高中竞赛数学讲义第63讲极限

1、文档从网络中收集，己重新整理排版.word版本可编辑,欢迎下载支持.极限及其运算相关知识1 .数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列册的项无限趋近于某个常数(即无限趋近于0),那么就说数列*以为极限，或者说”是数列斯的极限.记作lima” =，读作“当趋向于无穷大时，明的极限等于2 .几个重要极限：(1) lim 1 = 0(2) Um C = C (C 是常数)一>8 fj”f8 无穷等比数列0'(时<1)的极限是0,即Um=0(|9| <1).3 .函数极限的定义：(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x

2、 趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a.记作：liin f(x)=a,或者当.l+8时，.一枚(2)当自变量才取负值并且绝对值无限增大时，如果函，数f(x)无限趋近于一个常数a, 就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a.记作 lim fix) -a 或者当 a 8 时，fx) f a.如果lim £(x)=a且lim f(x)r,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是3,记作：lim f(x)=a或者当a-8时，-v->x4数列极限的运算法则：与函数极限的运算法则类似，如果limn” = Alim，=用那么5对于函数极限有如下的运算法则：如果 lim f

3、(x) = A lim g(x) = 8,那么 limf(x) + g(x) = A + B, lim "(x) g(x) = AB,当 C 是常数，n 是正整数时=/(x), lim/(x)r =lim f(x)n这些法则对于X- 8的情况仍然适用.6函数在一点连续的定义：如果函数*x)在点x=xo处有定义，lim 存在，且lim *x)=/(xo),XT.%那么函数/(x)在点X=Xo处连续.7,函数*x)在(a, b)内连续的定义：如果函数*x)在某一开区间(a, b)内每一点处连续，就说函数/(用在开区间(a, b)内连续, 或*x)是开区间(a, b)内的连续函数.8函数/

4、(X)在a, b上连续的定义：如果 收)在开区间(a, b)内连续，在左端点x=a处有lim ")=峋,在右端点x=b处有皿 的=恸,就说函数G)在闭区间a,切上连续或 外)是闭区间a,切上的连续函数. xTb9最大值仆)是闭区间插 切 上的连续函数，如果对于任意xe a,切，胸)2/«,那么 心) 在点必处有最大值*Xi).10最小值RX)是闭区间a,加上的连续函数，如果对于任意xe a,切，*X2)/U),那么*x) 在点X2处有最小值”2).11 .最大值最小值定理如果ZU)是闭区间a, b上的连续函数，那么X)在闭区间a, b上有最大值和最小 值.R类例题例 1 (

5、D等于()-aA.-1B.OC.1D.不能确定分析因为当|一|<1即avL时，lim(-)r,=0,1 一。2-1-67当|一|>1时，lim(J-)”不存在.1一。"T8 -0当，一=1 即 a=L时，lim()W=11 -n 21-n当一=一1时，lim(一)也不存在.-a5-a答案D.-1 L.nzr-h) i n例2已知|a|>向，且lim- <liin (/?eN')，那么a的取值范围是()“T8A.a<-1B.-1<a<0C.a>1D.a>1或-1<a<0n-l iniIi分析左边=lim- =+

6、() = 一优 aaa右边=lim - = liin a + (-)nJ = abv bV|a|>|b|, A|-|<1. A hm (-)n=0 aa，不等式变为L va,a解不等式得a>1或一 1 vavo.-17 -word版本可编辑.欢迎下载支持.答案：D.limKT83x-lx2-12x+20说明在数列极限中，极限lim =0要注意这里同<1 .这个极限很重要.x2 -4例 3 (1)lim :% 2（1）分析先因式分解法，然后约分代入即得结果。.r 火,4 . (x + 2)(x 2) r / c、- 解：hm= lun = hm(x + 2) = 4.xt

7、2 x-27X-2 T（2）分析分子、分母同除X的最高次事.解：lim上J = lim ' / =0 x2-12x + 20 一1 12 201+ x 厂r Jr 8 2V2例 4 lim.3x-4分析进行分子有理化.初 v2_8-2& ./-8-(2 回 2解：hm= lun=-x-4(x-4)(Vx2 -8 + 2V2)(x+4)(x-4) r x + 44 + 4= lim,， -二 Inn， - =， , (x - 4)(77 + 2&) -17/ -8 + 2&、 - 8 + 2a链接有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或枳）；两个（或几个）

8、函数的极限至少 有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.在求几个函数的和（或积） 的极限时，一般要化简，再求极限.求函数的极限要掌握几种基本的方法.代入法；四式 分解法：分子、分母同除X的最高次事；分子有理化法.情景再现1已知数列的生（备一1） （neN-）为等差数列，且创=3, a2=5,则.lim / “T+ + a2%+1A. 2C. 1D-1-v x3 +ax2 +b 、2 lim=8,以确定a, b的值.I x-2B类习题例5已知下列极限，求a与b lim(KT8x2+l-ax-b) = 0(2)lim(vx2 -x + 1 -ax-b) = 0 .18分析此题属于已

9、知X趋向于Xo（或无穷大）时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系 式的类型.上边三个小题都不能简单地将X=Xo直接代入函数的解析式中，因为（1）（2）中的X不 趋于确定的常数，（3）虽然趋于1,但将X=1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问 题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所 给的条件进行分析，进而确定a, b的值.解lim(x2+-ax-b) = lim(-a)x2 -(a + b)x + (-b)r 如果 1-aWO,1-b,: lim = 0, lim- = 0A>X xKTOC x，limA(1 - a)x -(。+ /

10、7) + - X不存在.+- X2° 如果 1-a=0,(1 - a)x -(a + b) + -: liin.V>x一（。+。）+ 0=(a+b)=0+-X即 a+b=01 4=0a + b = 0a = 1b = -l解：(2)lim(Jn) x+1 -ax b) KT8要使极限存在1 一%=0.2a lull - -i I 11 b 1 +。.1 + +a + V x r x即 1+2ab=0, a+1H0.l-r/2=01 + lab = 0=>'。+ 1工0m ,2yjx + a +b r解：(3) lim= limIl 尸.t->l(yjx +

11、a +b)(yjx + a -b)x + a-b2(x + l)(x - l)(Jx + -b)极限存在，则分子、分母必有公因式x1.一限一1，原式=limXfl(x +1)( J x + b) 2( J1 + 4 b)=1»= 1 z 1 2(、U + ”与b = -链接我们求极限的一种方法是分子、分母同除X的最高次累，但像第(1)题，因为分子的次数低于 分母的次数，如果分子除以X2,则分子极限为0,不符合，所以通分后，应除以分子分母中 X的较低次事.并且X的次数比分子X的最高次基大的项的系数应该等于0,这样极限才存在.2x2-3x<2例6已知,求a,使lim伪存在.3r +

12、。x>2 T解：要使lim ”)存在，则lim仆)与lim网)要存在且相等. 12mt2-x”lim Rx)= lim (2x2-3)=2 22-3=5. .i2-xMlim f(x)= lim (3x2+ra)=3 22+a=12+a. kt2*t2+/. 5=12+a. .ra=-72x + l(x>0)例7设函数汽)=卜(x = 0),在x=0处连续，求a, b的值.-(ViTx-i)(x<o)分析：要使*x)在x=0处连续，就要使*x)在x=0处的左、右极限存在，并且相等，等于 *x)在x=0处的值a.解：lim f(x)= lim - (Jl + x 1)KT(rX

13、liinx)=lim <2x+1)=2 0+1=1 b.J 2 =>i = a这类连续的题目，关键是求在一点处的左、右极限存在并都等于在这点的函数值，与函 数在这点的极限存在的方法是相同的.情景再现 3求下列函数在X=0处的极限(1) lim : (2) lim (3) f(x)=<(a = b = 24 求 limnt82+代2x>0 0,x = 0 l+xx<0I)2厂一工一1D Xc类习题例8设数列41,42,m,的前n项的和S和如的关系是Sn= ban -7 ,其中b是与 (1 + »无关的常数，且W-L求斯和小T的关系式;(2)写出用n和b表示

14、a的表达式；(3)当0V6V1时,求极限Um S州解：(1 )an=Sn-Sn =-b(an-an!- +!r(+b)n (1 + b严=b(a,t-an 1)+ - (22) (1+。)”解得出产一竺 1 + /?卜 b(1+。严(22)说明历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前项和冬等有紧密的联系,有时题目 是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n项和S“再求极限，本题考查学生的 综合能力，解答本题的关键点是分析透题目中的条件间的相互关系 技巧与方法，是抓住第 一步的递推关系式，去寻找规律.例9已知数列an满足条件：ai=1, a2=r(r>0)且(an-a是公比为q

15、 (q>0)的等 比数列，设 b“=a2c i+a2n (n=1, 2,)(I )求出使不等式a“amd+a/7+i3r2>an+23nl2 (”£N )成立的q的取值范式;(H )求jbn和lim ,其中 So=bi+>+bn； “T8 s(III)设厂=219 2一 0=1,求数列的最大项和最小项的值.2 log 2 a解：(I)由题意得国0-1+4>广妙|由题设r>0, q>0,故上式c-q-ivol( 1-V5所以-<q<由于q>0,故0Vq(14-752(II)因为“二土2 =S = q 4M+1 M所以组二 %向 +

16、%”+2 =+("1 =q/ob“ 2n-l +a2n “2,1 + 4“b1=ur#o,所以>是首项为1+r,公比为q的等比数列, 从而 bn= <1 +r) cf 1当 q=i 时，Sn=n (1+r)当。时，s3"w) i-q当 A1 时，sJ“返 7q - l综上所述lim = <s“i-q l + r 0(0 < </ < 1)(>1)(III)由(H)知也=(1+r) cf 1从上式可知当20.2>0时"221 (£N)时，金随门的增大而减小，故1 <Cn<C21=1 + 1= 1

17、+ =2.2521-20.20.8当C-2O.2VO,即W20 (neN)时，金也随着c的增大而减小，故1 >的>。20=1 +20-20.2=1 =-40.2综合、两式知对任意的自然数"有故册的最大项61=2.25,最小项6o=-4.31例10已知二次函数f(x)=&+ bx + c的图象的顶点坐标是(j ,-),H/(3) = 2(【)求丁 = /1)的表达式，并求出f(1)、f(2)的值：(II)数列an, bn,若对任意的实数x都满足g(x)J(x) + %x + a =7,eN*,其中gW是定义在实数R上的一个函数，求数列an, 2的通项公式；(IH)设

18、圆：(X-a,)+(y a)2 =心,若圆Cn与圆Cn+i外切,片是各项都是正s数的等比数列，记Sn是前n个圆的面积之和，求lim Y，(£N.).厂naiai解：(I)由己知得/(x) = a(x-二 一一MH(V./(3) = a(3-二)2- = 2 4 = 12424(II) g/+%+2=1e即/+2=1g./(2) + 2an + - = 27即2a, + b = 2n+,由得盘=22-14 =2-2川，(III) I Q+CJ= J(2"+2 _)2 + (2"X _2/2)2 =叵.2'田，设数列价的公比为q,则q + 3K (1 + 4)

19、T C+1C 1= V2 . 2 同即乙(1 + g)=" 2fl+,情景再现331115在数列如中，己知t/1= -0=,且数列如川一上6是公比为g的等比数列，数列lg(%+i5100102一 gsj是公差为- 1的等差数列.(1)求数列“”的通项公式：(2设=4+42+%(力1),求 lim Sm6已知数列为是公差为6的等差数列，dWO且口=0,4=2% (£汗)5是6的前项和,T产阻(£N)bn(1)求5的通项公式；(2)当d>0时，求lim T介本章习题1 .已 知数列满足那么山口(阴+4+-+%)的值为()A. -B. -C, 1D. -2232.

20、设数列4和也J的通项公式为4和=(； j ( e N)它们的前项和依次为4和8“，则lim?=() 纥3，lim (J- +Jx +疗-6)=4 若 lim (ay)2n2 +/?-1-iib) =1，则 ab 的值是5 . lim(i + 3)2-x(l + 2)33° xx(J/ +1 + )?6 . hm -t.Vn6 +1 fl sin v7 . lim ；.(m,。为自然数)sin xa s Ve J4 + X -28 .求 Inn -/w0 J9 + /-3-rx9 ,计算 lim(r>0)21 + rA10 .己知数列“的前"项和为S，且、S等差中项为1

21、.(2)猜想明的表达式，并用数学归纳法证明：(3)设J =S+S) + + S，求lim”的值.1311 .设.")是工的三次多项式，已知上=1，试求出】公的值，(。为 ”->2“ x-2a ，T“ x - 4ax-3a非零常数)，12 .已知数列%,仇都是由正数组成的等比数列,公式分别为p、/其中夕，且WlqKl,设。尸如+如$为数列c的前，2项和，求lim三的值.七_参考答案：.情景再现答案1 解由题意得：21og； =bg；+log；+24,求得 d=1,则 log?- 1) = 1 + ( - 1)1 = n又由1='所以一 + +a2 - “I a3 一出所以

22、 lim（一!一 + !一 + + !一） = Um（l-） = 1.故选 C。% 一 % - %一 22解:v x3 + ax2 +b r x2 （x-2） + （2 + a）x2 + b lun= hm7x-232x-2，由题意44 + （2 +。）2 + 2（2 +。）= 84（2 +。）+ = 0a = - =><b = -4丫_ 1y 13 解： lim一 = lim-=1d 2厂一 x 1 2x + l(2) lim 且=一1, lim H = 1 = limRi 不存在. KT。- X 1-0+ XX-。X2x>0(3) f(x) = <0,x = 0 l

23、+xx<0=> lim f(x) = lim f(x) = 1 => lim/(x) = 1.x(rx->o"-D4 解:当a>2或。一n78=l：m_S<_L<=_O/r , /产+1111117Zf2+a“2(二)+. a31100,1I135,解：（1）由“向一如是公比为上的等比数列，且产二必= 10251 z 1 、/ 1- 31%.1 如=(。2 41)("产(10102100又由数列怆3”+i 1 “)是公差为- 1的等差数列,13113且首项lg(s 5"0=怆(诉一5 X三)=一2, Z1UUZJ*.其通项

24、 Ig3“+L ；”")= 2+(- 1)( 1 )= - (+1),"用一 !«尸10 ”叫即向=1%+10（“包 22O联立解得（；）向一（产叮 乙乙1Us，尸Z，"=|w0产-z焉产 A-l 乙 A-l 乙 I6 解:%=(-1)4也=2%= %S尸bi +岳+优+d=2°+2心224+2(由 4X0,2# 1, /. S尸一l-（2rf）n=&=三匚=上竺_ b 2（一|）.2（i）d _2八d（2）当 4>0 时，2d>1本章习题答案1 (C) 2 (A)3，解 lim (yjx +« -&)=

25、lim " +'4,解原式=lima2(2n2 +n-)-n2b2=limn>x(2a2 -h2)n2 +a2n-cib=8及5.解：lim(- + 3)2-x(- + 2)31° x x6.lim/；>X(7/?2+1+h)27.解:lim(3厂+1+尸 V/?6+lsin xXsinx jn-m解:= limsinwx fsin。= limr sin x”linilim xIT。XT。r?-m吧与x当m>。时，即心m吧产5=。当 n-m=0 时，即 n=m lim ktO当 c-m<0 时，即。vm lim （一）"'-

26、 不存在.1 v sin x11, sin xn：.当 时，lim=0；当 n=m时，lun=1iT0sin'"xsinwx n当cvm时，lim 不存在.J。sin,r,x8 解：lim «'4 + "-2=血(、：4 + 工-2)('4 + 1 + 2)J。j9 + x - 3 2。(7矶工-3)(j4 + x + 2)9.解：1°0<r<1, V lim r*=0, /. limA->XX-»X1"l + rr -lim(l + rl)-T+0r->OCl-rx 1-12°r=1,产=1,，lim= lim= 0f 1 + rK 38 + 3° r>l, 0<-<1, A lim = 0