高中数学数列通项公式的求法集锦论文

1、数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。一、累加法形如 an an 1 f (n) (n=2、3、4 ) 且 f(1) f(2) . f(n 1)可求，则用累加法求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1.在数列2目中，a1 =1, an an 1 n 1 (n=2、3、4 ),求an的通项公式。解：: n 1时，a11n 2 时，a2 a1 1a3a22这n-1个等式累加得：an a1"=0an an 1 nn(n 1) n n 2n n 2 K1故 an a

2、1且 a11 也满足该式an ( n N ).222例 2.在数列 an中，a1=1, % 1 an2n ( n N ),求 an。n 2 时，a2 al2n=1 时，a1=12,以上n-1个等式累加得anan 12ana1222. 2n 1 = 2(1 2 ) =2n2,故烝2n2a12n 1 且a11 也满1 2足该式an2n 1 ( n N )。二、累乘法形如-a-f(n) (n=2、3、4)，且f(1) f(2) . f (n 1)可求，则用累乘法求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3.在数列an中，a1=1, an 1nan，求 an。a “3(n-1)

3、,代入该式得n-1个等式累乘,解：由已知得n ,分别取n=1、2、 an即 生.a3.包旦 =1 x 2 x 3 xx(n-i)=(n-i)! 所以时，包 (n 1)!故 al a2 a3an 1alan (n 1)!且 a10!=1 也适用该式an(n 1)! ( n N ).2n ,、例4.已知数列 an 满足a1=- ,an1an ,求an。3n 1解：由已知得亘,分别令n=1, 2, 3,.(n-1),代入 ann 1上式得n-1个等式累乘，即曳.鬼.且-a-= 1 2 3 n- a1 a2 a3an 12 3 4 na. 122所以一一,又因为4 也满足该式，所以 an 。a1 n3

4、3n三、构造等比数列法原数列 an 既不等差，也不等比。若把 an中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出an。该法适用于递推式形如an1 =banc或an 1 = banf n或an 1= ban cn其中b、c为不相等的常数，f n为一次式。例5、(06福建理22)已知数列 an满足a1=1, an 1=2an 1 ( n N )，求数歹Uan 的通项公式。解：构造新数列 an p ,其中p为常数，使之成为公比是 an的系数2的等比数列即 an1 p =2(an p)整理得：an 1 = 2% P 使之满足 an 1 = 2an 1p=1即an1是首项为a11=2,q=2

5、的等比数列an 1=22n1an=2n13 a-例6、(07全国 理21)设数列 an的首项a1 (0,1) , an=广1 , n=2、3、4()求4的通项公式。1斛：构以新数列an p ,使之成为q -的等比数列13 、2 an 1 2 p满足 an =3 an 11记 一的21 n 1.5)+1rr1即 an p= 2 (an 1 p)整理得：an =331首项为a1 1, q得 3 P = 3. P=-1 即新数列an1故 an =(a1 1)(an 1=(. 2 1)(an2) n N等比数列an 1=(a1 1)( )n 1例7、(07全国 理22)已知数列an中，a1=2()求2

6、目的通项公式。解：构造新数列 an p ,使之成为q J2 1的等比数列an 1 p =(72 1) (an p)整理得：an 1 = (72 1) an+(T2 2) p使之满足已知条件an 1 = (721)an+2(J21)(V22)p2( J21)解得p 板. .an J2是首项为2 J2 q J2 1的等比数列，由此得an 夜=(2 22) (72 1)n 1. . an = 72(72 1)n V2例8、已知数列an中，a1=1, an1=2an 3n ,求数列的通项公式。分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3n是变量，而不是常量了。故应构造新数列an3n,其中 为常数，使之

7、为公比是 an的系数2的等比数列。解：构造数列an3n, 为不为0的常数，使之成为 q=2的等比数列即 an1 3n1=2(an3n) 整理得：an 1 = 2an(23n 3n 1)满足an 1 =2an 3n得2 3n 3n 13n1新数列an3n是首项为a1 31= 2, q=2 的等比数列an 3n= 2 2n 1，an=3n 2n例9、(07天津文20)在数列 an中，a1=2,an 1 = 4an3n 1，求数列的通项an。解：构造新数列ann,使之成为q=4的等比数列，则an 1 (n 1) = 4(ann)整理得：an 1 = 4an 3 n 满足 an 1 = 4an 3n

8、1 ,即 3 n 3n 1 得1，新数列an n的首项为a 1 1, q=4的等比数列n 1n 1an n 4an 4 n四、构造等差数列法数列an既不等差，也不等比，递推关系式形如an 1 ban bn 1 f(n),那么把两边同除以bn1后，想法构造一个等差数列，从而间接求出 an。例10. (07石家庄一模)数列an满足an2an i 2n 1 (n 2)且24 81。求(1) a1、a2、a3 (2)是否存在一个实数，使此数列 an2n 为等差数列?若存在求出的值及an ；若不存在，说明理由。解：(1)由 a4 = 2a3 24 1 =81 得23=33；又a3 = 2a2 23 1

9、=33 得22=13；2.又, a2 = 2a 21=13 ) . . a1二5(2)假设存在一个实数，使此数列刍1一为等差数列即亘 包=an 2an1 = = 1 1= 该数为常数22222 = 1即an为首项曳- 2, d=1的等差数列2n21an-=2+(n 1) 1=n+1 an = (n 1) 2n 1n 1_例11、数列an满足an 1= 2an ( 2)( n N ),首项为a12,求数列an的通项公式。解：an 1= 2an ( 2)n 1 两边同除以(2)n 1得一an =，+1 (2)n 1 ( 2)n，数列5是首项为 7=1, d=1的等差数列，一%二=1 + (n 1)

10、 1 n(2)n( 2)1( 2)n故an = n( 2)n例 12.数列an中，a1=5,且an3an 13n1(n=2、3、4),试求数列an的通项公式。解：构造一个新数列a、3n '为常数，使之成为等差数列,即亘一 3nan 1.2n 1 d3整理得an3an 1 3nd +3 ,让该式满足an3an 1 3n 1，取 d 3n 3n ,11aa1 o 321得d=1，即a是首项为一 一，公差d=1的等差数列。23n3121an 23故2 - (n 1) 1 n3n21 n,an=(n 2) 3例13、(07天津理21)在数列an中,a1 =2，且 an 1 an(2)2n其中

11、>0,()求数列 an的通项公式。解：n 1的底数与an的系数相同，则两边除以n 1 zb an 1 付rTann2n 1-n-2nnan12n1 % 2nn 1nan1 2nn是首项为ai0,公差d=l的等差数列。1) n an(n 1) n2nJ O五、取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有anan1项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以anan 1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出an °例14、已知数列禺, a1=1,前1ann1 anN ，求 an =?解：把原式变形得an 1 an 1 an an两边同除以anan/曰11待一anan工是首项为

12、 1, d= 1的等差数列故 1an(n1)( 1)一 an例15、(06江西理22)已知数列2目满足为2,且an3nan2an 11n 1()求数列 an的通项公式。解：把原式变形成2anan 1 (n 1)an 3nan1两边同除以anan 1得即anan 1构造新数列,使其成为公比an1q=-的等比数列3即an3(an 1)整理得： an-2 满足式使 3an 1 3314，. n -1，数列2 1是首项为-1aian£13(1)n1(3)nann 3n例16. (06江西文22)已知各项均为正数的数列n N求数列 an的通项公式。解：把原式变形为2an 1 an anan 1

13、(2an一,i，r 21两边同除以anan 1得-2an an 1an an 1.111所以新数列前是首项为一为 一 ana13故工an一 2n 2解关于an的方程得an3六.利用公式an Sn Sn1(n 2)求通项an满足：a1 3,且空-an anan 12an an 1an 1 )11、移项得：an 1 2(an)an 1an83- q=2的等比数列。1 n 1_2n 2.an -(2。29)。3利用该式写出有些数列给出 an的前n项和Sn与an的关系式Sn = f (an),Sn 1f (an 1),两式做差，再利用an1Sn1Sn导出an1与an的递推式，从而求出an。例17.(0

14、7重庆21题)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足S1>1且6 Sn=(an 1)(an 2) n C N 求an的通项公式。1解：由C1S1= -(a11)(3,2)解得a1=1 或 a1=2,由已知 a1S1>1,因此a1=2 又由6_11 ,an 1Sn1Sn=T(an11)(an1 2) T(an1)(an2)信66(an 1 an )(an 1an 3)=0an >0 an 1 an从而an是首项为2,公差为3的等差数列，故an的通项为an=2+3(n-1)=3n-1.1例18.(07陕西理22)已知各项全不为 0的数列 ak的前k项和为Sk ,且Sk =

15、 3 akak 1 (k CN )其中a1 =1,求数列 ak的通项公式。 一1斛：当 k=l 时，a1 S1 = a1a2及 a1 =1 得 a2=2；当 k>2 时，2,11/日.由 ak = SkSk 1 = - akak 11ak 1ak 倚 ak(ak1 ak1 )=2 ak - ak*0 ak1 ak 1 =222故 ak =k (k e N ).从而 a2m 1 =1+(m-1)2=2m-1a2m =2+(m-1)2=2m (m £ N )例19.(07福建文21)数列an的前n项和为Sn,a1=1,an12Sn( nCN，求an的通项公式。1 一 an 1斛：由

16、a1=1,a22S1 =2,当n>2 时 an = SnSn1 = (an1 an)得=3，因此an是2 an首项为a2=2, q=3的等比数列。故an = 2 3n 2 (n >2),而a1 =1不满足该式(n=1)3n 2(no2)1所以an =2412例20.(06全国I理22)该数列an的前n项和Sn - an - 2n 1 - (n=1、2、3)求3 33 an的通项公式。4 124斛：由Sn an2(n=1、2、3)得a1Si =a15 3336 12一所以 a1=2再 Sn1 = an12(n=2、3)333 一41将和相减得：an = Sn Sn1 (an an 1

17、) (22n)33整理得an 2n 4(an 1 2n 1) (n=2、3)因而数列an 2n是首项为a1 2 4 ,q=4的等比数列。即an2n = 4 4n 1=4n,因而an4n2n oan与bn必须得重新构造七.重新构造新方程组求通项法有时数列禺和灯的通项以方程组的形式给出，要想求出 关于an和bn的方程组，然后解新方程组求得 an和bn。an1 an 1%i4例21. (07辽宁第21题)：已知数列an, bn满足a1=2,0=1且bn(n 2),求数列an, bn的通项公式。解析：两式相加得anbnan 1bn 12则 anbn 是首项为aib13 , d=2的等差数列，故 an

18、bn=3+2(n-1)=2n+1 1而两式相减得an bn = an 121 -的等比数列，故an bn=(1)n1-bn 1 =(an 1(2)bn 1)则 an bn是首项为a1匕=11q= 21/1、n,1/1、nn 2(3),bnn 2(2)。an bn2n 1联立(1)、(2)得1nl由此得anan bn(-)n1分析 该题条彳新颖，给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等 比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出 an、bn的通项公式。若改变一下数据，又 该怎样解决呢？下面给出一种通法。a2a 6b例 22.在数歹U an、 bn中 a1=2, b1=1,且(ne N )求数歹U an和 bnbn 1 an 7a的通项公式。解析：显然再把 an 1与bn 1做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列anbn其中为0的常数。则76.、入an 1bn1 =2an6bn(an7bn ) = (2) an + (76)bn = (2)(an2 bn )v76 2得1=2或2=3则anbn为首项abi, q= +2的等比数列。即1=2时，an 2bn是首项为4, q=4的等比数列，故an 2bn=4x 4n 1=4n;2=3时，an 3bn是首项为5, q=5的等比数列，故an 3bn=5x 5n 1=5n联立二式 an 2bn 4 解得 a