培优点二函数零点

1、培优点二函数零点1.零点的判断与证明例1:已知定义在 1, 上的函数f x x lnx 2,求证：f x存在唯一的零点，且零点属于 3,4【答案】见解析【解析】f x1- x , Q x1, f x0,x xQ f 3 1ln30, f 42 1n 20,f3 f 40 ,f x在1,+单调递增，x03,4 ,使得 f x00因为f x单调，所以f x的零点唯一.2.零点的个数问题例2:已知函数f x满足fx f3x,当x 1,3 , f xlnx ,若在区间1,9内,函数g xf x ax有三个不同零点，则实数 a的取值范围是（In 3 11 一,-3 e【答案】BB.In 3 1,9 3e

2、In 3 1In 3 In 3,D,9 2e93【解析】Q f x f 3xxf x f ,当 x 3,9 时，f x 3In 所以f xy f x与y ax有三In x 1 x 3x，而g x f xax有三个不同零点In 3x93个不同交点，如图所示，可得直线y ax应在图中两条虚线之间， 所以可解得：Jn3 a 9 3e3 .零点的性质2 .x 2 x 0.1 例3:已知定义在R上的函数f x满足：fx_，且fx2fx,2 x x 1,0x区q,则方程f x g x x 2在区间A.5B.65,1上的所有实根之和为（）C.7D.8【解析】先做图观察实根的特点，在1,1中，通过作图可发现f

3、 x在1,1关于0,2中心对称,由f x 2 f x可得f x是周期为2的周期函数，则在下一个周期3, 1中，f x关于 2,2中心对称，以此类推。从而做出f x的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看g x图像,可视为将y2的图像向左平移2个单位后再向上平移 2个单位, x 2x所以对称中心移至2,2 ,刚好与f x对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点3, X与x3关于 2,2中心对称，所以有 x1 x34。所以Xx2x37 .故选C.则实数b的取值范围是（)4 .复合函数的零点例4:已知函数f x4x 3 ,若方程 f x bf xc 0恰有七个不相同的实根,A.2,0B.2,

4、1C.0,1D.0,2【答案】B2【解析】考虑通过图像变换作出 f x的图像（如图），因为f X bf x c 0最多只能 解出2个f x ,若要出七个根， 则f1 x 1 , f2 x 0,1 ,所以 b f1 x f2 x 1,2 , 解得：b 2, 1 .a的一个零点在区间1,2内,则实数a的取值范围是（)对点增分集训一、选择题1 .设f x ln x x 2 ,则函数f x的零点所在的区间为（）A. 0,1B, 1,2C.2,3D. 3,4【答案】B【解析】- f 1 ln1 1 21 0 , f 2 ln2 0, . f 1 f 20 ,:函数f x In x x 2的图象是连续的，

5、且为增函数，f x的零点所在的区间是 1,2 .故选B.2.已知a是函数f x 2x log1 x的零点，若0 xO a ,则f x0的值满足（）A. f x00C. f %0【解析】f x在（0,2B. f x00D.f x0的符号不确定）上是增函数，若0 x0 a ,则f x0 f a 0.3.函数f(x)2x 2 xA.1,3B.1,2C.0,3D.0,2【解析】故选C.4.若a于区间(因为fx 在(0,)上是增函数,则由题意得f 1 f 2(0 a)(3 a) 0,解得则函数fx (xa)(xb) (xb)(x c) (x c)(x a)的两个零点分别位A. (a,b)和(b,c)内B

6、.,a)和(a,b)内C. (b,c)和(c,)内D.,a)和(c,)内【解析】a b c, . f a (ab)(ac) 0b (b c)(b a) 0 ,f c (c a)(c b) 0 ,由函数零点存在性定理可知，在区间(a,b), (b,c)内分别存在零点，又函数是二次函最多有两个零点.因此函数f x的两个零点分别位于区间(a,b)(b,c)内,故选A.5.设函数f x是定义在R上的奇函数，当x 0时,3,则的零点个数为(A. 1B.C. 3D. 4零点，当的图象,因为函数f x是定义域为R的奇函数,x 0 时，令 f xex x 3 0,则 ex如图所示，两函数图象有一个交点，所以函

7、数所以0,0是函数fx 的一个分别画出函数yiex和y2x 3x有一个零点,f根据对称性知，当 x 0时函数f x也有一个零点.综上所述，f x的零点个数为3.故选C.6.函数f xx2x 21 In xx 0的零点个数为（x 0A. 3B. 2【答案】BC. 7D. 0【解析】方法一：由f xx 0f x 00得 2或 2,解得xx x 2 0 x x 2 0因此函数f x共有2个零点.方法二：函数f x的图象如图所示，由图象知函数f x共有2个零点.17.已知函数f x 1xA. 1,2C. (,1)U(2,)【答案】Dx 0,则使方程x f x m有解的实数m的取值范围是（ x 0B.(

8、,2D. (,1U2,)【解析】当x 0时，x f xm,即x 1 m,解得m 1;当x 0时，x f xm,解得m 2 ,即实数m的取值范围是(，1U2,）.故选D.8.若函数f x3ax 1 2a在区间（1,1）内存在一个零点，则 a的取值范围是（1 1A. 1B.1 U -5, ,5,-1一C. 1,-D. （ , 1）5【答案】B2a【解析】当a 0时，f x 1与x轴无交点，不合题意，所以a 0;函数f x 3ax 1在区间（1,1）内是单调函数，所以 f（ 1） f 10,即（5a 1）（a 1） 0,解得a 1或1 一，a -.故选B.59.已知函数f x是()A.0,1C. (

9、,1U(2,)【答案】D【解析】函数g xx x ,则使函数g x f x x m有零点的实数m的取值范围 e x 0B. (,1)D. (,0U(1,)f x x m的零点就是方程 f x x m的根，画出x x 0 .h x f x x的大致图象(图略).观祭匕与直线y m的交点，得知当ex x x 0m 0或m 1时，有交点，即函数 g x f x x m有零点.故选 D.x)只有一个零10.已知f x是奇函数且是R上的单调函数，若函数y f (2x2 1) f (1-43 一 8 D7 - 8点，则实数【解析】令 y f(2x2 1) f( x) 0,则 f(2x2 1) f( x)

10、f(x )，因为 f x 是 R上的单调函数，所以 2x2 1 x ,只有一个实根，即2x2 x 10只有一个实根，则1 8(1)0,解得 7 .811.已知当x 0,1时，函数y (mx 1)2的图象与y Jx m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A. (0,1 U2 .3,+ )B.0,1 U3,)C. (0, 2U2,3,+ )D. (0, 2 U3,+ )【答案】B2【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x) (mx 1)2 m2 x 与g(x) xx m m的大致图象.分两种情形:(1)当0 m 1时，1 1,如图，当x 0,1时，f x与g x的图象有一个交点

11、，符 合题意. 1（2）当m 1时，0 1,如图，要使mf x与g x的图象在0,1上只有一个交点,只需g 1 f 1 ,即1 m (m 1)2 ,解得m 3或m 0 (舍去)综上所述，m 0,1 U3,）.故选B.12.已知函数y2,2的图像如下，给出下列四个命题:(1)方程f g x(2)方程g f x(3)方程f f x0有且只有6个根0有且只有3个根0有且只有5个根(4)方程g g x0有且只有4个根则正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的总数.(1)中可得 g1 x 2, 1 , g2 x

12、0 , g3 x 1,2 ,进而 g1 x 有 2 个对应的 x , g2 x 有2个，g3 x有2个，总计6个，（1）正确;(2)中可得fix 2, 1 ,f2x 0,1 ,进而fix有1个对应的x,f2x有3个，总计4个，(2)错误；(3)中可得fix 2, 1 ,f2x 0 ,f3x 1,2 ,进而fix 有 1个对应的 x ,f2x有3个，f3 x有1个，总计5个，(3)正确；(4)中可得：g1x 2, 1 ,g2x 0,1 ,进而g1x有2个对应的x ,g2x有2个,共计4个，(4)正确则综上所述，正确的命题共有3个.二、填空题13.函数f x 2 x 110go,5 x|的零点个数

13、为 .【答案】2xx11【解析】由f x 0,得|logo5x ,作出函数y1 110go 5*|和丫2 的图象，22由上图知两函数图象有 2个交点，故函数f x有2个零点.x 23 .114 设函数 x3与y2 的图象的父点为(My。)，若小(n,n 1), n，则x。所2在的区间是.【答案】1,2x 231【解析】 令f x x - ，则f /0,易知f x为增函数，且f 10, f 20,，x0所在的区间是1,2 .215.函数f x x 2 x 0的零点个数是.2x 6 In x x 0【解析】当x 0时，令X2 2 0 ,解得x J2 (正根舍去)，所以在(，0上有一个零点;1 .当

14、x 0时，f(x) 2 0恒成立，所以f X在(0,)上是增函数.又因为 xf 22 1n2 0, f 3 ln3 0,所以f x在(0,)上有一个零点，综上，函数 f x的零点个数为2.16 .已知函数f x |x2 3x|, x R,若方程f x a|x 1| 0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是.【答案】0,1 U(9,)【解析】设 y f x |x2 3x |, y2 a| x 1| ,在同一直角坐标系中作出y1 |x2 3x|, y2 a|x 1|的图象如图所示.由图可知f x a|x 1| 0有4个互异的实数根等价于y1 |x2 3x|与 y2 a|x 1| 的图象有4个不

15、同的交点且4个交点的横坐标都小于1,所以yy3x ,有两组不同解, x消去y得x2 (3 a)x a 0有两个不等实根，所以 (3 a)2 4a 0,即 a2 10a 9 0,解得a 1或a 9 .又由图象得a 0 , 0 a 1或a 9 .三、解答题17 .关于x的二次方程x2 (m 1)x 1 0在区间0,2上有解，求实数 m的取值范围.【答案】(，1【解析】显然x 0不是方程x2 (m 1)x 1 0的解，10 x 2时，万程可变形为 1 m x -，x-1 ,、一 一又y x1在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，1 , y x -在 0,2 上的取值范围是2,) , . 1 m 2, . m 1,x故m的取值范围是(，1.一、，118.设函数 f (x