关于连续与致连续

1、关于连续与一致连续连续与一致连续是数学分析中非常基础也是非常重要的概念。 这两个概念来自于实际问题、 现实世界。 我们经常观察到的一些自然现象有一些共同特性：例如气温的变化，生产的连续进行，生物的连续生长等等， 反映出来的是事物连续不断地进行的过程。 如果用函数来刻画，即研究函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是连续函数。一、连续与一致连续的定义，二者的区别定义1若函数在xo点附近U(xo)有定义，并且lim f(x) f(%)时，我们 x x0称f(x)在飞点连续,或者称X。点是f(x)的连续点.定义1若函数在x。点附近U(x。)有定义，若0,(,x。)0只要

2、x U(xo)： |x xol ，都有 |f(x) f(xo)| ，则称 f(x)在区间 xo 处连续。定义2函数f(x)在区间I的每一点都连续，则称f(x)在区间I内连续。定义3设函数f(x)在区间I上有定义，若 o, ( ) o只要 x',x'' I : |x' x''|,都有 |f(x') f(x'')|,则称 f(x)在区间 I 上一致连续 .注：函数f(x)在某区间内的连续性只反映函数在区间内每一点附近的局部性质；函数 f(x) 在某区间内一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，是反映函数在区间上更强的连续性。直

3、观地说， f(x)在区间I 一 致连续意味着：不论两点x',x''在I中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使|f(x') f(x'')|.显然f(x)必然在I上每一点连续。按照一致连续的定义，f(x)在区间I不一致连续意味着：对于某个0 0 对任何的0 (无论 多么小)，总存在两点x',x'' I尽管|x' x''| ,但却有 | f(x') f(x'')|0.在连续定义中存在的不仅与 0有关，还与x的位置有关，如果能做到只与有关即能找到适合I上所有点的公共()0,则f(x

4、)在I上每点连续，且一致连续；否则f(x)在I上每点连续，但不 一致连续。一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个，这无穷多个 的下确界可能为零，也可能大于零。如果这无穷多个的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共()0,这种情况f(x)在I上连续，但不一致连续；如果这无穷多个的下确界大于零，则必存在对I上每一点都适用的公共()0,比如我们可取一min ,则对I上任意两点x,x ，只要|x x| 一时，便有|f(x) f(x)|.这种情况，f(x)在I上不仅逐点连续，而且是一致连续 例1证明y sin ax在(，)内一致连续。证明 |sin x' sin x'' | 2

5、 |sin (x? x)cos (x? x) (x' x'')2|sin(-)| | |x' x''|0 , 取 一，x',x''(,)满足 |x x''| ，就 有：|a|f(x') f(x'')|.所以y sinax在(,)内一致连续.例2证明y 1在(a,1)内一致连续，但在(0,1)内不一致连续。(a (0,1)证明y-在(a,1)内一致连续：| X2Xi |X1X2X, x0,取a2 , x,X2 (a,1)满足：|1/X1 T/X2| XiX2 |,就有：| f(Xi)f

6、(X2)|所以y-在(a,1)内一致连续。 X但y工在(0,1)内不一致连续。y=1/1 .2 | X2X1 |aX事实上，取0,都存在两点 |Xn(2),Xn |12n ,(n 1)，但11(2)Xnxn2n所以,在(0,1)内不一致连续。、在闭区间上连续与一致连续二者的关系 在闭区间上连续与一致连续是一回事定理1(Cantor定理) 函数f(x)在a,b上一致连续的充分必要条 件是f(x)在a,b上连续。三、在有限非闭区间上连续与一致连续二者的关系 在有限非闭区间上连续与一致连续有下面的关系: 定理2 函数f(x)在(a,b)上一致连续的充分必要条件f(x)是在(a,b) 上连续且f(a

7、)与£9 )都存在。证明：先证充分性：构造辅助函数f (a )F(x) f(x) f(b )x ax (a,b),显然,F(x)x b在a,b上连续.由Cantor定理,F(x)在a,b上一致连续，F(x)在(a,b)上一致连续，即f(x)在(a,b)上一致连续.再证必要性：f(x)在(a,b)上连续显然。下证f (a )与f(b )都存在.在 f(x)上(a,b)一致连续，0,0, x',x'' (a,b)且 |x' x''|,有|f(x') f(x'')| 成立.现对 0 b a,取x' x,x

8、9;' x2 (a,a )，则 有 xi,x2 (a,b)且 |x x2|,.0,0, xi,x2 (a, a ) 且| xi x21,有 |f(x') f(x'')| 成立.由 Cauchy 收敛准则，f(a )存在.同理，f(b )存在.推论2.1 函数f(x)在a,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在a,b) 上连续且f(b )存在。推论2.2 函数f(x)在(a,b上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b 上连续且f(a )存在。四、一致连续函数的区间可加性定理3.(一致连续函数的区间可加性)函数f(x)在区间Ii和I2上一致连续，若Ii I2,

9、则f(x)在Ii I2上一致连续。证明：I、若Ii I2或Ii I2,则结论显然；2、若Ii和其不相互包含。f(x)分别在Ii和I2上一致连续,0, i 0, x',x'' I 且 |x' x''| : 有 |f(x') f(x'')| 成立，2 0, x',x'' I2 且 |x' x''|2,有|f(x') f (x'')| 成立.现考察Ii I2 I*，.二可从中取得一点x°. f(x)在Ii和I2上一致连续，.它必在Ii I2 I*上

10、一致连续，. f(x)在x0处连续.由Cauchy收 敛准则，上述，3 0, x1,x"(刈,十，有|f(x') f(x'')|成立.上述，3 0,不同时属于Ii或I2的x',x''且|x' x''|3 ,有| f(x') f(x'')| 成立.二 0, min i, 2, 3 0, x',x'' Ii I2 且 |x' x''|, 恒 有| f(x') f(x'')|成立. f(x)在IlI 2 上一致连续.注： 可

11、以看到，该判别法的作用是非常强大的。 它把函数已知的 一致连续区间进行整合和延拓， 得到新的一致连续区间。 这样的的区 间可加性为我们分段处理函数一致连续性问题提供了理论基础。 在许 多证明中，该判别法往往是简捷易行而又不可替代的。五、在无穷区间上连续与一致连续二者的关系在无穷区间上连续与一致连续有下面关系：定理4.函数f(x)在a,)上一致连续的充分条件是f(x)在a,)上 连续且 f( )存在 .证明：: f( ) im f(x)存在， 由 Cauchy 收敛准则，0, X,为供X 1,), 有 | f(x» f x2 | 成立.f (x)在 X 1,)上一致连续.f(x)在a,

12、)上连续，. f(x)在a,X 1上连 续，从而一致连续.a,X 1 X 1,)，由定理3, f(x)在a,) 上一致连续.推论4.1函数f(x)在(a,)上一致连续的充分条件是f(x)在(a,)上 连续且 f(a )和 f( )都存在 .同理，可得定理5 及其推论：定理5.函数£(刈在(，b上一致连续的充分条件是“*)在(上连续且 f( )存在 .推论5.1函数”刈在(上一致连续的充分条件是 “刈在(上 连续且 f(b )和 f ( )都存在 .定理6 函数£(刈在(，)上一致连续的充分条件是 “刈在( 上连续且f()和£()都存在.证明：设)在(，)上连续，.

13、 f(x)在0,)上连续.“)存 在，由定理4, f(x)在0,)上一致连续.同理£(刈在(，0上一致连 续.;0, ) ( ,0,由定理3, f(x)(,)上一致连续.注：在定理4、5、6中，f()和£()的存在性都是非必要的。 如$访乂在(，)上一致连续，但sin()和$冶()都不存在.六、在一般任意区间上连续与一致连续二者的关系根据以上几个特定区间上的判别法，完全可以得出一致连续函数 在一般任意区间上的判别法。但是，我们注意到，上述判别法在某一 特定区间上的要求往往是较为苛刻的，使用起来也不甚方便，甚至还 可能会全部失效。可以解决这一问题的就是在一般任意区间上的特殊

14、判别法。引理1.若对于定义在区间X上的函数f(x)和g(x) , L 0, x',x'' X, 有|f x' f (x'')| L|g(x') g(x")| 成立,而 g(x)在 X 上一致连续,则 f(x) 在X上也一致连续。证明：: g(x)在 X 上一致连续，.0,0, x1,x'' X 且|x' x''|,有 |g(x') g(x'')| L 成立.0,0, x',x'' X 且 |x' x''| ，有|f x

15、' f(x'')|L|g(x') g(x'')|LL 成立. f(x)在X上一致连续.推论(Lipschitz )若函数f(x)在区间X上满足下述Lipschitz 条件， 即 L 0, x',x'' X,有 |f x' f (x'')| L|x' x”| 成立，则 f(x)在 X 上一 致连续.证明：在引理1中取g（x） x （满足在任意区间一致连续）即可 定理7.设函数f（x）在区间X上连续，且满足f （x）在X上有界，则f（x）在X上一致连续.证明：（，）X ,由Lagrange中值定

16、理知： （，），使 f'(x)在上 X 有界，M 0,(,) X, X (,),有| f '(x) | M 成立. | f'( )| M ,即有 |ff-(-| M ,| f f( )| M |.由，的任意性知，f(x)在X上满足Lipschitz条件，即M 0, x',x'' X,有|f x' f(x'')| M |x' x”| 成立.由弓 |理 1 推论， 则f (x)在X上一致连续.注：变量的改变很小时，其函数值其是否有界相比严格证明或求 复杂极限要简单的多。正因为如此，该判别法往往是易行而颇具效用 的。思考

17、题：你能分别用区间套定理证明、致密性定理、有限覆盖定理证明Cantor定理吗？Cantor定理 若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上一致连 续.证法一（用区间套定理证明）（反证法）倘若f在a,b上不一致连续，即存在某正数 0,对任何 0,在a,b 上恒存在相应两点x',x尽管|x' x''|但|f(x') f(x'')| 0,下面我们 证明这一论断与f在a,b上的连续性假设相矛盾。现将a,b三等分,则在a,b的子区间a。和0 b中至少有一个子 区间具有如下性质(P)：对这个0,无论任何正数，在这子区间上 总存在两点x',x

18、'',尽管|x' x''| ，但是|f(x') f(x'')| 。如果这两个 子区间都不具有性质(P),那么对这个。，分别存在正数1, 2-(b a),对aq中',为'任意两点和C,b中x2',x2''任意两点，3只要 |xi'xi''| I,|x2' x2'|2 就有 |f(xi') f(xi'')|0,|f(x2') f(x2'')|0(1)因此，令 min 1, 2 ,则对a,b上任意两点x'

19、;,x'',只要|x' x''| 便有|f(x') f (x'')| o.而这与最初假设f在a,b上不一致连续矛盾， 现把具有性质(P)的子区间记为Q(如果假设子区间都具有性质(P ),则任选其中一个子区间记为a-,6),且2“、aI,bi a,b,bi a-(b a).3再将足按上述方法分为两个子区间，同理其中至少有一个子 区间具有性质(P ),记这个子区间为azb,具有 azb ai,bi,d a2 (马2(b a).3重复上述步骤并无限进行下去，则得到一个闭区间列小心在 每一个闭区间an,bn上都具有性质(P),且an,bn

20、同/=/2,3川，2 cbn an (-) (b a) 0 (n ) 3由区间套定理存在唯点心a,b, n 1,2|.由定理的已知条件f在点连续，故对上述。，存在 0,对一切x U(,),都有|f(x) f( )|三当n充分大时，有an,bn U(,), 故对an，bn上任意两点x',x'',由于x',x'' U (,),所以也有I f(x1) f( )| 卷| f(x'1) f( )| 胃.于是有I f(x') f(x'')| I f(x') f( )| I f(x'') f( )| 0.

21、22但这与an，bn具有性质(P)的假定相矛盾。从而证得在上a,b连续的函数f必是一致连续的。证法二(用致密性定理证明)(反证法)倘若f在a,b上不一致连续，则存在某个正数0,对任何正数都存在相应的两点 x',x'' a,b,虽然 |x x''| ，但有 I f(x') f (x'')| 0.现以n表示自然数，令 二，记与它相应的两点为x'n,x''n a,b, n虽然 Ix'n x'； I L 但有 I f(x'n) f(x*)I 。n当n取遍自然数时，得数列x'n a,b,由致密性定理存在收敛子列x'nj ,x'nkx。a,b(k)。同 时也有 Ix'nk xR ,且nkx''nkx°(k).由 (2) 有 If J%) f(x''nk)I 0(3)现让(3)式中k 再由f在a,b上的连