MATLAB改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程

1、姓名：樊元君学号：姓12200902日期：2012.11.06一、实验目的掌握 MATLABMATLAB 言、C/C+C/C+ 言编写计算程序的方法、掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。掌握使用 MATLABMATLAB 序求解常微分方程问题的方法。二、实验内容1 1、分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果,要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。卜=-V2求丁()=2 210103X5),3X5),步长 h=0.25h=0.25。2 2、实验注意事项fy=一

2、靖二的精确解为】=?嵬十通过调整步长，观察结果的精度的变化三、程序流程图:改进欧拉格式流程图:四阶龙格库塔流程图:开始Ia洪入栗据步长h;初像点(黛效值敏一CK.Y)一EMxl=xO+h;kl=f(xO,yO)；k2=f(xO+h/2,yO+h/2*kI);k3=f(x0+h/2.y0+h/2*k2)；k4=f(xl,yO+h*k3)；yl=yO+h/6*Ckl+2*k2+2*k3+k4).确出xl,yl.y(y*析的原函数精确解i=i+l；xO=xl；yO=y1四、源程序：改进后欧拉格式程序源代码:function=GJOL(h,x0,y0,X,Y)formatlongh=input(h=)

3、;x0=input(x0=);y0=input(y0=);disp(输入的范围是：)；X=input(X=);Y=input(Y=);n=round(Y-X)/h);i=1;x1=0;yp=0;yc=0;fori=1:1:nx1=x0+h;yp=y0+h*(-x0*(y02);%yp=y0+h*(y0-2*x0/y0);%yc=y0+h*(-x1*(yp2);%yc=y0+h*(yp-2*x1/yp);%y1=(yp+yc)/2;x0=x1;y0=y1;y=2/(1+x0A2);%y=sqrt(1+2*x0);%fprintf(结果=%.3f,%.8f,%.8fn,x1,y1,y);enden

4、d四阶龙格库塔程序源代码：function=LGKT(h,x0,y0,X,Y)formatlongh=input(h=);x0=input(x0=);y0=input(y0=);disp(输入的范围是：)；X=input(X=);Y=input(Y=);n=round(Y-X)/h);i=1;x1=0;k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;fori=1:1:nx1=x0+h;k1=-x0*y0A2;%k1=y0-2*x0/y0;%k2=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k1)A2);%k2=(y0+h/2*k1)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k1);%k3=(-(x0+h/2)

5、*(y0+h/2*k2)A2);%k3=(y0+h/2*k2)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k2);%k4=(-(x1)*(y0+h*k3)A2);%k4=(y0+h*k3)-2*(x1)/(y0+h*k3);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%x0=x1;y0=y1;y=2/(1+x0A2);%y=sqrt(1+2*x0);%fprintf(结果=%.3f,%.7f,%.7fn,x1,y1,y);endend五、运行结果：改进欧拉格式结果：GJOLh=0.25x0=0y0=2 输入的范圉是：X=0Y=

6、5结 果 25“1.87600000,1.88235294 结 果 =0.500,1.59389108,1.60000000 结 果 二 Q.750,L28239QQ 需1.28000000结果=1,000,1.00962125,1.00000000结果=1.250,0,79318809,0.73048780结果=1.500,0,52815123,0.61538462 结果二】.750*0.50372g540.4923076S 结果=工 000,0.40966655,0.40000000结果二2.250,0.33786499,0.32939691结果=2.500,0,2823574S,0.27

7、5S6207结果.2,750,0,23885673,0.23357564结果二工000,0,20429990,0.20000000结果二工25“0.17648S88,0.17297297 结果二 3.500,0.15383629,0.15094340 结果=3.750,61351747%0.13278008 结果二，000,0.11964242,0.11764706 结果 E.250,0,10659158,0.10-191803 结果 E.500,0,09553028.0.09411765结果 E.150,0.03608040,0.O848SO64 结果=5.000,0.07794807,0.

8、07692308四阶龙格库塔结果:LGKIh=0,25xO=Oy0=2输入的范围是：X=0Y=5菇果二。5al.8823080,1,8823529绪果R.5MJ,错98962,1,6000000结果=0:5 也 L2；9M；3,L2800000 绪果 二 L000,1.0000271,1,0000000菇果=1.250,0.78055 同,0.内 0 捐78 箝果=1.EMQ.Q,6153846750,0.4923742,0,4923077结 果 =2. 0.4000543,0.4000000结果=2.250,0,3299396,0.3298969结果=L500,0.275895E,0.2；5

9、8e1SR=2.760,0.2336023,0.2335766给果二3.MQ。，2000200,0.20000003.250,0.1729886,。*1729730转果=1500,0.150a558,0.1509434 给果:工750,0.1327899,0,1327801 结果二工如 0,。 .11550， 口， 口： 6471结果=4.25QJJ0492茹J.1Q4918Q菇果二，制仇 0,0941229,0.0941176菇果工， 750,Q.0848850,0+0848806结果=5.000,0,0769267,0.0769231LGKTh=0,1x0=0yO=2输入的麴困是：X=0Y

10、=5结果才，100,L9801978,1.9S01980结果二口 ,200,I.9230763,1,9230769 结果=。.300，1.8348612fL0348624结果二加400,1.7241364,L7241379结果=0.500,1.5999984,1.6000000结果印.6QQ,L47。 587al4058 腔结果=0,700,1.3422812,1,3422819结果 R.80Q,L2195122,1,2195122 结果 R.90Q,L1049731,1.1049724 结果:1.000,1.0000012,1,0000000结果二1.I。，0.904&790,0.9

11、049774结果=L2Q0J.819673%。,倒翻 721 转果=1.3 她 0,7434963,0. ： 4 果944SSIhl.400,0.67果7740.6756757结果二1.500,0,6153865,C.6153846结果:L600,0.561Tg96,0.5617978 结果:1.；00,0.5141405,0.5141338结果二l,8Q0,Q,4716997/,4716981 结果1,9 叫 0.4338409,0.4338395 结果=2,000,0.4000013,0,1000000结果=2.1。0，0.369B870,0.3696853结果=2200,0.342466

12、8,0,3421658结果 :Z300,0.3179660,0,3179650结果二工100,0.2958589.0.2958580 箝果=2,而0川 ,2768629,0.2758621S1=2.600,0.2577327,0.2577320结果=?.700,0.2412552,0.2412545结果=2,800f0.226244930.2262443结果 go。，口.2125404,0.2125399储淤 3.0.2000005,0.20000009-3.10010.1935018,0,1885014绪果=3.200,0,1779363,0.1779359情彩二 300,0.i6S2oaa

13、fo.isssose 结果二工400,0.1592360,0,1592357itnt=3.500,0,1509437,0.1509434箝 果=3.60SQJ43266L0.1432665结 果F,700,0.1361473,0,1361470 结果=3.800.125339,0.1295337900,0.1233G0E,0.1233306结果:4.000,0.1176472,0.11 芯仃 1箝果1QQJJ122的6,0,1122965=4.200,1072963,0,1072961 结 果 二 !*3 。 口 ，口 .1Q28169, 。 *102518 ： 结 果=4.400,0.098

14、2320,040982313结果:4.500,。.09411 通仇 0941176结果二4,600,Q,Q9Q252&0,0902527 结 果F,7t0.0866177,0,0866176 结 果E.800,0.0831948,0.0831947 结果0.0799631,Q.0 ： 996so结 果 =5.QQO,tk0769232,0,0769231步长分别为：0.25和0.1时，不同结果显示验证了步长减少，对于精度的提高起到很大作用，有效数字位数明显增加。六、实验小结：通过这次实验学习，首先第一点对改进欧拉格式和四阶龙格库塔的原理推导有了深入的理解，改进欧拉格式采用(预报+校正)模式得到较精确的原函数数值解；而四阶龙格库塔则采用多预报几个点的斜率值，采用加权平均作为平均斜率的近似值的思想达到更高精度的数值解，二阶龙格库塔的特例就是改进后的欧拉格