七年级上册几何提优：与角相关的问题

1、几何提优二与角相关的问题阅读与思考角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角.角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形按角的大小可以分成锐角、直角和钝角.由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角白角仍然得到我们的特别关注.两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位 .解与角有关的问题常用到以下知识与方法：1 .角的分类；2 .角平分线的概念；3 .互余、互补等数量关系角；4

2、 .用方程的观点来进行角的计算 .例题与求解【例1】如图，在3X3的网格上标出了/ 1和/2,则/1+/2=解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出N1+N2的值.【例2】如果/“与互补,且,则下列表示 /P的余角的式子中：903-ZP ；/a 90电；1（/a +/P）；1（50（ -/P）.其中正确的有（）22A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关【例3】已知/AOB=80，OC是不在直线 OA, OB上的任一条射线.OM, ON分别平分/ AOC,/BOC.求/ MON的大小.（题目中考虑的角都小于平角）AOi3

3、9A解题思路：因OC位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过 x分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求 x的值.解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x的代数式表示，通过解方程求出x的值.【例5】(1)现有一个19。的“模板”(如图)，请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上 画出1的角来.(2)现有一个17。的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1。的角来？(3)用一个21。的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1。的角来？对(2) (3)两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由 解题思路：若只连续使用模板

4、，则得到的是一个19。(或17。或21。)的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到 19。(或17。或21。)的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差10.【例6】如图所示，O是直线AB上的一点，/ COD是直角，OE平分/ BOC.(1)如图，若 ZAOC =30 ,求/ DOE的度数；(2)在图中，若 NAOC =0 ,直接写出/ DOE的度数 (用含”的代数式表示)；(3)将图中的/ DOC绕顶点O顺时针旋转至图的位置.探究/ AOC和/ DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； 在/ AOC的内部有一条射线 OF ,满足ZAOC -4ZAOF =2/BOE +/AOF，试确定

5、/ AOF与 /DOE的度数之间的关系，说明理由图ECO解题思路：(1)利用互余、互补关系易求出/DOE的度数；(2)先根据/ DOE与/COE的互余关系列出相应的关系式，然后用/BOC表示出/ COE,再根据互补角的关系用“表示出所求角的度数；(3)可设ZBOC为一个未知数，分别表示出/ AOC与/DOE,可得相应关系；结合把所给等式整理为只含所求角的关系式即可能力训练1 .已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于2 .如图，ZBOD =45、ZAOE =90 那么不大于 90的角有 个，它们的度数之和3 .如图，ZAOC =/BOD =150,若 ZAOD =3/BOC ,则

6、/BOC 等于D4 .如图，O是直线 AB上一点，ZAOD =120, /AOC=90： OE平分/ BOD,则图中彼此互补5 . 一个角的补角的 工是6。，则这个角是（）17A. 68 B. 78 C. 88 D. 98 6 .用一副三角板可以画出大于0且小于176。的不同角度有（）种A. 9 B. 10 C. 11 D. 127 .如图，若ZAOB=180S, / 1是锐角，则/ 1的余角是（）A. 1. 2 - 1 B. 1 2-3. 1 C.2-. 1) D.-(. 2 . 1) 222238.如图，ZAOB =180, OD是/ COB的平分线，OE是/ AOC的平分线, 的余角相等

7、的角是()设ZBOD =a ,则与eA. / COD B. / COEC./DOA D. Z COA9.如图，已知 NCOB=2/AOC, OD 平分 / AOB,且/COD =19, 求/AOB的度数.10 .如图，已知/ AOB与/ BOC 互为补角，OD 是/ AOB的平分线，OE 在/ BOC内，1一 ，、，, -，/BOE=/EOC, /DOE =72。求/ EOC 的度数. 211 .已知 /AOB=80 , OC 平分/AOB, /COD =60) OE 平分 Z COD.求 / AOE 的大小.12 .如图，已知 OB, OC, OD为/AOE内三条射线.(1)图中共有多少个角

8、?(2)若OB, OC, OD为/ AOE四等分线，且图中所有锐角的和为400 ,求/ AOE的度数.(3)若/AOE =89*, ZBOD =30,求图中所有锐角的和B级1 .已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10 ,则这个角的度数是 .2 . a, 3, 丫中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算(a+P+Y)的值时，有三位同15学分别算出了 23 , 24。，25。这三个不同的结果.其中只有一个是正确的答案，则 o(+P+= .3 .如图，点O在直线AB上，OC, OD, OE, OF是位于AB同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.ECDaJ O4 .如图，射线

9、 OC, OD, OE, OF分别平分/ AOB,则 ZAOB =.A / O5 . 4点钟后，从时针到分针第二次成90。角，共经过（A. 60B. 30C. 40D. 336 .如图卷一个3X3的正方形，则图中 /1+N2+N3 +A. 270B. 315C. 360D. 405 / COB, /AOC, /EOC,若/FOD=24。:）分钟（答案四舍五入到整数）|+N9的和等于（）32F7 .已知，OM, ON, OP 分别是/ AOB, / A. /AOP a/MON B. /AOP =/MON8 .如图，/ AOC 是直角，/COD =21.5,AOE Q ()BOC, / AOC的平

10、分线，则下列各式中成立的是（）M p b bOC. /AOP 0,且 m-2n 与(6-n)2 互为相反数。m-2n =02且(6- n) =0。 m = 12 ,门=16,即庆8=12, CD =6(2)有两种情况，如图.V 3国111.1.1 .当 C 在 AB 上时，MN =-AC + BC+-BD = -(AB- BC) + BC+(CD- BC)二一？ 222221 .(12-4)+4 + ? (6 4)=9；当 C 在 AB 的延长线上时，MN =MB +BC+CN = AB 2+ BC +CD - AM - ND1八1八，一= 12+4+6- -? (12 4)- -? (4 6

11、) = 22- 8- 5 = 9 ,综上可 22知，MN =9(3)作图如图 ，结论 正确，设BP =x，则AP = 12 + x, PC=6 + xPA+PB x + 12+x 12 + 2x=2 ,当然对于 我们也不难找出其值不为PC6 + x6 + xPA- PB x + 12- x 12定值的原因。 * =, x变化，其值也变化PC 6 + x 6 + xJ C 5P底1 5cm或1cm提示：当A , B在。点两侧时,A级4+6EF = 5cm ;当 A , B 在 O 同一侧2g6- 4时，EF =1cm2 2023 41.6 提示：所有线段长度总和为 4AB+6BC+6CD+/AO

12、C = 80x, . MON = / MOC + / NOC = 40.(2)如图，若 OC 在 AOB 内，设/ BOC = x,则/ AOC=80 + x./ MON = / MOC / NOC = 40.(3)如图，若 OC 在 /AQB内，设/ BOC =x,则 / AOC = 280 x./ MON = / MOC + / NOC= 140.(4)如图，若 OC 在/AOB 内，设/ BOC = x,则/ AOC = x-80./ MON = / NOC / MOC = 40,综上所述：/ MON = 40或 140 ,例4x= 14竺提示：显然x的值大于1小于2, 1427依题意得

13、 6x 360(x-1)=360(x-1)-0. 5x.例5提示：设 模板”角度为“，假设可由k个口角与t个180。角画出1。的角来，即k, t满足等式ka 180t= 1 .(1)当a= 19时，取k=19, t=2,即用模板连续画出 19个19的角，得到361的角，去掉360的周 角，即得1。的角.(2)当a= 17时，即17k- 180t=1,此时，k=53, t=5是一组解，即用模板连续画53个17的角，得到901。的角，除去两个周角和一个平角，即得 1。的角.(3)当a= 21时，即21k 180t=1无整数解，不能用 21的模板与铅笔画出1的角.例 6 (1) /BOC=180/

14、AOC=180 30 = 150 .又 QE平分/ BOC, Z COE= 1 Z BOC= 75, Z DOE = 90 - 75 = 15.2a.(2) / DOE =90。- 180 - = !22/ AOF =y.则(3)/ AOC= 180 - 2Z COE = 180 2(90 Z DOE) = 2Z DOE ;设/ DOE=x, / AOC 4/AOF = 2/ DOE 4/ AOF = 2x 4y. 2/ BOE + Z AOF = 2/ COE + Z AOF = 2 ( 90 / DOE) +/AOF = 2 ( 90-x ) + y= 180 2x+y.故 2x4y=18

15、0 2x+ y,即 4x5y=180 .所以 4/DOE 5/ AOF = 180 .A级1. 722. 10 450 提示：一共有 10 个角，其中/ AOE = 90, /BOD = 45, / AOB 十/ BOE = 90, / AOC + /COE=90, / AOD+/ DOE = 90, / BOC + / COD = 45 .故这 10 个角的度数和为 90 4 + 45X2=360+90= 450.3. 304. 6 提示：/ AOC 和/ BOC, / AOD 和/ BOD , / AOE 和/ BOE, / AOE 和/ DOE , / AOE 和/ COD , / AO

16、D 和/ COE.5. B 6. A7. C 8. B319 . 114 提小：设/ AOC = x ,是/ BOC = 2x , /AOD=(x) , /COD=(x) , /AOB = /AOC + 22/ BOC = 11410 .设/ AOD = / BOD=x，则/ BOC= 1802x.又. / BOE= 1/EOC, ./ BOE= 1 /BOC= - (180 - 2x)233又 / BOD + /BOE = /DOE = 72。，.X+1(180。2x) = 72,解得 x=36 .3则/ EOC= 2 /BOC= 2(180。一2x) = 72.3311. (1)如图，若

17、OD 在/AOB 内时，. / AOC = Z BOC= 1 Z AOB = 40, /COE = /DOE=1/22COD = 30, ./ AOE=Z AOC + Z COE=70.(2)如图，若 OD 在 /AOB 内时，同理，/ AOC = 40, ZOOE = 30, Z AOE= Z AOC-Z COE = 10.综上所述：/ AOE=70或10. 12. (1)共有：4+3+2+1 = 10 个角.(2) /AOE = 80.(3)所有锐角度数和为：416 .B级1. 502. 3453. 154. 64提示：设/ EOF = /COF = x,则/ AOE= 2x. . . / BOC = Z AOC = 2x+x+x= 4x, / COD = / BOD= 1 /BOC = 2x,又FOD = / FOC + / COD = x+ 2x=3x=24 , x= 80,/ AOB = 8x= 64 .25. D6. D沿AB对折，上下图形能够完全重合，则/1+Z 9=Z 4+Z 8=Z 2 + Z 6= 90.7. B8. D9,提示：/ COE+Z BOE= 90, / DOF =45, Z AOF + Z BOD = 135.10 .由题中条件知/ A30A2/A20A1 = 2 ，/ A40A3/