4.3角讲义学生版

1、43角学习要求:1、理解角的概念，掌握角的表示方法，能利用画图工具作一个角，会度量一个角的大小（在角度制下），能 进行简单的计算.理解周角、平角的概念.2、会比较两个角的大小，能进行角的运算（和、差、倍、分）.理解角的平分线以及直角、锐角、钝角的概 念. 3、理解一个角的余角和补角的概念，理解方向角的概念，并能解决有关角的计算问题.知识点一：角例题1.下列说法中，正确的是（）A.两条射线组成的图形叫做角B.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C.角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D.角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形例题2.下列说法正确的是（）A.平角是一条直线

2、 B.角的边越长，角越大C.大于直角的角叫做钝角D.两个锐角的和不一定是钝角例题3. （2016春曹县校级月考）下列关于平角和周角的说法正确的是（）A.平角是一条线段B.周角是一条射线C.两个锐角的和不一定小于平角D.反向延长射线OA,就形成一个平角变式L下列关于角的说法正确的是（A.两条射线组成的图形叫做角B.角的大小与这个角的两边的长短无关C.延长一个角的两边D.角的两边是射线，所以角不可度量变式2.下列关于角的说法正确的个数是（）二角是由两条射线组成的图形；二角的边越长，角越大；二在角一边延长线上取一点D：二角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.A. 1个B. 2个C. 3个

3、D. 4个变式3.下列说法正确的是（）A.角的边越长，角度就越大B.周角就是一条射线C. 一条直线可以看成平角D.平角的两边可以构成一条直线知识点二：角的四种表示法例题L下列四个图形中，能同时用二1,匚ABC,三种方法表示同一个角的图形是（10变式.（2017春单县月考）下列角中，能用二1,二ACB, 2C三种方法表示同一个角的是（A. 口1与二AOB表示同一个角B.邛表示的是二BOCC.图中共有三个角：匚AOB,匚AOC, ZBOCD.二AOC也可用二O来表示变式L下列四个图中，能用口1、二AOB、口0三种方法表示同一个角的是（）变式2.以下给出的四个语句中，结论正确的有（）二如果线段AB=

4、BC,则B是线段AC的中点；二线段和射线都可看作直线上的一部分；二大于直角的角是钝角：二如图，二ABD也可用二B表示.A.1个B.2个C. 3个D. 4个变式3.如图所示，下列说法错误的是（）D.二CDB 就是二 1A.匚DAO就是二DACB.二COB就是二O C.匚2就是二OBC变式*如图，下列表示角的方法，错误的是（）A. 口1与二AOB表示同一个角B.匚AOC也可用二0来表示C.图中共有三个角：匚AOB、匚AOC、二BOCD. 。表示的是ZiBOC知识点三：角的度量例题L 1。等于（）A. 10' B. 12' C. 60' D. 100'变式1.将21.

5、54。用度、分、秒表示为（）A. 21。54' B. 21°5024r/ C. 21。32'40" D. 21。32'24"变式2.把8.32。用度、分、秒表示正确的是（A. 8。3'2" B. 8。30'20" C. 8。19'12" D. 8。18'12"例题2.下面等式成立的是（）A. 83.5。=83。50' B.3701236/=37.48°C. 24。24'24”=24.44。D. 41.25°=41°15,变式

6、L下列各式中,正确的角度互化是（A. 63.5。=63。50' B.23。12'36”=25.48。C. 18°18'18'=3.33°D. 22.25°=22°15,变式2.下列各式成立的是（A. 62.5。=62。50' B. 31°1236"=31.21°C. 106°18'18'=10633cD. 62°24=62.24°例题3.计算:(1) 18。135(2) 27026%53048(3) 90。- 79。18'6”.变式

7、1.计算(1) 25。3448” - 15。26'37"(2) 105。18'48”+35.285。,变式 2.计算：18。2032+30。15,22”.变式4.度、分、秒.(1) 180° - 46°42r=：(2) 28。36'+72。24'=(3) 50。2453=：(4) 49。28'52一4=二.知识点四：角的比较例题.如图，射线OB、0C将二AOD分成三部分，下列判断错误的是()A.如果二408=二(20口，那么二A0C=2B0DB.如果二AOB二COD,那么二AOC二BODC.如果二AOB二COD,那么二AOC

8、二BODD.如果二408=二80(3,那么二40©=二80。变式L如图，如果二CAE匚BAD,那么下列说法中一定正确的是()A. DBAOCCAD B. ZDAE>OCADC. CAE<ZBAC+nDAE D.匚BACVDDAE变式3.如图，ZAOB=ZCOD,则二AOC与匚DOB的大小关系是（）DA.二AOC>二DOB B. ZAOC<ZDOBC.匚人(>2=二口08 D.二AOC与二DOB无法比较大小知识点五：角的和差关系例题：(1)匚AOC是哪两个角的和?(2)二AOB是哪两个角的差？(3)如果二408=二口0。那么二AOC与二DOB得关系如何?A

9、变式L如图，二AOC和二BOD都是直角，如果二DOC=36。，则匚AOB是 度.变式2.如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆在桌面上，若二AOD=140。，则二BOC= 40度.变式 3.如图，ZAOB=90°,二AOC=2二BOC,则二BOC= 30知识点六：角平分线例题1.如图，点A、0、B在一条直线上，且二AOC=50。，0D平分匚A0C,则nB0D= 155度.例题2.如图，已知二C0B二2二AOC, 0D平分二A0B,且二COD=20。，则匚A0B的度数为120。变式L如图，A、O、B三点在一条直线上，匚AOC=2二COD,OE平分二BOD, ZCOE=77°,则

10、二COD=变式 2.如图，二AOC=30O35'25，EBOC=80°15/28r 0C 平分匚AOD,那么 NBOD 等于变式 3.如图，二AOD=90。，CAOB：二BOC=1： 3, OD 平分二BOC,则二AOC=_度.变式4.如图，点0是直线AD上一点，射线OC、0E别是二AOB、匚BOD的平分线，若匚AOC=8。，则二 COD=,匚 BOE=.知识点七：余角和补角例题1.已知二A=70。，则二A的余角等于（）A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°变式1.如图所示的是一把剪刀，若二1与匚2互为余角，则二3等于

11、（）A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°变式2.下列各图中，二1与匚2互为余角的是（）变式3.将一副三角板按如图所示位置摆放, .B. N其中二a与匚。一定互余的是（） c. 9例题2.下列图形中，二1与二2互为补角的是（变式L已知:A=45。，则二A的补角等于（）A. 45。 B. 90° C. 135° D. 180°变式2. 一个角的补角是这个角的3倍，则这个角是（）度.A. 45 B. 60 C. 50 D. 30变式3.如图，已知二AOB=180。，则下列语句中，描述错误的是（）2A.点O在

12、直线AB上B.直线AB与直线OP相交于点OC.点P在直线AB上D.二AOP与匚BOP互为补角知识点八：方位角例题.一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中圆心O 处，事故船位于距O点40海里的A处，雷达操作员要用方向角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长， 以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为（）A.事故船在搜救船的北偏东60。方向B.事故船在搜救船的北偏东30。方向C.事故船在搜救船的北偏西60。方向D.事故船在搜救船的南偏东30。方向变式1.如图，在一次定向越野活动中，“超越”小组准备从目前所在的A处前往相距2km的B处，则相对于A处来说，B处

13、的位置是（）A.南偏西 50。，2kni B.南偏东 50。，2kmC.北偏西 40。，2kin D.北偏东 40。，2km变式2.如图，下列说法中错误的是（）A. OA方向是北偏东30。B. OB方向是北偏西15。C. OC方向是南偏西25。D. OD方向是东南方向变式3. M地是海上观测站，从M地发现两艘船A、B的方位如图所示，下列说法中，正确的是（）A.船A在M的南偏东30。方向B.船A在M的南偏西30。方向C.船B在M的北偏东40。方向D.船B在M的北偏东50。方向拓展点一：角的识别与表示例题.如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A. 口1与二AOB表示同一个角B.邛表示的是二BOC

14、C.图中共有三个角：匚AOB,匚AOC, ZBOCD.二AOC也可用二O来表示变式L如图，下列对图中各个角的表示方法不正确的是（）A. QA B. QI C.匚C D.匚ABC变式2.如图，下而表述不正确的是（）A. 21可表示为二DAC B.匚2可表示为匚BACC.二BAD表示的角是二1+二2 D.二BAD可表示为二A拓展点二：度、分、秒之间的互化和运算 例题L计算：(1)用度、分、秒表示4&26。；(2)用度表示37。2436"；(3) 42。16'+18。23&2：(4) 90。- 19。12y.例题2.计算：(1) 49。38'+66。22，：

15、 (2) 180° - 79°19r： (2) 22。16&5： (4) 182°364.变式L计算：(1) 23。36'+66。24、(2) 180° - 132°4r；(3) (43。12'+2- 10。5') x3.变式2.用度数表示下列各角度：(1) 37。54'：(2) 45012/：(3) 31048(4) 4°51变式3.计算:1(1) 25°36x4；(2) 42。45'+3.变式*计算：(1) 46 °39'+57。41'=：(2)

16、90 ° - 77 °29'32"=：(3) 31 017&5=：(4) 176。52'+3=.(精确到分)拓展点三：三角尺构成的角例题.借助一副三角尺画出15。，105。，120。，135。的角.90°+30°=120°,900+45°=135°.图1图2图3(2)是利用了三角板上60。角和45。角拼成的一个大角，是60。+45。=105。；(3)是利用三角板上30。和45。的角拼成的一个大角，是45。+30。=75。.据此解答即可.拓展点四：角的平分线与角的和差计算问题例题L如图，直线A

17、B经过点O, 0A平分二COD, OB平分二MON,若匚AON=150。，OBOC=120°.(1)求二COM的度数：(2)判断0D与ON的位置关系，并说明理由.例题 2.如图，已知直线 AB 上一点 0,二AOD=42。，二BOC=34。，二DOE=90。，OF 平分二COD,求二FOD 与二EOB的度数.E变式 1.如图，ZAOB=ZCOD=90°, 0C 平分二AOB,二B0D=3二DOE.试求二COE 的度数.IA变式2.如图，已知二AOC=60。，二BOC是锐角，OD平分二BOC, OE平分二AOB,求二DOE的度数.变式3.如图所示，直线AB上有一点O,任意画射

18、线0C,已知OD, 0E分别是二AOC,二BOC的平分线, 求二DOE的度数.1变式4.如图，已知二AOB=x。，匚AOC是y。，OD平分:BOC, OE平分二AOC,求口DOE.拓展点五：利用余角、补角的概念与性质解题例题L 一个角的余角的3倍比这个角的补角少24。，那么这个角是多少度?变式L 一个角的余角的3倍比这个角的补角少24。，那么这个角是多少度?变式2. 一个角的余角比这个角的少30。，请你计算出这个角的大小. 乙变式3.如果一个角的余角是它的补角的告，求这个角的度数. 5变式* 如图，二BAC=90。，BD二AE于D, CE二AE于E, AE与BC交于F点.（1）找出图中两对互余

19、角：（2）图中与匚BAD相等的角是,与匚EAC相等的角是.请对其中一对相等的角加以说明.变式5.如图，0是直线AB上一点，0C为任一条射线，0D平分二BOC, 0E平分二AOC.（1）指出图中二AOD与匚BOE的补角：（2）试说明二COD与二COE具有怎样的数量关系.变式6.如图，直线AB, CD相交于点0. OF平分二AOE, OF2CD,垂足为0.（1）写出图中所有与二AOD互补的角;(2)若二AOE=120。，求)BOD 的度数.变式7. 一个角的余角比这个角的费少30。，请你计算出这个角的大小. 乙例题 1.如图，ZBAC=90°, BD二AE 于 D, CE二AE 于 E,

20、 AE 与 BC 交于 F 点.(1)找出图中两对互余角：(2)图中与二BAD相等的角是,与匚EAC相等的角是.请对其中一对相等的角加以说 明.IA变式L如图，O是直线AB上一点，0C为任一条射线，0D平分二BOC, 0E平分二AOC.（1）指出图中匚AOD与匚BOE的补角；（2）试说明二COD与二COE具有怎样的数量关系.变式2.如图，直线AB, CD相交于点0, OF平分二AOE, OFJCD,垂足为0.（1）写出图中所有与二A0D互补的角；（2）若二AOE=120。，求二BOD 的度数.拓展点六：角在实际生活中的应用例题L如图，下午2点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（）2A.

21、90° B, 120° C. 105° D. 135°例题2.钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（）A. 65° B. 75° C. 85° D. 90°变式L如图，钟表上显示的时间是12： 20,此时，时针与分针的夹角是（）A. 100° B. 110° C. 115° D. 120°变式2.在上午9时到10时之间，时钟的分针与时针会重合一次，这次的重合时间是（）A. 9： 48-9： 49 B. 9： 49-9： 50 C. 9： 50-9： 51 D.

22、 9： 51 - 9： 52变式3.如图，9点整时，时针与分针夹角为90。，则下一次时针与分针夹角为90。时，经过了（）分钟.A瑞B.詈C.27。口 36011 . 11拓展点七：探究问题 例题.如图，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使二BOC=UO。.将一直角三角板的直角顶点放 在点0处（：OMN=30。），一边0M在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.（1）将图1中的三角板绕点0逆时针旋转至图2,使一边0M在二BOC的内部，且恰好平分二BOC.求二BON 的度数.（2）将图1中的三角板绕点0以每秒5。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角二A

23、OC,则t的值为11或47 （直接写出结果）.（3）将图1中的三角板绕点0顺时针旋转至图3,使ON在二AOC的内部，请探究1A0M与二NOC的数 量关系，并说明理由.变式L如图1,点0是弹力墙MN上一点，魔法棒从0M的位置开始绕点0向ON的位置顺时针旋转, 当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向0M位置旋转；当转到0M位置时，再从0M的位置弹回,2继续转向ON位置，如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OAo （OAo 在OM上）开始旋转a至OAi；第2步，从OA】开始继续旋转2a至OAz:第3步，从OA?开始继续旋转3a 至OAs， 例如：当a=30。时，OAi，O

24、A2, OA3, 04的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上,二A30A4=120°：当 a=20。时，OAi, OAz，OAs,OA4，OA3的位置如图3所示,其中第4步旋转到ON后弹回,即二A3ON+：2NOA4=80。，而 OA3恰好与 OA2 重合.解决如下问题:（1）若a=35。，在图4中借助量角器画出OA2, OA3，其中二A30A2的度数是；（2）若a<30。，且OA所在的射线平分匚A2OA3,在如图5中画出OAi，0A2, OA3, 0A4并求出a的值：" 儿ON/图5（3）若 aV36。，且二A20A4=20。，则对应的 a 值是,.（4）（选做题）当OA所在的射线是匚AQAk （I, j, k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋2转停止，请探究：试问对于任意角a (a的度数为正整数，且a=180。)，旋转是否可以停止？写出你的探究 思路.变式2.如图，射线0C以二AOB的边0B为始边进