福建省高考模拟试卷数学试题(理科)(已整理)

1、2010年福建省高考模拟试卷数学试题（一）（理科）、选择题：本大题有 10小题，每小题5分，共50分.每小题都有四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1 .设a R,若（a i）2i （ i为虚数单位）为正实数，则a （）A. 2B. 12 .已知E, F, G, H是空间四点，命题甲:EF和GH不相交，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件C.充要条件3 .曲线 y sin x , y cosx 与直线 x 0 , x2A .0 （sin x cosx）dxC. 0D.1E , F , G , H四点不共面，命题乙：直线B .必要不充分条件D.既不充分也不必要条件一所围成的平面区域的面积为（

2、）2B. 2 04 （sin x cosx）dx2 ,C. 0 (cosx sin x)dxD . 2 04 (cosx sin x)dx4.下列向量中与向量 aA. （-4,5.函数f （x）A .奇函数 C.偶函数6) xlg(1(2, 3)平行的是B. (4, 6)*2)是()C. (-3,2)D. (3, 2)B.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数6 .设函数 y f (x)在区间(0,)内是减函数，则 a f (sin -) , b f (sin-) , c f(sin-) 643的大小关系是()A. c b a B. bca C. bac D. abc7 .设Sn为等

3、差数列 an的前n项和，且a3 a7 10 ,则S9()A. 45B. 50C. 55D. 900.0350.0300.0250.0200.0150.010频率8 .统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格,A. 20%B. 25%则及格率是（C. 6%)D. 80%9.将函数A. ysin x的图像按向量sin（x 1）aB.（1,1）平移得到的图像对应的一个函数解析式是（y 1 sin(x1)C. ysin(x 1)D.y 1 sin(x1)10.设 a1a2,，an是2,，n的一个排列,把排在ai的左边且比ai小的

4、数的个数称为ai的顺序数（i 1, 2 L为0.则在的顺序数为A . 48二、填空题1至8这八个数字构成的全排列中,3的不同排列的种数为（B. 96（本大题有 4小题，每小题5分,11 .命题“ x R, sinx 1”的否定是4, 5,同时满足3, 2, 1中，5的顺序数为1, 3的顺序数8的顺序数为2, 7的顺序数为3, 5C. 144共20分)D. 19212.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组（x, y）依 次记为（xy1），（x2, y2）, L ,则程序运行结束时输出的最后一个数组为13.曲线y14.若实数开始2x lnx在点（1,2）处的切线方程是2xx, y满足不等式组

5、x3x0,3 0,则3xy的最小值是”8 0,15 .定义：我们把阶乘的定义引申，定义 n! n(n 2)(n 4),若n为偶数，则乘至 2,反之，则乘至1,而0! = 0。我们称之为双阶乘(Double Factorial) n对夫妇任意地排成一列，则每位丈夫都排在他的妻子后面的概率是 。(结果用含双阶乘的形式表示)三、解答题(本大题有 6小题，共74分)16 .(本题满分13分)某投资公司在 2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现 有两个项目供选择：项目一：新能源汽车。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30% ,也可能亏损15% ,且这两种情况发生的概率分别为7和

6、2 ;99项目二：通信设备。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50% ,可能亏损30%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3、1和1。5315针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由。17 .(本题满分13分)如图5,已知直角梯形 ACDE所在的平面垂直于平面 ABC,BAC ACD 90 , EAC 60 , AB AC AE。(1)在直线BC上是否存在一点 P,使得DP 平面EAB ?请证明你的结论；(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。18 .(本题满分13分)一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m

7、的四分之一圆弧，AB , DC分别与圆弧BC相切于B , C两点，EF / AB , GH / CD , 且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m。(1)若水平放置的木棒 MN的两个端点 M , N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P。设 CMN (rad)，试用 表示木棒MN的长度f()；(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。2219 .(本题满分13分)已知椭圆C:x2 / 1(a b 0)的某个焦点为F ,双曲线 a b22G:( yr 1 (a,b 0)的某个焦点为F . a b2(1)请在上补充条件，使得椭圆的方程为 y2 1 ;3友情提示：不可

8、以补充形如a J3,b 1之类的条件。(2)命题一："已知抛物线y2 2Px(p 0)的焦点为F,定点P(m,n)满足n2 2Pm 0 ,以 PF为直径的圆交y轴于A、B,则直线PA、PB与抛物线相切”。命题中涉及了这么几个要素： 对于任意抛物线y2 2px( p 0),定点P,以PF为直径的圆交y轴于A、B, PA、PB与抛物 线相切。试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；(3)证明命题一的正确性.20 .(本题满分14分)已知函数 f(x) ax x2 xIn a(a 0, a 1).(i)当a 1时，求证：函数f (x)在(0,)上单调递增；(n)若函

9、数y | f(x) t| 1有三个零点，求t的值；(出)若存在xi,X2 1,1,使得| f (xi) f (x2)| e 1,试求a的取值范围.21 .本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多作，则按所 做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中。(1)(本小题满分7分)选彳4 2:矩阵与变换，-2 1，求矩阵A的特征值及对应的特征向量。3 0(2)(本小题满分7分)选彳4 4:坐标系与参数方程2 2sin(已知直线l的参数方程：x t (t为参数)和圆C的极坐标方程:y 1 2t(i)将直线l

10、的参数方程化为普通方程，圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程;(n)判断直线l和圆C的位置关系.(3)(本小题满分7分)选彳4 5:不等式选讲已知函数f (x) = x- 1 + x- 2。若不等式 a+b + a- b>a f(x) ( (a刮0,a,b R)恒成立，求 实数x的范围。2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理科试题试题参考解答及评分标 准一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算.1 . B2, A 3. D 4. A 5. D 6. D7. A8. D 9. D 10. C二、本大题共4个小题；每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算.11. x

11、R,sinx1 12. (27, 6) 13. y x 1 014. 715.n!(2n 1)!(2n)!【15题解析】(理解一)排列的总数是(2n)!.为了计算有利场合的个数，可以这样考虑.首先把n个丈夫进行排列，共有 n!种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插人队伍，她显然只有1种可能的位置，即排在最前面，接着让排在第二位的丈夫的妻子进人队伍.现在她的丈夫之前已有两人，因此她有 3种位置可选择.排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有5种位置可选择，依次n!(2n 1)!(2n)!最后一位丈夫的妻子有(2n 1)个位置可选择.因此有利场合总数是n!1 3 (2n 1) n!(2n 1)!,所以要

12、求的概率是(理解二)对于每个家庭来说，丈夫排在妻子后面的概率都是-,有n对夫妻，因此概率应该为211,下面只要想办法将,化简为含有双阶乘形式就可以了2n2nn!(2n 1)!1 3(2n 1) n! 1 o(2n)! 2n (2n 1)2 1 2n三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.解：若按“项目一”投资，设获利 1万元，则1的分布列为1300150P792972八E 1 300 - ( 150) 200 (万元) 4分99若按“项目二”投资，设获利 2万元，则2的分布列为：25003000P3513115311E 2 500 - ( 300) -

13、 0 200 (万元) 8分53152 722又 D1 (300 200) ( 150 200) 35000, 10分99232121D 2 (500 200)2-( 300 200)2(0 200)2 一140000 12分5315所以 E 1 E 2, D 1 D 2,这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 13分17.解：(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.1分证明如下：1 .一取AB的中点F连结DP、PF、EF,则FPAC, FP 2 AC ,2分2取AC的中点M ,连结EM、EC ,AE AC 且 EAC 60 , EAC是正三

14、角形， EM AC .，四边形EMCD为矩形，1 _一. ED MC AC .又. ED AC , 3分2，EDFP 且 ED FP ,四边形EFPD是平行四边形. 4分DP/EF，而 EF 平面 EAB, DP 平面 EAB ,DP 平面 EAB. 6 分（2）（解法1）过B作AC的平行线l ,过C作l的垂线交l于G ,连结DG , EDAC,ED/1 , l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱.8分.平面 EAC 平面 ABC, DC AC , DC 平面 ABC ,又l 平面ABC , l 平面DGC ,l DG ,DGC是所求二面角的平面角. 11分设 AB AC AE 2a ,则

15、CD 73a , GC 2a ,GD、GC2 CD2"a,GC 2.7cos cos DGC . 13 分GD 7（解法 2）BAC 90 ,平面 EACD 平面 ABC ,.以点A为原点，直线 AB为x轴，直线 AC为y轴，建立空间直角坐标系 A xyz ,则z轴在平面EACD内(如图).设ABAC AE 2a ,由已知，得 B(2a,0,0), E(0,a , V3a), D(0,2a,/'3a). EB(2a , a ,3a)ED (0 ,a , 0)，设平面EBD的法向量为n(x, y , z),EB 且 n EDEBED0, 0 .2ax ay 3az ay 0.0

16、,3 解之得x Yz, y 0.取z 2,得平面EBD的一个法向量为n (.3,0,2).11分又.平面 ABC的一个法向量为n (0,0,1).<3 00021coscos n , n(3)2 02 2202 02 1213分说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识, 以及空间想象能力和逻辑推理能力.18. (1)如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为 Q,过Q点作CD垂线，垂足为点T,且交MN或 其延长线与于 S,并连接PQ ,再过N点作TQ的垂线，垂足为 W .在 Rt NWS 中，因为 NW 2, SNW , ,2所以NS cos因为MN与圆弧F

17、G切于点P ,所以PQMN在 Rt QPS,因为 PQ 1, PQS11所以QS ，QT QS 2在 Rt STM 中，MSTSsinQT QS sin因此 MN NS MS NS若S在线段GT的延长线上,QT QSsin 则 TS QS QT._TS在 Rt STM 中，MS -TS sinQS QT因此 MN NS MS NSsinQS QTf( ) MNQT QSNS -sin2NS(2)因此因为2(sin设sinf()g (t)sin cos ) 1sin coscost(1cos(sinQT QSsin1-)sin cos4tgQ24(t2 t 1)因此函数g(t)22(t 1)4t

18、 2 六 .:在tt2 1(072),贝U sin cost2 12 ，1 t J2,所以g(t) 0恒成立,(1,72是减函数，所以g(t)min g(扬4722,即 MNmin 472 2.答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为472 2 .19.解:(1)补充一：椭圆的离心率为口 W6,且椭圆的长轴长为 2M3 e3、.、, 一 6补充二：椭圆过(J3,o)和(1,)3补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为2於,且椭圆的一条准线长为3、. 2类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分(2分)2222(2)命题一：已知椭圆C：x2 22

19、 i(a b 0)的某个焦点为F,定点P(m,n)满足m2 12 1, a ba b222以PF为直径的圆与圆 x y a交于A、B两点，则PA、PB与椭圆相切。 5分 2222命题二：已知双曲线g：、。1 (a,b 0)的某个焦点为F ,定点P(m, n)满足2 与1, a ba b以PF为直径的圆与圆 x2 y2 a2交于A、B两点，则PA、PB与双曲线相切。9分(3)证明：以PF为直径的圆的方程为(x m)(x ) y( y n) 0 ,设A (0, y1), B(0, y2),则 2,、 1一、一i.nyp _2_y1(y1 n) 一 pm 0,直线 pa 的万程为 y y1 -x x

20、 ,即 px 2yy 2y1 02m2y12 px 2 Vi y 2 Vi 0, ,_,22联立 2,消去x得到y4yy 4y1 0 ,所以 0,所以直线PA与抛y 2px物线相切。13分同理可证PB与抛物线相切。xx20.解：(I) f (x) a In a 2x In a 2x (a 1)ln a由于 a 1,故当 x (0,)时，Ina 0,ax 1 0 ,所以 f (x) 0,故函数f (x)在(0,)上单调递增 4分(n)当a 0,a 1时，因为f (0) 0,且f(x)在R上单调递增，故f (x) 0有唯一解x 06分所以x, f (x), f(x)的变化情况如下表所示：x(,0)

21、0(0,)f (x)一0十f (x)递减极小值递增又函数y | f (x) t| 1有三个零点，所以方程 f(x) t 1有三个本而t 1 t 1,所以 t 1 ( f (x) min f(0) 1 ,解得 t 2 8 分(出)因为存在 x，x2 1,1,使得 | f(x1) f(x2)| e 1 ,所以当 x 1,1时，|(f(x)max (f(x)m" (f(x)maX ( f 诏 e 1由(n)知，f (x)在1,0上递减，在0,1上递增，max f ( 1), f (1)所以当 x 1,1时，(f(x)minf(0) 1,(f(x)max11一而 f(1) f( 1) (a 1 In a) ( 1 In a) a - 2ln a, aa、