对一些题目的解题反思

1、对一些题目的解题反思山东省滕州市第一中学姚良玲 杨列敏（277500）总剩下些工作要做，经著名教育家波利亚曾说：“没有一道题是可以解决的十全十美的,过充分的探讨总结， 总会有点滴的发现， 总能改进这个解答， 而且在任何情况下， 我们都能 提高自己对这个解答的理解水平.”带着这种启示，我们认真研读了文1、2和新课程教材中的相关习题，现把这些题目的解题反思整理成文，以飨读者 文1中的探究uuu探究1已知P是 ABC内一点，且xPAuuu yPBuuur zPCr 0,求证：S PBC ： S PAC ： S PAB x ： y ： z .uuu实际上我们知道若点 G是 ABC的重心，则GAuuuG

2、Buuir rGC 0,且S GAB S GAC S GBC ,于是根据这个知识点，可以对文1的证明方法作如下改进.uuu uuir证明：设xPA PAuuu ,yPBuuuruuirPB, zPCuuuu uuurPC,则 PAuuurPBuuur rPC 0 ,所以点P是A BC的重心如图1,且SPA B S PACS PBC ,由此得到：旦星1八八PB PC sin BPCPBC1八-PB PCuur uuuusin BPCuuu lunrPB PCuuir uuurpb|pcyz所以S pbc-S yzPBC ，同理：S PACPACS SS PAC , S PABxz2 sS PAB

3、 .xy所以S PBC ： SPAC ： S PAByzxz1一 x ：xyy： z探究2已知P是 ABC外一点, uuu uuu uuur r且 xPA yPB zPC 0,求证：S pbc ： S PAC ： S PAB分析：P是 ABC外一点可知，x, y,z中恰有一个为负或恰有两个为负.证明：（1）若x,y,z中恰有一个为负，不妨设 x 0, y 0,z 0,UULT 设PAuuu uuu uuur uuu xPA , yPB PB , zPCuuuuPC,则uur uuurPA PBuuuu rPC 0,所以ABC的重心,如图2,且 S PA BS PAC SPBC ，uuu uur

4、S_ 所以,S-PBCS PBC1 PBII PC sin BPCuur uuur同理S PACPAC1八PB PC sin1-S S S PAC，S PAB xzBPCuuur PCPB PC1 yz.1 c-Sf S PAB .所以 S PBC : SxyPAC : S PAB x : y : z（2）若x,y,z中恰好两个为负，同（1）可证结论成立. 综上所述原命题结论成立.由此可得到以下的一般性结论：探究3已知点P是 ABC所在平面上一点（O不在ABC的边上uuu uuu uuur 且 xPA yPB zPC则 S PBC : S PAC : SPABS(2)SPBCI x | S P

5、ACABC x y z S ABC| y|x y zS PABS ABC|z|y（2）由（1）不难利用面积法证得探究4已知四面体 A BCD。为空间中一点,uuu aOAuur bOBUUUT cOCuur rdOD 0 ,（a, b, c, d为实数且不全为0）,则有:1 1)VO BCDVA BCD|a|a b c d |VO ACDVA BCD|b|Vo ABDVA BCD|c|c dVo ABDVa BCDLcl（2）当a,b,c,d全部为0时，即点O不在四面体A BCD的四个面上时，VO BCD : VO ACD : VO ABD : VO ABC|a|:|b|:| c|:|d |卜

6、面给出结论的简单证明先证a b c d0 .假设a(buuu代入aOAuur bOBuuur uuur cOC dODr0得：buur uuuOB OAuuurOCuuuOAuuur d ODuuuOAuur uur uur 即：bAB cAC d ADuuu uuur uuur0,又因为AB, AC, AD不共面，所以b c d 0,所以a0.这b c duuudOD0.与题目条件矛盾，所以auuu uuu uur 再由 aOA bOB cOC得uur aOAuuuOAuurABuuuOAuuurACuuu uur d OA AD即(auuur d)AOuuir bABuuur cACuuu

7、r d AD(*)设平面ABC的单位法向量为rn,如图r3.用n与(*)式两边取数量积得(a b cuuur d)AOuuir rdAD n ,从而有BDC图3* r n uur r(a b c d) AO nuuur d AD.设O ,D到平面ABC的距离分别为h ,hDuuur r uuur，因为 AO n,ADrn分别是uur uurrAO,AD在n上的投影，所以uuur rAO n ,hDuuurADrn，从而| ab c d |h | d | hD，两边d |Vo ABC |d |VaBCD ,一、，1 一.同乘以3 S abc，得到：|a b 也就是C回Va BCD|a b c d

8、 |同理可得 VO型D 也J，Va bcd|a b c d |VO ABD Lc| VO ABD cjVA bcd| a b c d |VA bcd | a b c d | (2)由(1)显然成立.新课程中的题目1.人教A版教材(必修1 P25习题1.2 B组第4题)如图4所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km,从点P沿海岸整栋12km处有一个城镇.(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h,步行的速度是5km/h, t (单位:h)表示他从小岛到城镇的时间，x (单位:km)表示此人将船停在海岸处距 P点的距离，请将t表示为x的函 数.(2)如果将船停在距点 P 4km处，

9、那么从小岛到城镇要多长时间(精确1h)?(3)若这个人驾驶小船从小岛到城镇的时间最短，此人应将小船停在海岸线P点多远处？(2)略第(3)问一般是在高三复习时增设的，户_城耨此题大多解法是这样的.L12Jbq-412kmk-图 4小岛设停在距点P xkm处,则所用时间为t,t 12x4x23法1令t0,得一（舍去） 2所以当x1.5km, t有最小值.2tan12 2tan122 sin12 1253sin所以tan3cos5 cos3cos515 cos5 3sin ，则cos2. /u sin(9 u2tanx 2tan 2tan1,所以，从而43 3 88 ,时,t有取小值.如图5.4 2

10、3cosu2 16,所以umin 4此时应有若进一步反思以上解法便有了下面的漂亮的快捷解法法3.根据光学知识光是沿直线传播，于是可设小岛为BAB t3B作直线AC5BD解得PA13 3（AB AC）,由此过点C作一条射线C,D且使sin DCP ,过点355CD ,与PC交于点A,则点A就是所求小船所停岸处.由BPA: CDA ,3 34 22.人教A版教材数学必修（5）第101页B组第2题.如图6.树顶A离地面am,树上另一点 B离地面b m,在离地面cm的C处看此树，离此树多远时看 A, B的视角最大?对于a b c的情况，我们在教学中发现学生最先想到的思路 是余弦定理，那么根据余弦定理我

11、们得到方法一：过点C做CD AB交AB的延长线与点 D在 ABC 中，AC2 x2 (a c)2, BC2x2 (b c)2,到2x2(a c)2 (b c)2 (a b)2 ， ,2 x2 (a c)2x2 (b c)2AC12 (a c)(b c)2(a c)(b c) (a2 b2 2c2 2ac 2bc) (a b 2c)2; (a b)2(a b)2 (a c)(b c) 2(a c)(b c) -1 x BC2 AB2 cosC 2AC BC当且仅当2x(a b)222(a 0 (b C 时,即:(a b)2x2x q(a c)(b c)时，cosC有最小值，从x2 (a c)(b

12、 c)x2 (a c)2x2 (b c)2x4 2(c2 ab bc ac)x2 (a c)2(b c)24222222x (a b 2c 2ac 2bc)x (a c) (b c)1(a2 b2 2ab)x2x4 (a2 b2 2c2 2ac 2bc)x2 (a c)2(b c)21222_2_22x (a b 2c 2ac 2bc) (a c) (b c)222 2(a b)2(a b)2(a b)2x2而角C有最大值.反思上面的过程可以发现由于上述方法中涉及根号的运算，导致了上述解法复杂，由此我们若再进一步思考不难想到可以利用到角公式选择角的正切值作为切入点进行研究，证法如下：法二：过点

13、C做CDAB交AB的延长线于点设 BCDACD,CD x,在 BCDtanACD 中tana c，则xtan( )tantan1 tan tan.a cb c1x xa b(a c)(b c)当且仅当x , (a c)(b c)时，视角最大为arctan2、.(a c)(b c),这样便得到了比法一在计算上简单的解题方法.而实际上再琢磨一下等号成立的条件，又不难发现另外一种巧 妙的解法.根据平面几何知识应该有这样一个定理：如图7,已知直线li与12相交于点O , M ,N是12上的两定点，MPN最大，并且有OP2OM ON .由此根据此经过M , N两点的圆与直线 11相切于点 P ,此时定理我们便有了以下快捷的解法 法三：过C作CD AB交AB的延长线于D ,由平面几何知识可知，经过A, B两点的圆与直 线DC相切于点D时，ACB最大，从而 CD2 DB DA,即：DC J(a c)(b c).对于c a b的情况同理可得，当DC J(a c)(b c)时，所得视角最大.对于a c b的情况可以由题意明确看出点C在线段AB上时夹角最大.该题显然与2004年全国联赛第12题,200