高二数学点到直线的距离、两条直线的位置关系(教师版)

1、学科教师辅导讲义课时数:辅导科目：数学点到直线的距离及两条直线的位置关系教学目的1、会求点到直线的位置关系;2、熟练掌握判断两直线平行、垂直放入的方法。教学内容【知识梳理】1、点到直线的距离公式(a2 b2 0)-/、ax0 by0 c点P(x0, y0)到直线1 : ax by c 0的距离为：d -a2 b2ax。 by。 c在直线同侧的所有点,的符号是相同的，在直线异侧的所有点,的符号是相反的,平行2、平面两直线的位置关系相交斜交垂直般地，设两条直线的方程分别为11： a1x b1yC10 ( a1,D不全为零)I2 : a2x b2yC2 0也不全为零） （1）两条直线的位置关系与其方

2、程的系数之间的关系:c.a.b.ll与12相交ll与12平行ll与12重合注：Da1a2b1b2方程组（I ）有唯一解方程组（I ）无解 D方程组（I）有无穷多解0 即 aha2b1;0且Dx,Dy中至少有一个不为零;D DxDy0。0时，li与12平行或重合，即 D换言之，a2b1 a1b2a1a24b20是li与12平行的必要非充分条件。等11 / 12；若两条直线不重合，则a1b2a2bl11 12（2）当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。（3）两直线的夹角公式为：cosa1a22,2' 2,21 b 1 a 2 b 2若直线li的斜率为ki,12的斜率为k2,则直

3、线li与直线12所成的角（简称夹角） 满足：tan - k1 （kh1）1 kik2说明：（1）当li和12的斜率都不存在时，所成的角为00； （2）当11与12的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角。3、直线与直线的距离直线 11/ 12,且其方程分别为 11： Ax+By+C 1=0,12： Ax+By+C 2=0,贝U 11与12的距离为：d=C1 C2A2B2(A2B2 0)【典型例题分析】x v例1.点P（mLn, -m）到直线一 -=1的距离等号 m nA. , m2B.22.m nC.D.变式练习：1、点（0, 5）5A.一到直线y=2x的距离为（B.

4、 .522、求与直线1 : 5x-12 y+6=0平行且到B )3 C.-21的距离为5 D. 22的直线的方程.解：设所求直线的方程为5x-12y+c=0.在直线5X-12y+6=0 上取一点R （0,工），点P。到直线25X-12y+c=0 的距离为12 2 c；52( 12)2c-6 ,由题意得13c 6,=2.所以 c=32 或 C=-20.13所以所求直线的方程为 5x-12y+32=0和5x-12y-20=0.说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离 之间的距离，转化为点到直线的距离.即把两平行线5心3、到直线2x+y+1=0的距离为 的

5、点的集合是5A.直线 2x+y 2=0B.C.直线 2x+y=0 或直线 2x+y2=04、若直线 11 ： ax+2y+6=0 与直线 12： x+D.直线直线(a 1) y+2x+y=02x+y=0 或直线 2x+y+2=0（a2 1） =0平行且不重合，则 a的值是B.2x+y5=0D.x 2y+7=0解析：利用两直线平行的条件.答案：15、过点（1,3）且垂直于直线 x 2y+3=0的直线方程为（A.2x+y 1=0C.x+2y5=0 1 ，一 ，“一，、一解析：由已知直线的斜率为1,知所求直线的斜率为一2.由点斜式得所求直线方程为26、求点P (3, 2)到下列直线的距离：小 31,

6、、 j(1) y= _x ； (2) y = 6； ( 3) y轴.443 1解：(1)把万程y= -x 写成3x4y+1 = 04 42x+y1=0.答案：A由点到直线的距离公式得3 3 4 ( 2) 1 18,32( 4)25(2)因为直线y=6平行于x轴，所以d= | 6- ( 2) | = 8.(3) d= | 3 | = 3.说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线， 们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成d= | 刈a|或d= | y0-b |x =a或y=b,求点至U它例2、已知三点A(0,5)B(5,0)C(-4,-3),过点A的直

7、线l与线段BC相交，试求直线l的斜率k和倾斜角的取值范围。解析：本题最好数形结合来做，需要注意的是倾斜角等于90度的情况时对应的斜率不存在，范围要选好。3一答案：k (, 1U2,) ,k (, 1时，(一，一 ;k 2,)时， arctan 2,一)，当 k 不存在时,2 42变式练习1:直线l过点M(1,2),且与P(-2,-3),Q(4,0)为端点的线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是，一5答案：arctan , 32, arctan 3变式练习2已知定点A 2,0 ,P 4,2 ,Q4, 1 ,点R为线段PQ上的动点，求直线 AR的倾斜角和斜率的取值范围，八，一.11【错解】设直线

8、AQ的倾角为 ，由tan -, arctan-66设直线AP的倾角为 ，由tan 1, 一41一故直线AR的倾角的取值氾围为arctan _,一,斜率的取值氾围是6 41 ,16【错解分析】仅过0,-内考虑直线的倾角。2例3、已知两直线(3)重合？答案：(1) m11: x+m2y+6=0, l2： (m2) x+3my+2m = 0,当 m 为何值时，1i 与 l2(1)相交；(2)平行;0,m 3,m1 (2) m=0或3(3) m=-1变式练习：1 .若直线li ： ax+2y+6=0与直线12： x+ (a1) y+ (a21) =0平行且不重合，则 a的值是解析：利用两直线平行的条件

9、.答案：12 .过点(1, 3)且垂直于直线 x2y+3=0的直线方程为C.x+2y 5=0解析：由已知直线的斜率为A.2x+y 1=0B.2x+y5=0D.x 2y+7=02x+y1=0.答案：A1,知所求直线的斜率为-2.由点斜式得所求直线方程为 223 .下列直线中与直线 y+1=1x平仃的直线是(A.2x- 3y+m=0(- 3)B.2x- 3y+m=0(m 1)C.2x+3y+m=0( m - 3)D.2x+3y+m=0( m 1)4 .已知点P是直线1上的一点，将直线1绕点P逆时针方向旋转角a (00<a<90°),所得直线方程是 xy2=0,若将它继续旋转9

10、0 - a角，所得直线方程是 2x+y-1=0,则直线1的方程是 x-2y-3=0.5 . AABC中，a、b、c是内角 A、B、C的对边，且IgsinA, IgsinB, IgsinC成等差数列，则下列两条直线11： (sin2A) x+ (sinA) ya=0, 12： ( sin2B) x+ (sinC) yc=0 的位置关系是 _平行或重合 .例4、等腰三角形一腰所在直线 11的方程是x-2y-2=0,底边所在直线12的方程是x+y1=0,点(2, 0)在另 腰上，求该腰所在直线13的方程.答案：y=2x+4变式练习：1 .求过点P (5, 2),且与直线xy+5=0相交成45

11、6;角的直线1的方程.答案：x=5或y=-22 .点 R x,y到直线5x 12y+13=0和直线3x 4y+5=0的距离相等，则点P的坐标应满足的是(A )A.32x 56y+65=0 或 7x+4y=0B.C.7x+4y=0D.x 4y+4=0 或 4x 8y+9=0x 4y+4=0例5、求过点P (1, 1)且被两平行直线 3x4y13 = 0与3x 4y+7 = 0截得线段的长为4/2的直线方程。解：两平行线间的距离为:I 7-(-13) | =4 32+4 2所求直线与平行线的夹角为45。，设其斜率为k,则:3 k- 4 , -1= 1 1+4k1解得k =-或k = 7所求直线方程

12、为:y 1 = 7(x 1) 或 y1 =17 (x-1)即：7x y6 = 0或 x+ 7y 8 = 0变式练习：已知等腰直角三角形AB8, C= 90° ,AB和AC所在的直线方程.直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5 , 4),求边解：直线BC的斜率kBC= 2 ,3 直线ACW直线BC垂直，直线AC的方程为3y- 4= (x5)2即 3x-2y-7=0ABC= 45 ,kAB kBC1 kAB kBC 1AB边所在的直线方程为:y-4= 15 即 x5y+15=0 或 5x+y 29=0 说明：此题利用等腰直角三角形的性质,直线AB的方程.例6、设直线方程

13、为(2m+1) x+证明：方程化为 x2y+5+mx-2y+ 5 = 0 /曰一仁F 3 32x+3y18 = 0 寸 'kAB1,(x5)得出/AB11 , kAB= 5 或 kAB=.或 y 4= 5 (x5)ABC= 45(3m 2) y-18m+ 5 = 0, (2x+3y18) = 04),再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了求证：不论 m为何值时，所给的直线经过一定点。例7、已知点A(-1,1), B(1,1),点P是直线y = x-2大，求点P的坐标及/ APB勺最大值., 一一 t 3t 3解：设 P (t, t2),则 kAP=，kBP t 1t 1当 t

14、= 3 时，/ APB= 0;上的一点，满足/ APB最yA(-1,1)O./23 xP当t <3时，kAPkep1tan APB= 一竺BP_ < 11 kAP kBP(3 t) 33 t当且仅当3 t = /,即t = 1时等号成立，3 t.P是(1,-1)时，/ APEW最大值1当t>3时，同法可求/ APB勺取大值是arctan 一7结论：当P点的坐标是(一1,1)时，/ APBW最大值-4说明：P点在直线y=x-2上，将点P坐标可设成(t, t-2),而AB/ x轴，所以需分 P在直线AB上、在直线 AP 的上方、下方三种情况讨论 .【课后练习】一、选择题1、过(x

15、1, y1)和(x2, y2)两点的直线方程是()A、B、C、D、(2、原点在直线l上的射影为点P(2,1),则直线l的方程是()A、x + 2y=0B、2x+y+3=0C、x- 2y+4=0D、2x-y+5=03、直线l过点A(2,2)，且与直线xy4=0和x轴围成等腰三角形，则这样的直线的条数共有A、1条B、2条C、3条D、4条4、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是()A、 (-a,-b)B、 (a,-b)C、 (b,a)D、(-b,-a)5、已知l平行于直线3x+4y 5=0,且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是()A、3x+4y - 12 中2 =0

16、B、3x+4y+12 ' 2 =0C、 3x+4y - 24=0D、 3x+4y + 24=08、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成 )角形的面积为2,则直线l的条数为A、1已知菱形的 )B、2个顶点为(a,b )、A、(ab,a+b) B、(a+b, a b)卜列命题中不正确的是C、3(b,a )、C、(2a,0)D、D、40),那么这个菱形的第四个顶点为(0,2a)A、直线的斜率存在时，它们垂直的充要条件是其斜率之积为-B、如果方程 Ax + By + C=0表示的直线是y轴，那么系数 A、B、C满足Aw 0,B=C=0C、ax+ by + c=0和2ax+2by+c+

17、1=0表示两条平行直线的充要条件是a2+b2wo且cwiD、(x y + 5) + k(4x 5y 1)=0表示经过直线 x y + 5=0与4x 5y 1=0的交点的所有直线。9、若平行四边形三个顶点的坐标为(1, 0), (5, 8)(7,4),则第四个顶点坐标为二、填空题,则直线AB倾斜角的取值范围是11、 ABC 的重心为 G(13, 2)，边 AB的中点为610、已知A( J3sin ,cos2 ), B(0,1)是相异的两点D(勺，一1)，边BC的中点为E(U , 4),那么三个顶点的坐标是 4412、边长等于4 J2的正方形的两邻边在 y= x的图象上，那么另外两边所在的直线的方

18、程是 13、由一条直线2x-y +2=0与两轴围成一直角三角形，则该三角内切圆半径为 ,外接圆半径为 。三、解答题14、如图，已知正方形 ABCD的对角线 AC在直线x+2y 1=0上，且顶点A(5,3), B(m,0)(m> -5),求顶点B,C,D的 坐标.15、如图，已知 ABC的一个顶点A(4, - 1),其内角B,C的平分线方程分别是y=x - 1和x=1,求BC边所在直线的方程0OB|=10 *2(216、某市现有自市中心 O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点，使环城公路在 A、B间为线段，要求 AB环城路段与中心。的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小，请你确定 A、B两点的最佳位置(不要求作近似计算)参考答案选择题1、D; 2、D; 3、填空题9、(11, 4)或(-1,D; 4、D; 5、C; 6、C; 7、A; 8、D10、11、5(0,公66712、13、12)或(3, -12)(1,2),( - -4),(9,-4)2y=x + 8,y= x+ 8解答题14、解：二,直线AB到直线AC的角为kABm310,kAC2/tg 45450, 12故由3 m 513