圆锥曲线与方程测试题精选有答案

1、圆锥曲线与方程测试题A.22+-=1169 144BIJ.;1C+/=1169 25D.H=1144 252（5分）（2012惴州二模）方程22"g）25 - k 9 - k所表示的曲线是（）A.直线B.椭圆D.圆双曲线一.选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1. （5分）椭圆的焦点坐标为（-5, 0）和（5, 0）,椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为（23. （5分）已知抛物线 上2二44第的准线过双曲线=-i的一个焦点，则双曲线的离心率为（A.B.D.4. （5分）（2011?昌平区二模）正方体ABCDJBiCiDi的棱长为2,点M是BC的中点，点P是平面A

2、BCg的一个动点，且满足PM=2 P到直线A1D1的距离为击，则点P的轨迹是（）A.两个点B.直线C.圆D.椭圆5. （5分）（2008讣贤区二模）乂出下列3个命题:在平面内,若动点 M至ijFi （- 1, 0）、F2 （1, 0）两点的距离之和等于 2,则动点M的轨迹是以Fi,a为焦点的椭圆;在平面内,已知Fi（-5, 0）,F2（5,0）,若动点M满足条件：|MFi|-|MF2|=8 ,则动点M的轨迹方程是在平面内,若动点 M到点P （1, 0）和到直线x- y-2=0的距离相等，则动点 M的轨迹是抛物线.上述三个命题中，正确的有（A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. （5分）（

3、2012?隹北一模）已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点 A（- 1, 0）, B （1, 0）,且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（A.B.C.D.B. 1+ .：C. 7+ .：D.8. （5分）（2014?1门一模）如图，在正方体ABCD- AiBiQDi中，E是棱CC的中点，F是侧面BiBCC上的动点，并B.椭圆A.圆C.抛物线D.线段9. （5分）（20147W郸二模）过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于 A, B两点，若|AB|=8 ,则直线AB的倾斜角为B.一C.兀一5或2TTD. II210. （5分）（2012?山东）已知椭圆C:匚三二1 （a>b&g

4、t;0）的离心率为,与双曲线x2- y2=1的渐近线有四个a7. （5分）（2014?国建）设巳Q分别为圆x2+ （y-6） 2=2和椭圆-+y2=1上的点，则P, Q两点间的最大距离是（） b22交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为（A.22二+一二18 2C.22+-=116 4D.=1二.填空题（共 5小题，满分25分，每小题5分）11. （5 分）2 22（2014?安徽模拟）椭圆 斗+三=1与双曲线-4 D2川=1有相同的焦点，则实数 m的值是12. （5 分）（2013?重庆模拟）已知实数m是2, 8的等比中项，则圆锥曲线2二1的离心率为Hl13. （5

5、分）已知下列命题命题：椭圆J=1中，若a, b, c成等比数列，则其离心率 巳二： ；双曲线a2 b"2X2-y2=a2 （a>0）的离心率已回且两条渐近线互相垂直；在正方体上任意选择 4个顶点，它们可能是每个面都是直角三角形白四面体的 4个顶点；若实数x, y - 1, 1,则满足x2+y2> 1的概率为JT.其中正确命题的序14. （5分）（2014?马鞍山三模）对于圆锥曲线，给出以下结论:设A、B为两个定点，k为非零常数，| PA| - | PB|=k ,则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动点弦 AB, O为坐标原点，若OP=A (OA + OB),则

6、动点P的轨迹为圆；2方程4x2- 12x+5=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；222 2双曲线=1与椭圆工+3L=i有相同的焦点.16935 10椭圆C:q一+y2=1上满足MF；? MF；=0的点M有4个(其中Fl, F2为椭圆C的焦点).2其中正确结论的序号为 (写出所有正确结论的序号).15. (5分)(2012?茂名二模)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为 Fi,F2,且它们在第一象限的交点为巳PF1F2是以PR为底边的等腰三角形，若|PFi|=10 ,双曲线的离心率的值为 2,则该椭圆的离心率的值为 .三.解答题(共6小题)2216. (20

7、15搐阳一模)已知 Fi, F2是椭圆C-匕=1的左，右焦点，以线段 F1F2为直径的圆与圆 C关于直线x+y4 3-2=0对称.(1 )求圆C的方程；(2)过点P (mi 0)作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点17. (2015?兴国县一模)已知抛物线y2=2px (p>0),焦点为F, 一直线且AB的垂直平分线恒过定点 S (6, 0)求抛物线方程；求4ABS面积的最大值.2218. (2014以津一模)已知椭圆 C： 二+4=1 (a>b> 0)的离心率为 a2 bZ8页.(1)求椭圆的方程；(2)四边形ABCD勺顶点在椭圆C上，且对角线AC BD均过坐标原点P

8、的坐标.l与抛物线交于A B两点，且|AF|+|BF|=8坐，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为0,若 kAC?k B=-.求QA,OB的范围；求四边形ABCD勺面积.2 22219. (2015湎浦区一模)如图，曲线r由曲线Ci：+.i (a>b>0, y<0)和曲线一 . 1 (y>0) a2 b2a2 b2组成，其中点Fi, F2为曲线Ci所在圆锥曲线的焦点，点 F3, F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，(1)若 F2 (2, 0), F3 ( - 6, 0),求曲线 r 的方程；(2)如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线 G于点A B,求证：弦AB的中点M

9、必在曲线G的另一条渐 近线上；(3)对于(1)中的曲线 T,若直线l i过点F4交曲线G于点C、D,求ACDFi面积的最大值.2220. (2014?昌建)已知双曲线E: J-J=1 (a>0, b>0)的两条渐近线分别为 l1： y=2x, l 2： y=-2x.J l/(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l" l2于A, B两点(A, B分别在第一、第四象限)，且4OAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线 E的方程，若不存/n J * 2221. (2013?工西)如图，椭圆C：鼻

10、+二干1 (a>b>0)a2 b2,3 一- 1 经过点P (1,),离心率e=r,直线l的方程为x=4.(1)求椭圆C的方程;在，说明理由.(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点 P),设直线AB与直线l相交于点 M记PA, PB, PM的斜率分别为ki,入的值；若不存在，说明理由.圆锥曲线与方程测试题参考答案与试题解析.选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1. （5分）椭圆的焦点坐标为（-5, 0）和（5, 0）,椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为（J + 二1B -，1' - -=1° -=1169 144144 169169 2

11、5144 25考点：圆锥曲线的实际背景及作用.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据椭圆的焦点坐标为（- 5, 0）和（5, 0）,椭圆上一点与两焦点的距离和是26,可得椭圆的焦点在 x轴上，c=5, a=13,从而可求b,即可求出椭圆的方程.解答：解：二椭圆的焦点坐标为（- 5, 0）和（5, 0）,椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,，椭圆的焦点在 x轴上，c=5, a=13,b=Ja2 - c2=12,，椭圆的方程为 故选：A.点评：本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键.222. （5分）（2012惴州二模）方程 一好工（k<9）所表示的曲

12、线是（）25-k 9 - kA.直线B.椭圆|C.双曲线D.圆考点：椭圆的标准方程.专题：计算题.分析：因为k是小于9的实数，得到两个分母 25-k、9-k都是正数，对照圆锥曲线标准方程的形式，可得22+ ）二1所表示的曲线是焦点在 X轴上的椭圆，得到正确答案.解答：解： kv 9 .9- k>0 且 25 - k>0 且 25- k>9-k22.' 二1所表示的曲线是焦点在 x轴上的椭圆故选B点评：本题给出一个含有字母参数的二次曲线，通过判断所对应的曲线类型，考查了椭圆的标准方程的知识点， 属于基础题.23. （5分）已知抛物线 其2二4小产的准线过双曲线 工一 y

13、2=- 1的一个焦点，则双曲线的离心率为（A.B.D.考点：圆锥曲线的实际背景及作用；抛物线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.由抛物线其2=文年产得准线方程为y=-a，因此双曲线的一个焦点和C,再利用离心率计算公式即可得出.解答：解：由抛物线 其2二44产得准线方程为y= V5,因此双曲线的一个焦点为（°，-近）,c=V5.22双曲线一 V二1化为y 工亍二1, mma=1,.双曲线的离心率,步3. a 1故选C.点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，属于基础题.4. （5分）（2011?昌平区二模）正方体ABCD_B1C1Di的棱长为2,点M是BC的中点，点P是平

14、面ABCg的一个动点，且满足PM=2 P到直线A1D1的距离为击，则点P的轨迹是（）A.两个点B,直线,圆D.椭圆:椭圆的定义.:计算题.过P作PE!AD垂足为E,过E作ENLAiDi,连接PN,则可得PNLAiDi可得PN二，由NE=2可得PE=1,由PM=2可得点P的轨迹是以M为圆心以2为半径的圆，由PE=1可得点P的轨迹是与 AD平行且距AD的距 离为1的直线，两者的公共部分即为所求 解：过 P作PH AD垂足为 E,过E作ENL AiDi,连接 PN,则可得 PNL A Q从而可得二:：二所以RHPNE中，NE=2所以PE=1由PM=2可得点P的轨迹是以M为圆心以2为半径的圆，由PE=

15、1可得点P的轨迹是与 AD平行且距AD的距 离为1的直线从而可得满足条件的点P的轨迹是直线与圆心公共部分即两个交点故选：A点评：本题以正方体的性质的应用为考查切入点，主要考查了正方体中线线垂足的相互转化，点的轨迹的求解等 知识的综合应用，属于知识的简单综合5. (5分)(2008讣贤区二模)乂出下列3个命题:在平面内,若动点 M至ij Fi (-1, 0)、F2 (1, 0)两点的距离之和等于 2,则动点M的轨迹是以Fi,F2为焦点的椭圆;在平面内,已知Fi(-5, 0),F2(5,0),若动点M满足条件:|MFi|-|MF2|=8 ,则动点M的轨迹方程是ax在平面内,上述三个命题中，正确的有

16、(A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个若动点 M到点P (1, 0)和到直线x- y-2=0的距离相等，则动点 M的轨迹是抛物线.解答：解：对于在平面内,Fi (T, 0)、F2 (1,在平面内，已知Fi线的一支，其方程是169=1 (x>0).故错;考点：椭圆的定义；抛物线的定义；双曲线的定义.专题：综合题.对选项一一进行分析：对于在平面内，若动点M到Fi( - 1,0)、F2 (1,0)两点的距离之和等于2,而2正好等于两定点Fi( - 1,0)、F2(1, 0)的距离，则动点M的轨迹是以Fi,F2为端点的线段；在平面内,已知F1 (- 5, 0), F2 (5, 0),若动点M

17、满足条件：|MF1| - |MF2|=8 ,则动点M的轨迹是双曲线的一支,对于在平面内，若动点 M到点P (1, 0)和到直线x-y-2=0的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点 M的轨迹是抛物线.若动点 M到Fi ( - 1, 0)、F2 (1,0)两点的距离之和等于 2,而2正好等于两定点 0)的距离，则动点 M的轨迹是以Fi, F2为端点的线段.故错;(-5, 0), F2 (5, 0),若动点M满足条件：|MFi| - |MF2|=8 ,则动点M的轨迹是双曲对于在平面内，若动点 M到点P (1, 0)和到直线x-y-2=0的距离相等，根据抛物线的定义知，动点 的轨迹是抛物线.正确.上述

18、三个命题中，正确的有 ，故选B.点评： 本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等基础知识，属于基础题.6. （5分）（2012?隹北一模）已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点 A（- 1, 0）, B （1, 0）,且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（）A. 22B。 2 2,220 22亍-生1 （工井0）.41午*Hl卜,。） 亍（后。）号J弓！ U弓！ U弓！J考点：椭圆的标准方程.专题：计算题；压轴题.分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A,B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加

19、和相减，联立后求得x和y的关系式.解目, 解：设切点为（a, b）, .a2+b2=4,则切线为：ax+by - 4=0设焦点（x, y）,由抛物线定义可得：（x- 1） 2+y2*，（x+1） 2+y2 ， 422消去a得：故抛物线的焦点轨迹方程为 3-+1 （yw。）（依题意焦点不能与 A, B共线，yw0.）22故抛物线的焦点轨迹方程为 工7+当广1 （#0） 4 3故选C点评：本题主要考查了椭圆的标准方程.考查了学生数形结合的思想及综合分析问题的能力.27. （5分）（2014?国建） 设巳Q分别为圆x2+ （y-6） 2=2和椭圆-+y2=1上的点，则P, Q两点间的最大距离是 （）

20、A. 5 ：B.1+：；.|c. 7+T|d. 6 .：考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P, Q两点间的最大距离.解答：解：设椭圆上的点为（x, y）,则圆x2+ （y-6） 2=2的圆心为（0, 6）,半径为百，椭圆上的点与圆心的距离为 J/+ （厂6 ） 'J- 9 （y+）“50”日，.P, Q两点间的最大距离是5b+亚=6&.故选：D.点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.8. （5分）（2014?1门一模）如图，在正方体ABCD- AB

21、iCO中，E是棱CC的中点，F是侧面 BBCC上的动点，并且AiF/平面 AED,则动点F的轨迹是（）C.抛物线D.线段考点：抛物线的定义.专题：计算题；空间位置关系与距离.取棱BB的中点N, %程BCi的中点，证明平面 ANM/平面AED, F是侧面BiBCC上的动点，可得 F是线段MN上的点时，AiF/平面AED,即可得出结论.解答：解：取棱BB的中点N, I葭BiCi的中点，则 MIN/ BCi, BCi / AD , .MIN/ ADi,. MN?平面 AED, AD?平面 AED, .MM 平面 AED,同理，AN/平面AED, . MNn A iN=N 平面 AiNM/平面 AED

22、, ,F是侧面BiBCC上的动点， .F是线段 MN上的点时，AiF/平面 AED, 故选：D.点评：本题考查轨迹问题，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.9. （5分）（2014?W郸二模）过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于 A, B两点，若|AB|=8 ,则直线AB的倾斜角为D. _ii_2A.一一 .工或7 考点：抛物线的标准方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：分a =90。时，易知不成立，当 “W90。时，设直线方程为：y=tan a （ x- 1）,与抛物线方程联立，再由韦 达定理和抛物线过焦点的弦长公式求得其倾斜角.解答： 解：当a =90&

23、#176;时，|AB|二4不成立当aW90°时，设直线方程为：y=tan a （ x-1）与抛物线方程联立得:(tan a) x (2 (tan a ) +4) x+ (tan a )2=0，由韦达定理得：x1+x2=2 (tanCL )(tanCt ) 2|AB|=x i+x2+p=2 (tanCL ) 2+4(tand+2=8tan a =± 1八3五故选：B.点评：本题主要考查直线与抛物线的位置及弦长公式，特别是抛物线过焦点的弦，要灵活地选择公式，提高解题 效率.2 2厂10. （5分）（2012?山东）已知椭圆C:工吟=1（a>b>0）的离心率为,与双曲

24、线x2- y2=1的渐近线有四个a b2交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为（A.21=1C.D.=1专题：综合题. 分析：考点：圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质.由题意，双曲线 x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,可得（2,2 2门2）在椭圆C:二+。=1.利用巳苦,即可求得椭圆方程.b22解答.解：由题意，双曲线 x2-y2=1的渐近线方程为y=±x以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,故边长为4,222 2, 2)在椭圆 C W_+E=1 (a>b>0)上a2 b

25、2晓 _ b： 3.a2=4b2 a2=20, b2=5椭圆方程为： f+£=120 5故选D.点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键.二.填空题（共 5小题，满分25分，每小题5分）11. （5分）（2014?安徽模拟）椭圆二+4=1与双曲线 f -工!=1有相同的焦点，则实数 m的值是 141112m 2一考点：圆锥曲线的共同特征.分析：先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m答案可得.解答：解：椭圆 -+今：二1得1-C1=2,焦点坐标为（ Jq-m 2, 0）工 0）,22双曲线：工一一的焦点

26、必在x轴上，m 2则半焦距C2=Vrn +2J 4 _ m 2 Rm +2则实数m=1故答案为：1.点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，考查椭圆、双曲线的标准方程，以及椭圆、双曲线的简单性质的 应用，利用条件求出 a, b, c值，是解题的关键.12. （5分）（2013理庆模拟）已知实数m是2, 8的等比中项，则圆锥曲线 S2+=1的离心率为考点：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质.专题：综合题.分析：根据实数m是2, 8的等比中项，确定实数 m的值，再利用离心率的公式，即可求得结论.解答：解：由题意，实数 m是2, 8的等比中项，2 -m =2X 8m=±4VO V3.2,

27、m=4时，方程为冀，+二,表不'椭圆，离心率为 巳二.m=- 4时，方程为工22 一片二1,表示双曲线，离心率为综上所述，圆锥曲线 J+=1的离心率为 立或加 故答案为:点评： 本题考查等比数列，考查圆锥曲线的离心率，解题的关键是正确运用离心率公式.13. (5分)已知下列命题命题：椭圆与十三二1中，若a, b, c成等比数列，则其离心率 巳;义一；双曲线 2x2-y2=a2 (a>0)的离心率巳力力且两条渐近线互相垂直；在正方体上任意选择 4个顶点，它们可能是每个面都是直角三角形白四面体的 4个顶点；若实数x, yC - 1, 1,则满足x2+y2> 1的概率为三.其中正

28、确命题的序4号是 考点：圆锥曲线的共同特征.专题：综合题；压轴题.根据a, b, c成等比数列得出a, b, c的关系，进而可求得 c关于a的表达式，进而根据 已求得e.a由双曲线的标准方程， 则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为-1进而求得a和b的关系，进而根据 c7a2 + b 2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得.的正误;找出正方体中的四面体的各种图形，例如侧棱垂直底面直角三角形的四面体即可判断 用几何概型判断即可.解答：.O.解：已知a, b, c成等比数列，ac=b ,椭圆的离心率 巳=,故正确;双曲线x?-y2=a? (a>0),则双曲线的渐近线

29、方程为y=±x.两条渐近线互相垂直,.a2=b2,.c=, 2=匕，e=£=Y2故正确； a如四面体BiABD故正确;概率应为1 - 2H-,故错.4故答案是.点评：本题主要考查了椭圆的基本性质，考查了双曲线的简单性质.解答关键是学生转化和化归思想和对圆锥曲 线的基础知识的把握程度.14. （5分）（2014?马鞍山三模）对于圆锥曲线，给出以下结论：设A、B为两个定点，k为非零常数，|五| - |丽尸k ,则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动点弦 AB, O为坐标原点，若0P=-（币+而），则动点P的轨迹为圆；2方程4x2- 12x+5=0的两根可分别作为椭圆

30、和双曲线的离心率；222 2双曲线工-JL=i与椭圆工+E=i有相同的焦点.16935 102椭圆C:彳+y2=1上满足标?标;=0的点M有4个（其中Fi, F2为椭圆C的焦点）.其中正确结论的序号为（写出所有正确结论的序号）.考点：圆锥曲线的共同特征.专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：不正确.若动点 P的轨迹为双曲线，则 凶 要小于A、B为两个定点间的距离；设出定圆的方程，利用代入法分析可知 AB中点P的轨迹为圆（除去A点）；求出方程的两根即可得到答案；双曲线夫=116 9222r r与椭圆 *:7=1有相同的焦点（土 5, 0）；椭圆C： 3+y2=1上满足而7?而0的点M有

31、2个（0, ±1）解答：解：不正确.若动点 P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A B为两个定点间的距离.当 四 大于A、B为两 个定点间的距离时动点 P的轨迹不是双曲线；对于，设定圆 C的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,点 An）, P （x, y）,由 OF=/ （OA+OB）,可知 P为 AB的中点，则B（2x- mi 2y - n）,因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当 B与A重合时AB不是弦，所以点 A除外，所以 不正确；因为4x2- 12x+5=0的两根是1.25 , 0.5 ,椭圆的离心率范围是（

32、0, 1）,双曲线的离心率范围是（1 , +°0）,所以正确;双曲线上-二二1与椭圆工16 9十二二1有相同的焦点（土 5, 0）,正确;35 10椭圆C：着+y2=1上满足访？ jji每=0的点M有2个（0, ±1）（其中F1, F2为椭圆C的焦点），不正确. 故答案为：.点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题.x轴上，左右焦点分别为F1,15. （5分）（2012?茂名二模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在F2,且它们在第一象限的交点为巳PF1F2是以PR为底边的等腰三角形，若|PF1|二10 ,

33、双曲线的离心率的值为2,则该椭圆的离心率的值为：一5一考点：圆锥曲线的共同特征.专题：综合题.利用离心率的定乂，及双曲线的离心率的值为2, 1F 21 ,可求得昨噌，再利用椭圆的离心率e2=IpFI+Ipf2I,可得结论.解答：解：由题意知双曲线的离心率e11 2cl二2,又 |PFi|=10, |FiF2|=|PF2|,|PF2|=恒#212，椭圆的离心率e2= ,回二:2故答案为：5点评： 本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题.三.解答题（共6小题）16. （2015搐阳一模）已知F1, F2是椭圆C2 -+=1的左，右焦点，以线段 F1F2为直径的

34、圆与圆 C关于直线x+y-2=0对称.（I ）求圆C的方程；（2）过点P （mi 0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标.考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程；直线与圆的位置关系.专题：直线与圆.（1）关键是求出以线段 F1F2为直径的圆的圆心关于直线 x+y - 2=0对称的点即圆C的圆心，半径是：_=1：2P到圆心的距离最小.(2)切线、圆半径、点 P与圆心的连线，他们构成的直角三角形，切线最小及点解答：解：(1)由题意知，F1 (T, -) , F2 (1, 0),线段F1F2的中点坐标为原点.设点0关于直线x+y-2=0对称的点C坐标为(x0, y0),则,组11to22

35、y n管e-2二0“产即 C (2, 2),半径为=1,2所以圆C的方程为：(x-2) + (y-2)2二1；当|PC|最小时，切线长取得最小值,当PC垂直于x轴，及点P位于(2, 0)处时，|PC| min=2,此时切线长取最小值 如2 _ 1;我.点评： 本题主要考查圆的对称问题，圆的切线问题.17. (2015?兴国县一模)已知抛物线y2=2px (p>0),焦点为F, 一直线l与抛物线交于 A、B两点，且|AF|+|BF|=8 ,且AB的垂直平分线恒过定点 S (6, 0)求抛物线方程；求4ABS面积的最大值.考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义

36、、性质与方程.分析：利用点差法，确定 AB中点M的坐标，分类讨论，根据 AB的垂直平分线恒过定点 S (6, 0),即可求抛物 线方程；分类讨论，求出 ABS面积的表达式，即可求得其最大值.解答:解：设 A (xi, y> B (x2, y2), AB 中点 M (x。, y。)当直线的斜率存在时，设斜率为k,则由|AF|+|BF|=8 得xi+x2+p=8,5二&-卫(2VL2P叼曰22 倚月一 y2=2px2哙2P （叼-0）,岁口/22依题意k=-1, p=44谓一6，抛物线方程为 y分析：（1）利用离心率计算公式、菱形的面积计算公式、a2=b2+c2即可得出； （i）设直

37、线AB的方程为y=kx+m,与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、=8x（ 6分）当直线的斜率不存在时，2P=8,也满足上式，抛物线方程为y2=8x当直线的斜率存在时，由（2, y。）及k=-, 1! y y n=-（x - 2）1先知Uy。令 y=。,得 x-2 - q又由 y2=8x 和y- yr=- （s - 2）得：y? - 2y 口92/一 16二0皿 -u¥口0 u J u- S烟项（16+y/）2（32-2yJ） <平.6歹耳一（12 分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2, |AB|=8 , 人3$面积为工乂8><4二16空

38、返 >1& .ABS面积的最大值为 里近.99点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题.18. （2014以津一模）已知椭圆C: $+4=1 （a>b>。）的离心率为华，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为8页.（1）求椭圆的方程；（2）四边形ABCD勺顶点在椭圆C上，且对角线 AC BD均过坐标原点 0,若kAc?k bd=-1.求水羽的范围；求四边形ABCD勺面积.考点：椭圆的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.数量积运算即可得出；解答：解：(1)由已知可得:(ii )利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形及其四边

39、形的面积公式即可得出.£=，52a21>=8近，CbJ”,a z z是 c=2, b=2, a2=8,，椭圆的方程为(2)当直线AB的斜率不存在时,赢丽=2,二赢币的最大值为2.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 y=kx+m,设 A (xi, yi) , B(X2, y2).厂 kx+m 12得(1+2k )*+21二8x +4kmx+2m 8=0, .=16k2mf-4 (1+2k2) (2mf-8)=8 (8k2-病+4) > 0,十二一飞1 上 l+2kz1 工 2一 7 '1 z l+2k2oA*koB=kAC'kBD2,_ 1_ 2in

40、2 - 8 m2 - 4一 yly2-_9XlX2-T=?-i -2 i -l+2k2l+2k2yiy2= (kxi+m) (kx2+m)=k2,.9,2 21rl 2 - 8'：'=''1 2 i *1+2 kz一 4km+km，7 + ml+2kz2 ip2 -8k2"l+2k2l+2k2- l+2k2 '4k2+2=m2,- =xix2+yiy2=1+2 kz 8- 4 m2 - 4 4k2+2 - 4l+2k2 l+2k2l+2k2-2<0A-0B<2,因此，综上可得：赢而e -2, 2 .设原点到直线 AB的距离为d,则d

41、=贝(J S；A AOB= ''.1 !I ： _ m rz 71；m| F - 4km、2 . v 2n2 - 8= ：.：.! ,：1 ：. : 2V 1 21 2 2 V l+2k2l+2k2=274k2 - id2+4,又 4k 2- m = - 2,S AAOB=27r2 .S 四边形 abc=4Saaob=8a/2，点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜 率的计算公式、数量积运算、弦长公式和点到直线的距离公式及三角形四边形的面积公式、菱形的面积计 算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属

42、于难题.222219. (2015湎浦区一模)如图，曲线 r 由曲线 Ci：3+4=l (a>b>0, y<0)和曲线 C2 -1 (y>0) a2 b2a2 b2组成，其中点Fl, F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点 F3, F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，(1)若 F2 (2, 0), F3 ( - 6, 0),求曲线 r 的方程；(2)如图，作直线l平行于曲线。的渐近线，交曲线 0于点A B,求证：弦AB的中点M必在曲线。的另一条渐 近线上；(3)对于(1)中的曲线 T,若直线l i过点F4交曲线G于点C、D,求CDR面积的最大值.考点：直线与圆锥曲线的综合问

43、题.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题.(1)由F2 (2, 0), F3 (- 6, 0),可得彳9 口 ，解出即可；-b &(2)曲线Q的渐近线为 尸士一x,如图，设点A(x1, y1)，B (x2, y2), M(x。，y。),设直线l : y2(工-,aa与椭圆方程联立化为 2x2- 2mx+ (mf - a2) =0,利用> 0,根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明y0=-0,即可.22（3）由（1）知，曲线 Cl： 2-+、1 （y<0），点 F4（6,。）.设直线 Il 的方程为 x=ny+6 （n>0）.与椭 20 16圆方程联立可得（5+4n2） y

44、2+48ny+64=0,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出.解答：（1）解：F 2 （2, 。），F3 （一6, 0),一a2 b2=4解得r 9 a =202，lb2=1622则曲线r的方程为 工+工=120 16(Ko)和20（2）证明：曲线 。的渐近线为,b产土一X，a如图，设直线I : y二一（1- m）, a则,y=-a2,化为 2x2 - 2mx+ ( m2 - a2)二0, =4m2- 8 (m2- a2)> 0,解得-V2a<m<V23.又由数形结合知K盘近之.设点 A (x1, y1), B (x2, y2), M

45、(x。, y。)，刖*m2 一 ”贝U xi+x2=m, xix2=,sl + x2 IT b (_ bmx0二G。m) - 五1- 1yli二一2k(i，即点M在直线y二一上乂上. u a u&22(3)由(1)知，曲线 Ci: -+-71 (yCO)，点 F4 (6,。).20 Lo设直线l i的方程为x=ny+6 （n>。）.,化为(5+4n2) y2+48ny+64=0,2220 ISx-nyf6 = (48n) 2-4X64X 5+4n2) >0,化为 n2>1.设 C(X3, y3), D(X4, y4),43nly”y4W20)5+4 r/二三二F： 二

46、 . 1J 一=-一2，5+4 n令 t= - 1> °，' 11 2=t 2+1，SCDF-6W5t_64V5<W5_lW5t4f-2,当且仅当t=W 即n=Y!l时等号成立. 322限时口 -1滥F盯，£叼一点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.20. （2014?国建）已知双曲线E:2 2七;-4二1 (a>0, b>0)的两条渐近线分别为11: y=2x, 1 2： y= - 2x.”b2

47、（1）求双曲线E的离心率;（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线11,12于A, B两点（A, B分别在第一、第四象限），且4OAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线1有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线 E的方程，若不存在，说明理由.h511考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（1）依题意，可知-=2,易知c=Va,从而可求双曲线 E的离心率; a2（2）由（1）知，双曲线E的方程为工2 a2之一=1,设直线l与x轴相交于点C,分l轴与直线4a2轴垂直讨论，当l轴时，易求双曲线2 ./E的方程为工-=L=1.当直线l不与x轴垂

48、直时，设直线4 16l的方程为y=kx+m,与双曲线E的方程联立，利用由SaoA=A|OC|?|y 1 - y2|=8可证得：双曲线E的方程为工-24从而可得答案.解答：解：（1）因为双曲线 E的渐近线分别为li： y=2x , 12： y= - 2x,所以-=2.a所以如二1L2.a故 c=.a,从而双曲线 E的离心率e=£=JW.a22（2）由（1）知，双曲线 E的方程为 上=1a2 4a2设直线l与x轴相交于点C,当l轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|二a, |AB|=4a ,所以 J|OC|?|AB|=8 ,因此工a?4a=8,解彳导 a=2,此时双曲线

49、E的方程为2r -工=1 .2416以下证明：当直线 l不与x轴垂直时，双曲线 E的方程为x24 16=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意，得 卜2或卜-2;则 C (一工，0),记 A(X1, yi),B(X2, y2),偿：导yi碧,同理得2my2=,2+k由 SaoAE=l|OC|?|y 1- y2| 得：2m=4|4 k |=4L01cl 2m2m. o 目门T 一l?l1=8 ,即2|k| 2-k 2+k|'因为 4 k2< 0,所以 =4k 2n2+4 (4-k2) (mf+16) = - 16 (4k2-m2T6),又因为 m2=4 ( k2- 4),所以4=0,即直线l与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与直线l有且只有一个