2018高考全国2卷理科数学带答案

1、绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。2 .选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用0. 5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。、选择题：本题共12小题

2、，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。1 2i _2 -2i4 3. i 5 5B.，+3i5 5C.3 4. i 5 5D.2.已知集合 A=(x,y)|x2 +y293,xWz,yW Z,则A中元素的个数为4.已知向量 a, b 满足 | a |=1, ab= T ,贝U a 0,b 0)的离心率为 则其渐近线方程为 a bD.A . y = V2xB . y = V3xC. y =- x26 .在 ABC 中，cosC=5, BC =1 , AC =5,则 AB =25A. 4庭B,向C.国D. 2用，一 111117 .为计算 S =1 - +-

3、-1+-2 3 499 100序框图，则在空白框中应填入A. i =i 1B. i =i 2C. i =i 3D. i =i 4,设计了右侧的程哥德巴赫猜想是每8 .我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.30的素数中，随机个大于2的偶数可以表示为两个素数的和，如30 J戈3 .在不超过“1A.12-18 . 一149 .在长方体 ABCD ABC1D1中,C.AB=BC =1 ,1D . 15AA =出,则异面直线118AD1与DB1所成角选取两个不同的数，其和等于30的概率是的余弦值为D.A. 1B.世C.色56510 .若f (x) =cosxsinx在-a,a是减函

4、数，则 a的最大值是A.B.C.红D.无42411 .已知f(x)是定义域为(-,收)的奇函数，满足 f (1x) = f (1+x).若f (1) = 2 ,则 f (1) f (2) f(3) I f(50)工A. -50B. 0C. 2D. 502212 .已知E, F2是椭圆C:，+y2=1(a：bA0)的左，右焦点， A是C的左顶点，点 P在 a b过A且斜率为3 ，,的直线上， PF1F2为等腰三角形，/F1F2P =120,则C的离心率为64小题，每小题5分，共20分。D.-4A. 23二、填空题：本题共13 .曲线y=2ln(x+1)在点(0, 0)处的切线方程为x 2y -5

5、 0,14 .若x, y满足约束条件dx2y+3 0,贝U z=x + y的最大值为 x-50)的直线l与C交于A , B两点,|AB|=8.(1)求l的方程；(2)求过点A , B且与C的准线相切的圆的方程.20 . （12 分）如图，在三棱锥 P _ABC中，AB=BC =2,PA=PB =PC=AC =4 ,。为 AC 的中点.(1)证明：PO,平面ABC ；求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在BC上，且二面角 M _PA_C为30,21 . (12 分)已知函数f(x)=exax2.(1)若 a =1 ,证明：当 x0 时，f (x) 1;(2)若f (x)在(0,七)只有

6、一个零点，求 a .(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22 .选彳4- 4:坐标系与参数方程(10分) x =2cos &在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x, (。为参数)，直线l的参数方j=4sin 0,工口 4 x =1 +t cos O, / , 有、程为W(t为参数).y =2 +tsin(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.23 .选彳4- 5:不等式选讲(10分)设函数 f (x) =5|x+a|x2| .(1)当a=1时，求不等式f(x)0的解集；(2)

7、若f (x) 0).设 A(xi,y) B(x2, y2),V =k(x-1),2 222由2得k x -(2k +4)x + k =0.y =4x2- 八2k24A=16k +160,故 x1+x2=2k,2，_4k 4所以 | AB|=| AF | | BF 1-(x1 1) (x2 1)k4k2 4由题设知 一=8,解得k = -1 (舍去)，k=1 . k2因此l的方程为y =x1 .(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为 y 2 = (x 3),设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则yo 二-x。5,2(x0 1)(y0-x0+1)2 +162x0XQ

8、 3 3,解得 ,。二2x0 = 11,V。二 一6.因此所求圆的方程为(x3)2 +(y -2)2 =16 或(x11)2 +(y+ 6)2 =144 .20 .解:(1)因为 AP=CP = AC=4,。为 AC 的中点，所以 OP_L AC ,且 OP = 2，3.连结OB .因为AB = BC2-人，生曲+八八/ AC ,所以ZXABC为等腰直角三角形, 21且 OB _L AC , OB =AC = 2 .2由 OP2 +OB2 =PB2 知 PO _LOB .由 OP _L OB,OP _L AC 知 PO，平面 ABC .uur(2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，

9、建立空间直角坐标系 O xyz.uur由已知得 O(0,0,0), B(2,0,0), A(0,-2,0),C(0,2,0), P(0,0,2 曲)，AP = (0,2,2 套)，取uur平面PAC的法向量OB = (2,0,0).uuur设 M (a,2 -a,0)(0 a 2),则 AM =(a,4 -a,0).设平面PAM的法向量为n =(x, y,z).uuu由AP nuuir2y 2,3z = 0-0, AM n =0得 2y0 ,可取ax (4 -a)y = 0n (/3(a -4), 3a, a),.uur所以 cos：OB,n2 3(a -4) .由已知得2,3(a -4)2

10、3a2 a2uur .3| cos：OB, n ： | = 所以2 3|a -4|2.3(a -4)2 3a2 a2=.解得a = Y (舍去)，2所以, 8.3 4.3n =( 一,33uur,-).又 PC =(0,2,-所以PC与平面PAM所成角的正弦值为421 .解：(1)当 a=i时，f (x)至 1 等价于(x2 +l)e -1 0 .设函数 g(x) =(x2 +1)e -1 ,则 g(x) = -(x2 -2x+1)e = -(x-1)2e .当x#1时，g(x) 0,所以g(x)在(0,+s)单调递减.而 g(0)=0,故当 x20时，g(x) 1 .(2)设函数 h(x)

11、=1 -ax2e、.f(x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,十无)只有一个零点. 当a40时，h(x)0, h(x)没有零点；(ii)当 a0时，h(x) = ax(x2)e .当 x w (0,2)时，h(x) 0 .所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,收)单调递增.4a故h(2) =1 -可是h(x)在0,收)的最小值. e2e一若h(2) 0,即a h(x)在(0,收)没有零点;4 e若h(2) =0,即a= h(x)在(0,也)只有一个零点;42若h(2)之，由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点,4由(1)知，当x 0时,ex x2,所以16a3h(

12、4a) - 1-4a- = 1e16a3/ 2a、2(e )16a311 4 =1 0 .(2a)a故h(x)在(2,4 a)有一个零点,因此h(x)在(0,也)有两个零点.2综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a=e.422.解：22(1)曲线C的直角坐标方程为土+匕=1.416当cosa #0时，l的直角坐标方程为 y=tanu x+2-tana ,当cosa =0时，l的直角坐标方程为 x = 1 .(2)将l的参数方程代入 C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1 +3cos2a)t2 +4(2cos cc +sina)t -8 =0 .因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在

13、C内，所以有两个解，设为 t1, t2,则 t1，tz = 0 .4(2cos sin)又由得t1 +t2 = -(-cos2s一) ,故2cosa十sina = 0 ,于是直线l的斜率 1 3cos2 :k = tana = -2 .23.解：2x 4,x 三-1,(1)当 a=1 时，f(x) =2,1x2.可得f(x)之0的解集为x|2EXE3 .(2) f(x)1 等价于 |x+a |+| x2 住4 .而|x+a| +|x2以a +2|,且当x = 2时等号成立.故f(x)芸1等价于|a + 2|之4 .由|a+2m4可得aw-6或a 之2,所以a的取值范围是(叫6|J2,).21

14、(12 分)已知函数f (x) =ex -ax2 .(1)若a =1,证明：当x至。时，f (x) 1 ；(2)若f (x)在(0,也)只有一个零点，求 a .解：(1) f(x)=ex2x, f(x)=ex-2.当 x ln2 时，f “(x)0 ,所以 f (x)在(g,ln 2)单调递减，在(In 2,y)单调递增，故 f (x) f (ln 2) = 2 2ln 2 A 0 , f (x)在(-,收)单调递增.因为x之0 ,所以f(x) f (0) =1 .xe2, 当x 0时，设g(x) =- -a，则f (x) =x g(x) , f (x)在(0,)只有一个零点 x等价于g (x)在(0,y)只有一个零点.g (x)=ex(x-2)，当 0 cx 2 时，g(x) 2时，g(x) 0 ,所以 g(x)在(0,2)2单调递减，在(2,