(完整版)复数讲义(绝对经典)

1、复数高中数学复数Page 2 of I6、复数的概念1 .虚数单位i:(1)它的平方等于 1 ,即i21 ；(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.(3) i与一1的关系:._._ _. 、 . 一 、一 2i就是1的一个平方根，即方程 x.-.、2一 -. 一1的一个根，方程x 1的另一个根是-i.(4) i的周期性:4n 14n 2i i , i 1 ,4n 34ni i , i 1 .实数a(b 0)2.数系的扩充：复数bi虚数a bi(b0)纯虚数bi(a 0)非纯虚数a bi(a0)3 .复数的定义:形如a bi(a,b R)的数叫复数，a叫复数的实

2、部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4 .复数的代数形式：通常用字母z表示，即z a bi(a,b R),把复数表示成a bi的形式，叫做复数的代数形式.5 .复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a,b R),当且仅当b 0时，复数a bi(a,b R)是实数a;当b 0时，复数z a bi叫做虚数；当a 0且b 0时，z bi叫做纯虚数；当且仅当 a b 0时，z就是实数0G= U. ._ nf M是零数犷；家数Q:与负实数产4虚数阮之点是虚数/ C&1n吧纯虚数的成数6 .复数集与其它数集之间的关系：N茴Z Q茴R C7 .两个复数相等的

3、定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a , a,b, d ,c, d R ,那么 a bi c di a c , b d、复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：复数z a bi( a ,b R)与有序实数对 a , b是一一对应关系.建立一一对应的关系. 点Z的横坐 标是a,纵坐标是b ,复数z a bi(a , b R)可用点Z a ,b表示，这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0,0 ,它所确定的复数是z 0

4、0i 0表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数z a bi 一一对应复平面内的点Z(a,b)这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.三、复数的四则运算1 .复数zi与z2的和的定义:44abicdiacbd i2 .复数乙与z2的差的定义：z, z2abicdiacbd i3 .复数的加法运算满足交换律：乙z2 z2 zi4 .复数的加法运算满足结合律:(zi z2)z3 z,“2 z3)5 .乘法运算规则：设乙a bi , z2 c di(a、b、c、d R)是任意两个复数,那么它们的积 ziz2a bi c di ac bd bc ad i其

5、实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.6 .乘法运算律：(1)4 z2z3ziz2 z3(2) (zi z2)z3 zi (z2 z3)(3) zi z2 z3ziz2 ziz37 .复数除法定义：满足c di x yi a bi的复数x yi(x、y R)叫复数a bi除以复数c di的商，记为：(a bi) c di 或者-bic di8.除法运算规则:设复数a bi （a、bR ),其商为 x yi ( X、y R ),IP (a bi) c di x yix yi c di cx dy dx cy i

6、cx dydx cy i a biac bd由复数相等定义可知cx dy a,解这个方程组，得 dx cy b22c d bc ad '22c d于是有：（a bi） c diac bd bc ad .227-2 T2 ic d c d利用c di c dic2d2于是将2的分母有理化得:原式a bic di(a bi)( c di) ac bi ( di) (bc ad)i22(c di)(c di)c d(acbd) (bc ad)i272c dacbdbcad.72TTi'cdcd(a bi) c diac bd bc ad .2 2 ic d c d点评：是常规方法，是

7、利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c di与复数c di,相当于我们初中学习的 第72的对偶式J3夜，它们之积 为1是有理数，而 c di c di c2 d2是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法.9.共轲复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轲复数。虚部不等于0的两个共轲复数也叫做共轲虚数.高中数学复数Page 3 of 16住E：例题精讲1 .复数的概念1 2i高中数学复数Page 5 of 16【例1】已知2 bi （i为虚数单位）,那么实数a, b的值分别为（A. 2B. -3, 1C. -1. 1D.

8、 2,【例2】计算:.1!+ i.2!,.100!+ i +L + i（i表示虚数单位）95 2i, i4 1 ,而 4|k! ( k 4),故 i0!.2!100!+ i +L + i i i (1) ( 1) 197 95 2i【例3】设 z (2t2 5t 3) (t2 2t 2)iR ,则下列命题中一定正确的是（A.z的对应点Z在第一象限B. z的对应点Z在第四象限C.z不是纯虚数【例4】t2_22t 2 (t 1)1 0 .在下列命题中，正确命题的个数为（两个复数不能比较大小;若(x2 1) (x2 3x 2)i是纯虚数,则实数z是虚数的一个充要条件是z z若a , b是两个相等的实

9、数，则（ab)(ab）i是纯虚数;z R的一个充要条件是z 1的充要条件是A. 1B. 2C. 3D.复数为实数时,可以比较大小，错;1 时，(x2 1)2-(x 3x 2)i0,错；z为实数时,错；a b 0时,(ab) (a b)i 0错；正确.2.复数的几何意义（m R, i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限高中数学复数【答案】【解析】【例6】【答案】【解析】【例7】【答案】 【解析】【例8】3 z 2的复数z的集合是(由已知zm_2_ (m 2i)(1 2i) 1Km 4) 2(m 1)i在复平面对应点如果在第一象限，则1 2i(

10、1 2i)(1 2i)5m 4 0 ,而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限m 1 0435右 一兀，一兀，复数(cos sin ) (sin cos )i在复平面内所对应的点在()44A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B结合正、余弦函数的图象知，当 3兀，勺兀时，cos sin 0, sin cos 0. 44如果复数z满足|z i z i| 2,那么z i 1的最小值是()A. 1B.&C. 2D. V5A设复数z在复平面的对应点为 Z ,因为|z i|z i 2,所以点Z的集合是y轴上以乙(0,1)、Z2(0, 1)为端点的线段.z i 1表示线

11、段Z1Z2上的点到点(1, 1)的距离.此距离的最小值为点Z2(0, 1)到点(1, 1)的距离，其距离为1 .A.13.13. i， i2222B.1111 - -i , - -i 2 2 2 2C.2.i222.i2D.3.i23.i2复数z表示的点在单位圆与直线z -表示z到点 21 . .31,0与点-,0的距离2 2【例9】相等，故轨迹为直线x 1),故选D.2已知复数(x 2) yi(x , y R)的模为J3 ,则上的最大值为 x,3 x 2 yi 邪,（x 2）2 y2 3,故（x,y）在以C（2,0）为圆心， 布为半径的圆上， 表示圆上的点（x, y）与原点连线的斜率.如图，

12、由平面几何知识,易知 2的最大值为强.x【例10】复数z满足条件：|2z1 |z i ,那么z对应的点的轨迹是（【例11】【例12】A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线化简得:yi ,则有（2x1) 2yi| |x(y 1)i ,(2x 1)22(2y)222x2 (y 1)2,5,故为圆.9z z0的几何意义为点z到点Z0的距离;zz0复数z1 ,设复数z,r（r 0）中z所对应的点为以复数z。所对应的点为圆心，半径为r的圆上的点.z2满足犯 0I Izi2z2 ,证明：马z20.z2在复平面上对应的点为Zi行四边形为矩形,也可设z1abiz1a biz2c di已知复数z1Z2,由 ziz2

13、z2知，以uuuu。乙ULUUI人OZ2为邻边的平z2(acUULU uiurOZ1 OZ2 ,故可设c di ,则由向量bd) (bc ad)i2.2c dbc cki(k R, k(a , b)与向量(cad.d71z270),2所以马z22.2id）垂直知ac bd20,故当z21,且 ziz22乙z24,求二与z1zz2的值.47.i 3设复数z14.z2在复平面上对应的点为Z1, Z2,由于(71)2(1 1)242,乙z2故以Ouu, Our为邻边的平行四边形是矩形，从而uiurOZ1ULUUIzOZ2 ,则二z2,7 17 1i4 .7.i ；3高中数学复数Page 19 of

14、16【例13】z2J3，求 Zi z2 .【解析】设复数z,，z2,uuiiruuur 人Z1 Z2在复平面上对应的点为 Z-Z2,Z3,由引|Z21知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，记O所对应的顶点为P,PZQ 120 （可由余弦定理得到）,故 Z1OZ2 60 ,【例14】从而Z1已知复数z满足(2 、,3i)z (2T3i)4 ,求 dz的最大值与最小值.dmax【解析】设zx yi ,则(xy）满足方程（x22 y2) 1 .4d, x2y2 x2 41 (x3x 8 3283又1< x< 3,故当x 10时,dmin 1 ；当8 3乎时，有dmax2 2133

15、.复数的四则运算【例15】已知m R ,若（m6 mi)则m等于（【例16】【例17】A.2B.夜C.D. 4(m mi)6m6 (2i)38im664i计算:511原式(22i)121.3i)9-12122 (1 i)已知复数Z1A.z1(2 3i)100(1cos i2.3i)100(i 2、.3)10°100i(i 2 3)z2sin29(则Z1B.Z2I |(cosi)(sini) I I (cos212(2i)613 .、9-i) 221(V029 1Z2的最大值为（C_6C2D.sin 1) (cos sin)i(cos sin1)2 (cos sin )2【例18】【答

16、案】【解析】【例19】【答案】【解析】cos sin 2故当sin2 1时,对任意一个非零复数(1)设z是方程x1sin2 22为零的概率P;1 2z2有最大值32定义集合Mzw | w0的一个根，试用列举法表示集合(2)若集合Mz中只有3个元素,，2)z ”(1) z是方程x21 0的根,试写出满足条件的一个Mz .若在Mz中任取两个数，求其和z值，并说明理由.i,不论Mz i , i2i3, i4 i , 1, i ,1,2PC4是Mz z, z2, z3或取解关于x的方程x2 5x 6X1 3 i, x22 .错解：由复数相等的定义得分析： a bi c di否为实数.法一：原方程变形为

17、 x2(x2)i13. i .220.5x 6 02 0c,且b(5 i)x 6二次方程求根公式得Xi：原方程的解为Xi(说明：只需写出一个正确答案).d成立”的前提条件是2(5 i)4(62i)2i法二：设xbi(aR)，但本题并未告诉x是2(1 i) .(5 i) (1 i)(ax2(5i) (122(a5a6)(2ab5b由得:5b2b 12bi) 5(aa 2)ibi)2ab(ab25bbi2)i0,5aa，代人中解得：b【例20】【解析】【例21】【例22】【例23】故方程的根为x13 i, x2 2 .已知Z1围. (1Z24二 x22a)x2 (12a2a综上，aZ2(x2a)i

18、 ,对于任意x R,均有司 国成立，试求实数a的取值范0,即0时,关于x的方程a2)1 (x2a)2,R恒成立.1a -时，不等式恒成立;21 2a 04(1 2a)(1a2) 0(2a i)x ai1 0有实根,求实数a的取值范围.误：方程有实根,(2 ai)24(1ai)4 a2 50.析：判别式只能用来判定实系数与1 ai并非实数.二次方程2ax bxc 0(a 0)根的情况，而该方程中2a i正：设%是其实根，代入原方程变形为2x02ax0(ax0)i0 ,由复数相等的定义，得2 xqx02axoa 0设方程x2解得k综上，k2xk 0的根分别为为实数，则为虚数，则()23.求实数用数

19、学归纳法证明:4k> 0 且4k)2()244 4k(2v/2)2,共机,)24k (2扬2,解得k 3.(cosisin)n cos(n)isin( n ), n N .并证明(cos isin ) 1 cosisin ,从而(cos isin ) n cos(n ) isin(【解析】n 1时，结论显然成立;若对n k时，有结论成立，即(cos isin )kcos(k ) isin( k ),则对n k 1(cos isin )k1(cos isin)(cos isin)k由归纳假设知,上式 (cos isin)cos(kisin( k )(cos cosksin sin k )

20、icossin(k )sin cos k cos(k 1)isin( k 1),从而知对n k命题成立.综上知，对任意N ,有(cosnisin )cos(n ) isin( n易直接推导知:【例24】(cos isin故有（cos(coscos(若cos求证:isin)(cosisin )isin ) (cos( ) isin(1.一.cosisin)n (cosisin( n )isin 是方程a1 sina2 sin 2isin)n(cos()cos(nn 1a1xisin( n ).na?xL an sin n)(cos isin)cos0 isinOisin( )nanxanR）的解

21、,将解代入原方程得:(cos isin)n a1 (cosisin)n 1 Lan将此式两边同除以（cosisin）n,则有:1,1 a1(cos isin ) a2(cosisin ) 2 Lan(cosisin ) n 0 ,即 1a1 (cos isin )a2 (cos2isinan(cosnisin n ) 0 ,(1 a1 cosa2 cos2an cos n )i(a1 sina2 sin 2L an sin n ) 0由复数相等的定义得a1sina2 sin 2ansin n 0 .【例25】设x、y为实数，且工1 i【答案】4解析由与-二一知, 1 i 1 2i 1 3i即（

22、5x 2y 5） （5x 4yy5,贝 U x y =1 2i 1 3ixy5-(1 i) -(1 2i) (1 3i), 251015)i 0 ,5x 2y 50/口 x 1故,解得 ，故x y 4 .5x 4 y 15 0y 5【例26已知 工是纯虚数，求z在复平面内对应点的轨迹. z 1【答案】以 1,0为圆心，1为半径的圆，并去掉点（0 , 0）和点（1,0）. 22【解析】法一：设 z x yi （ x, y R）,2则三 x yi x（x 1）2y 2yi是纯虚数，z 1 x 1 yi （x 1） y故 x2 y2 x 0（y 0）,即z的对应点的轨迹是以1,0为圆心，1为半径的圆

23、，并去掉点 （0, 0）和点（1, 0） .22法二：三是纯虚数, z 1 二 0, z(z 1) z(z 1) 0,得到 2z2 z z, z 1 z 122设 z x yi(x, y R),贝Ux y x(y 0)1z的对应点的轨迹以-,0为圆心，二为半径的圆，并去掉点（0,0）和点（1, 0）.22【例27】设复数z满足z 2,求z2 z 4的最值.【解析】由题意，z2 z z 4,则z2 z 4z2 z zz z(z 1 z)设 z a bi( 2WaW2, 2 < b < 2),贝U z2z 42 abi1a bi 2 2a 1 .;当 a1 时，z2z40,此时 z -

24、M5i；2min22当 a 2时，z2 z 410,此时 z 2.min【例28若f (z)2z z 3i , f (z i) 6 3i ,试求 f ( z).【答案】6 4i【解析】f （z） 2z z 3i , f(z i) 2(z i)(z i) 3i 2z 2i z i 3i2z z 2i.又知 f(z i) 6 3i ,2z z 2i 6 3i设 z a bi (a2(a bi)(a bi)3a 6由复数相等定义得6 ,解得a 2, b 1 . . . z 2 i .b 1故 f ( z) f ( 2 i) 2( 2 i) ( 2 i) 3i【点评】复数的共轲与模长的相关运算性质:设

25、z x yi(x,y R）的共轲复数为贝U z z 2x; zz为实数z20z2z2;z为纯虚数0(z 0)；对任意复数有Z，zz2ziz2 ,特别地有(z)2ziz2z2刍；|z2 z%z2 zz .z1 z2|zj |z2ziIz2z2 W z2z2 .以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明.【例29】已知虚数为1的一个立方根,即满足3对应的点在第二象限，证明2的值.11 0; 12 法一：1 (x1)(x2x 1)_3i2 °由题意知_3.2 ，证明与计算略;法二:由题意知3 1,故有（1)(1)1 0.【点评】利用又实系数方程虚根成对出现,由韦达定理有211 3i

26、的性质:23n3n 10的两根为3n 22 /(nZ), 120可以快速计算些相关的复数的哥的问题.【例30】石a°aia2a32na0aia2a2n求证:a3a4a7a2【解析】a。aia2a32n例3i (a0(a0则有a3a3a0a6(aia4a7(a2a5a6a32A Ba4a7(a2a5a8a6(B C)设z是虚数，w(i)(2)(3)(i)aia4a7a2a5求z的值及(i)设 z解得Ai -、一-是实数，且 zC,z的实部的取值范围;求证：u为纯虚数;2u的最小值.z的实部的取值范围是-Ji即a°a3a6a4a7a2a5(i(3) i.bi a bi因为w是实

27、数，b 0,所以a2于是w 2a, i w 2a所以z的实部的取值范围是i a bi因为(3)bii a(ia72bi b,i ，所以u为纯虚数.2ab2(a i)22a工2a(a i)22a2 (ai)高中数学复数Page 21 of i6一， 1 ，因为a ，1 ,所以a 1 0, 2故 w u2 > 2 2j(a 1)3 4 3 1.a 1当a 1 ,，即a 0时，w u2取得最小值1.a 1【例32】对任意一个非零复数z,定义集合Mz w|w z2n 1 , n N.1_(1)设是方程x1 夜 的一个根，试用列举法表示集合 x(2)设复数Mz ,求证：M(1) Mi)2T(121

28、)，学(1 i)；(1) 是方程x2的根,2T(12T(12T(1i)i)i)时，时,i)i)，Mz,，存在于是对任意n N ,由于(2m2T(1Ydi)2n 11(12)ni2(1i)，i)，使得i)i)，2季(1 i),*1 i) '2会1二(122n 1(2m 1)(2n 1)z .1)(2n 1)是正奇数,i)i)2m 1 z2n 1Mz ，,2T(1二(12i)i)【例33】已知复数zo 1 mi(m 0) , z x yi和w x y i ,其中x , y, x , y均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数 z,有w z0z, w 2 z .(1)试求m的值，并分别写出x和

29、y用x,y表示的关系式；(2)将(x, y)作为点P的坐标，(x , y)作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q .当点P在直线y x 1上移动时，试求点P经该变换后得到的点 Q的轨迹方程;?若存在，试求(3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上出所有这些直线；若不存在,则说明理由.高中数学复数Page 24 of 16【答案】(1) x x 褥y ； (2) y (2 y . 3x y(3)这样的直线存在，其方程为3 -y x或y3【解析】(1)由题设,Zo zZo|z2z,Z02,于是由1因此由xyi(13i)(x yi)3y(J3x y)i ,得关系式x y3