初中数学专题讲义-四边形1

1、初中数学专题讲义-四边形(一)一、课标下复习指南1.多边形(1)多边形的定义在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.(2)多边形的性质n边形的内角和等于(n 2) 180° ;任意多边形的外角和等于360° ;1n边形的对角线的条数等于一n(n 3).22 .四边形的分类(一般平行四边形平行四边形科平行四边朝臂限方形一般梯形3 1等腰梯形特殊梯形(直用梯形，其他四边形4 .平行四边形(1)平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.(2)平行四边形的性质两组对边分别平行且相等；两组对角分别相等；两条对角线互相平分；平行四边形是中心

2、对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.(3)平行四边形的判定根据平行四边形的定义判定；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.5 .矩形(1)矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.(2)矩形的性质具有平行四边形的所有性质；四个角都是直角；两条对角线相等；矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是过每组对边中点的直线.(3)矩形的判定根据矩形的定义判定；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形.6 .菱形(1)菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)菱形的性质具有

3、平行四边形的所有性质；四条边都相等；两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线.(3)菱形的判定根据菱形的定义判定；四条边都相等的四边形是菱形；两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.7 .正方形(1)正方形的定义有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.(2)正方形的性质具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它 有四条对称轴.(3)正方形的判定有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.二、例题分析例1 已知：如图11 1, BD为DABCD的对角线

4、，。为BD的中点，EFLBD于点O, 与AD, BC分别交于点 E, F.求证：DE = DF.分析 因为BDLEF于点O,所以欲证 DE = DF,只要证EO=FO;另外对于 DEF , 欲证 DE=DF,只要证/ DEF = /DFE.证法一如图11-1,在DABCD中，图 11 1 AD / BC, ./ EDO = Z FBO. .O为BD的中点，DO= BO.在 EDO和 FBO中，EDO FBO,DO BO,DOE FOB,EDOA FBO.EO=FO.又. BDEF于点O, DE = DF .证法二如图11- 1 ,. EF垂直平分BD于点O,BF= DF . ./ FBO =

5、Z FDO ,从而/ BFE = Z DFE . 四边形ABCD是平行四边形， . AD / BC . ./ DEF =/ BFE. ./ DEF =/ DFE .DE = DF .说明(1)请总结证法一及证法二的基本思路和方法，想一想，还可以怎么证？(2)如图11 2,在例1的条件下，若连接BE,则四边形EBFD是怎样的四边形？为什么？图 11 2(3)如图 11-2,在例 1 的条件下，若 BD=24cm, EF=10cm, FC = 2cm,试计算 DABCD 的面积.例2 如图113,在梯形ABCD中，AD / BC, AD>CD,将纸片沿过点 D的直线折 叠，使点C落在AD上的

6、点C'处，折痕 DE交BC于点E,连接C' E.图 11 3(1)求证：四边形 CDC' E是菱形；(2)若BC= CD +AD,试判断四边形 ABED的形状，并加以证明. 分析 证明四边形 CDC' E是菱形的关键是证明 CD=CE.解 (1)证明：根据题意可知， CDEAC DE. .CD = C' D, CE=C' E, /CDE = /C' DE. AD / BC,. C' DE = Z CED. ./ CDE = Z CED .CD = CE.-.CD = CE = C，D = C' E.，四边形CDC'

7、 E是菱形.(2)当BC=CD+AD时，四边形 ABED是平行四边形，证明如下：由(1)知，CE = CD.又. BC = CD + AD,即 BE + CE = CD + AD, BE=AD.又 BE /AD , 四边形ABED是平行四边形.形的方法不唯一，想一想，给出你的说明对于第题，证明四边形 CDC' E 其他证法.(2)对于第(2)题，在BC=CD + AD的条件下，若设 AD= a、CD=b,那么梯形 ABEC ' 的面积、四边形 ABED的面积、菱形 CDC ' E的面积、梯形 ABCD的面积的比是多少？例3 如图114,在DABCD中，/ BAD = 3

8、2° ,分别以 BC, CD为边向外作 BCE 和 DCF,使 BE=BC, DF = DC, / EBC = Z CDF ,延长 AB 交边 EC 于点 H,点 H 在 E, C两点之间，连接AE, AF. (1)求证：AABEA FDA . (2)当AEAF时，求/ EBH的度数.图 11 4解(1)证明：在DABCD 中，AB=DC,又 DF = DC , AB= DF .同理EB = AD.在 DABCD 中，/ ABC = Z ADC , 又. / EBC=Z CDF , ./ ABE=/ ADF, .ABEA FDA.(2) /A ABEA FDA , ./ AEB=/

9、DAF. . / EBH = Z AEB+Z EAB, ./ EBH = Z DAF +Z EAB.AEXAF, ./ EAF = 90° . . / BAD = 32° , ./DAF+/ EAB= 90° - 32 = 58° . ./ EBH = 58° .例4 已知：如图11-5,在矩形 ABCD中，AE平分/ BAD,交BC于点E, / EAC = 15° .图 11 5试比较线段BO与BE的大小，并证明你的结论；(2)若连接OE,求/ BOE.BO, BE的长度提出猜想,分析(1)依题意正确画出示意图后，可通过分别度量线段

10、在证明结论时，应注意分析线段BO, BE分别与边AB的位置关系和相应的数量关系；(2)在求/ BOE的度数时，如果利用第(1)小题的结论，可将问题转化为求/ OBC的度数.解(1)线段BO, BE的大小关系是BO=BE,证明如下： 四边形ABCD是矩形，DAB = /ABC=90° , OA=OB. AE 平分 / BAD, ./ BAE=Z EAD=45° .AB= BE. . / EAC= 15° , .Z BAC=Z BAE+Z EAC = 45° +15° =60° . .OAB是等边三角形.BO = AB.BE= BO.（2

11、） /Z OBC=Z ABC-Z ABO = 90° 60° =30°，而 BO=BE, -1BOE BEO -（180 30） 75,即/ BOE = 75 ° .说明 在解答第（1）小题时，一定要先写出结论，然后再说明理由，在解答第（2）小题时，一定要注意第（1）、（2）小题之间是否有必然联系；（2）若例4再添加AB=4 cm这个条件，请想一想，怎样求出E点到对角线AC的距离.例5 如图11 6,在正方形 ABCD中，点E, F分别为边 BC, CD的中点，AF, DE 相交于点G,则可得结论： AF = DE;AFDE （不需要证明）图 11 6（

12、1）如图11 7,若点E, F不是正方形 ABCD的边BC, CD的中点，但满足 CE= DF , 则上面的结论、是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立” ）（2）如图11 8,若点E, F分别在正方形 ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上, 且CE=DF,此时上面的结论、是否仍然成立*成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.（3）如图119,在（2）的基础上，连接 AE和EF,若点M, N, P, Q分别为AE, EF ,FD, AD的中点，请判断四边形 MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种并写出证明过程.图 11 9解(1)答：成立.(2)答：成立.理由如下：

13、如图 11-8, 四边形ABCD是正方形， ./ADF =/DCE = 90° , AD = CD.又 DF= CE,ADFA DCE .AF=DE, / F = Z E. /DGF = 180° (/F+/FDB)= 180° (/E+/ FDB)=/DCE= 90° , AFXDE.答：四边形 MNPQ是正方形.理由如下: 如图11-9,在 AED中， 点M、Q分别是AE, AD的中点，1MQ/ED,MQ -ED.1NP ED,PQ2AF. 2同理可证：MN/AF MN AF；,. AF=DE, . MN = NP=PQ = MQ. 四边形MNPQ是

14、菱形. MQ/ED, AFXDE, MQ XAF,又，MQ / AF,MQ± MN,即/ QMN= 90° . 四边形MNPQ是正方形.说明“中点四边形”是一个重要的知识点.考生应会证明“任意四边形的中点四边形是平行四边形”；“对角线相等的四边形的中点四边形是菱形”；“对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形” .另外，请掌握解答这类问题时，书写表达如何更加规范.例6 如图11-10,正方形ABCD中，M为AB边上一点，E为AB延长线上一点，DM LMN于M, MN交/CBE的平分线于 N.求证：DM = MN .图 11-10分析证线段相等，可考虑构造三角形全等或集中在一

15、个三角形中，利用“等角对等边”来证.证明如图11-11,在 DA上截取 DF = BM,连接 MF .图 11-11,.在正方形 ABCD中，AD = AB,又/A=90° , ./ AFM =/ AMF =45° . ./ DFM =135° .又 BN 平分/ CBE, /CBE=90° , ./ MBN = 135° .又 MNDM , .1+Z DMA = 90° .又/ 2+/ DMA = 90 ° , 1=/ 2. .DFM MBN.DM= MN.说明(1)将“M在AB上”的条件改为“ M在AB的延长线上”，其他

16、条件不变，DM = MN的结论还成立吗？(2)若将正方形推广到任意正n边形，需将条件相应地做怎样的改变，仍有类似的线段相等的结论成立？三、课标下新题展示例7 如图1112所示，在矩形ABCD中，AB=12, AC= 20,两条对角线相交于点 O, 以OB, OC为邻边作第1个平行四边形OBBQ,对角线相交于点 A1,再以A1B1, A1C为邻 边作第2个平行四边形 A1B1C1C,对角线相交于点 O1；再以O1B1, O1C1为邻边作第3个平 行四边形O1B1B2C1,依此类推.图 11-12(1)求矩形ABCD的面积；(2)求第1个平行四边形 OBBiC、第2个平行四边形 A1B1C1C和第

17、6个平行四边形的面 积.解（1）在 RtABC 中，BC JACAB2 J202 122 16,S 矩形 abcd = AB - BC=12X 16 = 192.(2)二矩形ABCD,对角线相交于点 O, Sabcd = 4字OBC . 四边形OBBiC是平行四边形， OB/CB1, OC/ BBi, ./OBC = /BiCB, /OCB = /BiBC. 又 BC = CB,.,.OBCABiCB.S OBB1C2 s obc2 s巨形ABCD96.同理，S A1 B1C1C-Sabcd248.第6个平行四边形的面积为qSabcd23.例8在边长为 连接DM交AC于点(1)如图 11-13

18、,从点A出发，沿A-B-C向终点C运动,BN.6的菱形ABCD中，动点M N.当点M在AB边上时，连接图 11-13求证： ABN-ADN;若/ABC=60° , AM = 4, Z ABN =,求点 M到AD的距离及tan的值； (2)如图1114,若/ ABC=90° ,记点 M运动所经过的路程为 x(6WxW12).图 11-14试问：x为何值时， ADN为等腰三角形.证明：.四边形 ABCD是菱形，AB=AD, / 1 = / 2.又 AN = AN ,.ABNA ADN .解：作 MH，DA交DA的延长线于点 H,由AD / BC,得/ MAH = / ABC =

19、 60在 RtAMH 中，MH am sin 60273.点M到AD的距离为2显 易求 AH = 2,则 DH =6+ 2=8.在 RtDMH 中，tan MDHMH 2 3,3DH由知，/ MDH=/ABN =故 tan .（2）解：ABC = 90 ° ,菱形ABCD是正方形.此时，/ CAD = 45 ° .下面分三种情况：（见图1115）图 1115若 ND = NA,则/ ADN = /NAD=45° .此时，点M恰好与点B重合，得x=6.若 DN = DA,则/ DNA = Z DAN =45° .此时，点M恰好与点C重合，得x=12.若 A

20、N = AD=6,则/ 1 = 7 2.由 AD / BC,得/ 1 = 7 4,又/ 2 = / 3, / 3= / 4,从而 CM=CN.易求AC 6.2.CM= CN= AC-AN= 6<2 -6.故 x=12CM = 12(6J2 6)= 18 6<2 .综上所述，当x= 6或12或18- 6收 时， ADN是等腰三角形.四、课标考试达标题（一）选择题1 .如图1116,在DABCD中，EF/AB, GH /AD, EF与GH交于点 O,则该图中的平 行四边形的个数共有（）.图 11-16A. 7 个B. 8 个C. 9 个D. 11 个2 .在四边形ABCD中，。是对角线

21、的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是().A. AC=BD, ABMCDB. AD / BC, / A=/ CC. AO=BO=CO = DO, ACXBDD. AO=CO, BO = DO , AB= BC3 .如图11-17,在DABCD中，对角线 AC, BD相交于点 O,将 AOD平移至 BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（）.图 11-17A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4 .在DABCD中，AB=6, AD = 8, / B是锐角，将 ACD沿对角线 AC折叠，点 D落 在 ABC所在平面内的点 E处，若AE过BC的中点，则DABCD面积为（）.A. 48B.

22、10V6C. 12/D. 24V”5 .如图1118,在DABCD中，对角线AC, BD相交于点 O, E, F是对角线 AC上的两点, 当E, F满足下列哪个条件时，四边形 DEBF不一定是平行四边形（）.A. OE= OFC. / ADE = / CBF图 1118B. DE = BFD. / ABE = / CDF6.如图1119,菱形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点 O, OE/ DC交BC于点 巳AD = 6cm,则OE的长为（A. 6cm（二）填空题7 .若菱形两条对角线长分别为B.10和24,则它的边长为D. 2cm8 .如图11 20,把一张长方形纸条按图中那样折叠后，

23、若得到/AOB' = 70° ,则/ B'OG =DB图 11-209.如图11 21,菱形ABCD的对角线的长分别为 2和5,若P是对角线AC上任一点（点P不与点A, C重合），且PE/ BC交AB于E, PF /CD交AD于F,则阴影部分的面积是图 11 2110.如图11-22,在平面直角坐标系中，若(0, 0), (5, 0), (2, 3),则顶点C的坐标是 ABCD的顶点A, B, D的坐标分别是(三)解答题H分另IGEHF图 11 2311 .已知：如图11 23, E, F是DABCD的对角线 BD上的两点，BE=DF,点G, 在BA和DC的延长线上，且 AG = CH,连接GE, EH, HF , FG.求证：四边形 是平行四边形.12 .已知：如图 11 24,在 ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过 A点作 BC的平行线交 CE的延长线于F ,且AF = BD ,连接BF .图 11-24求证：D是BC的中点；(2)如果AB=AC,试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论.13 .已知：如图 11