量子力学期末考试试卷及答案

1、量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。2、| ¥ (r,t) |人2的物理意义： t时刻粒子出现在 r处的概率密度。3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 简并。4、两个力学量对应的算符 旦且它们具有共同的确定值。二、简答题：一1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理， 算符必须是线性算符。 综上所述，在量子力 学中，能和可观测的力

2、学量相对应的算符必然是线性厄米算符。2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。针对某个特定的力学量， 对应算符为A,它的本征态对另一个力学量 (对 应算符为B)就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它 们才有共同的本征态。3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率 和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。三、证明题。3.4- 11EU月：Zxr-*-rx£ = 2滴 r： f x p + p x f = Ziftp ；£% =仍(¥ x

3、E)工(L x r) | ：- %在=通(P m 工)* - (Ex P)xiilii 1) (£ x r + r x £)工=£理ty + y£r zty = £>1 ?庄倒启动0与坐标算符的对易子(Eb，芦=知(£ x l 十 t” x = 2ihrtr同理有(Z X r + r M £)> = 2ihy- (Z x r + r x L) = Zitiz 即£ m r + /角动量算符与动量算符的对易广心说=£Ki/ipri同上可证工X p + p X K = 2ihp2) l2x-xt

4、= |白,引=|饶+氏+乌川=|氐*| + |马工| +七.0 =工工"I + '，心+4+邑/匕+工jh + |&,工|&=D + 0 + (-ihz)Ly + £2(iAy) + (ifty)Z1=ih(yLx - zLy)-Lv)| ift (r x 矶-。m r)J2)同理z”:向他-%£上=小傍k t)位黑m) J2、证明概率流密度J不显含时间 四、计算题2.20 一个瓶量为帆的粒产被戕别在单位为二口即r = /匕的个不可穿透的同心球面之间运勤.不存在其他势 场.求粒子的基态能量和基态波函数一期士粒子所处的翳场cm(r <

5、a)0(q < r < bao(x > t>)位同波函数所满足的边界条件是中例1gti =双川e =。一径向部分府位定蹲方%鼻炉由+E 竽店=d g < X <"引入变换R") = x(r)/rtlc = J2m£"，基态t = 0.可化为震 +0¥的傩是万=Csin/c(r+。代人边界条件有(a) = x() = C sin /c(a + r) = C s,nk(b + r) = 0一匚=a,/c = jt/b a)即JZmE/# = ?r/(/? 口)= 粒子的基态能量£ =fr q-N，n(b

6、-irjT编辑版wordkin依f-m】“TT - j ' r ' R '：-' 'dr - l ' J.' st n r - j ： d- b - a '：C = C 一部&L d) = F sin 3z r yJ b-a r b-«基态波函数中y 9, <p)-即e甲)归一化i = fffv iw&a浦"=r盍(也华)t臼双川叮叮广皿广丽中加=4汽*(乱时 =471(a9)=1人诟曲出波函数网心£产)二雁*七鼠仇二忌忌即窄券/笳%小*第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半

7、径为"、电荷均匀分布的小球, 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对r "的区域有影响，对r "的区域无影响。据题意H?U(r) Uo(r)其中Uo(r)是不考虑这种效应的势能分布，即2 U0(r)言U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r r0区域,U(r)Ze24 0r在rr0区域,U(r)可由下式得出,U(r)e Edrr140r2Ze可3 1 0Ze20rZe3 r, oro(rr°)(rro)e Edrr0r0U (r) e EdrrH?Ze24 0r03r0rdrrZe24 0r04dr r产(r0280r0由产40rO美

8、(3r022)(r r°)U(r) Uo(r)-e- 国80 r00r2)产 40r(rr0)(rr0)由于很小，所以H? H?一级修正为(基态(0)looU0(r),可视为一种微扰，由它引起Ei* _i(0) H? ，dZ3 roZe22-p o 8_(3r。ao8 oror2)Ze22Z一 rao24 r dr2Zrr a。，故 e ao1。-,4 2_ (1)Z ero2 24Ei()-3- o (3ro r r )dr2 o% r0-,4 2Z e3 o aorordr第三题 6.2-74 2Z eC3 32 oao"-7 42Z e 23roio oa32Z4e2

9、5a3(ro5-7 42Z e2 °ao2ro求自旋角动量在任意方向n (cos , cos,cos )的投影Sn的本征值和本征函数解：在§z表象，Sn的矩阵元为Sno1o i1ocos一coscos2 1o2 i o2 o1Sn 2其相应的久期方程：coscos i coscos i coscos一 cos 2(cos i cos )2o一 (cos 2i cos )cos-2编辑版word即:编辑版word2cos41)/22(cos cos ) 0(利用 cos2cos2cos22所以冬的本征值为设对应于Sn-的本征函数的矩阵表示为则 2 cos2 cosi coscos i coscosl(Sn)2. cos icos b 1 cosa(cos i cos ) b(由归一化条件得：1I |2 cos 间取 a1 12 2i coscos* a(a ,b )2 b|a|2 1al2b2匚1 cos1 cos ,2(1|a cosi coscos ),2cos i cos_；N(1 cos )1 cos1cosi cos 0202(1 cos