以答案 为A【答案】A【例15】a、b、c、d、e这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3, 6, 15, 18, 20, 50, 60, 100, 120, 300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是。A.1 B. 3 C. 5 D. 10【考点】分解质因数【难度】5星【题型】选择【关键词】迎春杯，中年级，复试， 2题【解析】D,解：设a b c d e。由abd -c

15、 5b o bc b 2b 2b2 , 215,18,20,50,60,100 中，满足 2:5:10【答案】D3,ac 6 推知 c 2b;由 ce 120,de 300 推知bd b 5b 5b2 , cd 2b 5b 10b2。在2的三个数是20,50,100,所以b 100 10 10。【例16】a、b、c、d、e这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是。(A) 0.3(B) 0.5(C) 1(D) 1.5【考点】分解质因数【难度】5星 【题型】选择【关键词】迎

16、春杯，高年级，复试， 2题【解析】C,设a b c d e。由题意知，ab 0.3, ac 0.6,推知c 2b ;由ce 12,30522de 30 ,推知 d c -c 5b , bc b 2b 2b2 , bd b 5b 5b2 , 122cd 2b 5b 10b2 ,在 1.5,1.8,2,5,6,10 中，满足 2:5:10 的三个数是 2,5,10 ,所以10b2 10, b2 1 , b 1。【答案】1【例17】将19九个自然数分成三组， 每组三个数.第一组三个数的乘积是 48,第二组三 个数的乘积是45,第三组三个数字之和最大是多少？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【

17、解析】分解质因数45 3 3 5, 48 2 2 2 2 3 ,可知45只能是1, 5, 9的乘积，而 48可能是2, 4, 6或2, 3, 8或1, 6, 8(舍去)，则第三组的三个数可能是 3, 7, 8或4, 6, 7,其中和最大的是 3 7 8 18.【答案】18【例18】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？【考点】分解质因数 【难度】3星【题型】解答【解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小.如3个数的积为18,则三个数为2、3、3时和最小，为 8. 1998=2X 3X 3X

18、3X37, 37 是质数，不能再分解，所以2X3X3X3对应的两个数应越接近越好.有 2X3X3X 3=6X 9时，即1998=6X 9X 37时，这三个自然数最接近.它们的和为6+9+37=52(厘 米).【答案】52【例19】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是 39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答【解析】39270=2X 3X 5X 7X 11 X 17,为三个连续自然数的乘积，而 34X 34X34最接近 39270, 39270的约数中接近或等于 34的有35、34、33,有33X 34 X 35=392

19、70.所 以33、34、35为满足题意的长、宽、高.则长方体的表面积为：2X(长 X 宽 +宽 X 高 +高 X 长)=2 X (33 X 34+34 X 35+35 X 33)=6934(平方厘米).方法二：39270=2X 3X 5X7X 11 X 17,为三个连续自然数的乘积，考虑质因数 17,如果17 作为长、宽或高显然不满足.当 17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立， 再考虑质因数7,与34接近的数3236中，只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体 的一条边的长度.而 39270的质因数中只剩下了 3和1l ,所以这个长方体的大小为33X 34X 35.长方体的表

20、面积为 2X(39270+70+39270)=2 X(1190+1155+1122)=2 X 3334353467=6934(平方厘米).【答案】6934【例20】如果两数的和是 64,两数的积可以整除 4875,那么这两个数的差等于多少？【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答【解析】4875=3X 5X 5X5X 13,有aXb为4875的约数，且这两个数的和为 64.发现39=3 X13、25=5X5这两个数的和为 64,所以39、25为满足题意的两个数.那么它们 的差为39-25=14。【答案】14【例21】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数 字相

21、同的三位数.求这两个整数分别是多少？【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如 33 1 32 2 31 3 30 L L 16 17,共有16种形式，如果把每个数都这样 分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999,每个数都是111的倍数，而111 37 3,因此把这九个数表示成一个两 位数与一个一位数或两个两位数

22、相乘时，必有一个因数是 37或37的倍数，但只能是37的2倍（想想为什么？ ）3倍就不是两位数了 . 把九个三位数分解：111 37 3、 222 37 6 74 3、333 37 9、 444 37 12 74 6 、 555 37 15、 666 37 18 74 9、 777 37 21 、888 37 24 74 12、999 37 27.把两个因数相加，只有（74 3） 77和（37 18） 55的两位数字相同.所以满足题意的答案是74和3, 37和18.【答案】74和3, 37和18【例22】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数.如年份数1991,具

23、有如下两个性质：1991是一个回文数.1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积.在1000年到2000年之间的一千年中，除了 1991外，具有性质和的年份数，有哪些？【考点】分解质因数【难度】3星 【题型】解答【解析】这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001, 1111, 1221, 1331,1441, 1551, 1661, 1771, 1881.符合条件的两位质数只能是11,所以符合条件的只有三个，即111011111 ,111311441 , 111511661 .【答案】11 1011111 ,111311441 , 111511661【例23

24、】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答【解析】有140=2X2X5X7,要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次1 2 2,140 5 745,35 2 2 7是.,7 工，倒数第三小的是 亘。28 2 2 5 2028【答案】28【例24】纯循环小数0.&bC写成最简分数时，分子和分母的和是58 ,则三位数 abc 【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空【解析】如果直接把0.abc转化

25、为分数,应该是abc,因此，化成最简分数后的分母应该是999999的约数,我们将999分解质因数得：999 33 37 ,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该分数就变成了假分数了 ，符合这个要求的999的约数就只有37 了，因此，分母应当为37,分子就 是 58 37 21,也就是说 0.ab& abc abc 4,因此近 21 27 567. 999 37 27 37【答案】567模块二、分解质因式【例25三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.【考点】分解质因式【难度】2星【题型】解答【解析】设这三个质数分别是a、b、c ,满足abc 11a b c）,则

26、可知a、b、c中必有 一个为11,不妨记为 a ,那么bc 11 b c ,整理得（b 1）（ c 1） 12 ,又 12 1 12 2 6 3 4,对应的 b 2、c 13 或 b 3、c 7或 b 4、c 5 （舍 去），所以这三个质数可能是2, 11, 13或3, 7, 11.【答案】2、11、13或3、7、11【例26三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数.【考点】分解质因式【难度】2星【题型】解答【解析】设这三个质数分别是a、b、c ,满足abc 7（a b c）,则可知a、b、c中必有 一个为7,不妨记为a,那么bc 7 b c,整理得（b 1）（c 1） 8,又8 1 8 2 4, 对应的b 2、c 9（舍去）或b 3、c 5,所以这三个质数可能是3, 5, 7【答案】3、5、7【例27如图，长方形周长为 20,面积为24。另一个长方形，面积为 20,周长为24。它 的长是,宽是。6【考点】分解质因式【难度】2星【题型】