2019年全国卷Ⅰ文数高考真题(含解析)

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3-i nrt ,1 .设 z =，则 z =1 +2iA. 2B.33C.22D. 12,已知集合 U =1,2,3,4,5,6,7

2、, A = 2,3,4,5, B=2,3,6,7,则8nLH 二A. 1,6B.1,7C.6,7D. 1,6,70 20 33,已知 a =log20.2,b =2 ,c=0.2 ,则A . a b cB. a c bC. cabD. b c 0,求使得Sn毋的n的取值范围.19 . (12 分)如图，直四棱柱 ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4, AB=2, /BAD=60, E, M, N分别是BC, BB1, A1D的中点.(1)证明：MN /平面 C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.20 . (12 分)已知函数 f (x) =2sinx-xcosx-x, f

3、 (x)为 f (x)的导数.(1)证明：f (x)在区间(0,另存在唯一零点；(2)若x 0,兀时，f (x)*x,求a的取值范围.21 . (12 分)已知点A, B关于坐标原点 O对称，Ab =4, OM过点A, B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求。M的半径;(2)是否存在定点 p,使彳导当a运动时，Ma - Imp I为定值？并说明理由.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .选彳4-4：坐标系与参数方程(10分)1-t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 t24t1t2t为参数)，以坐标原点

4、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为2Pcos0 + J3Psin8 +11=0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23 .选彳4-5：不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.证明：,11 1222(1) 一 + + Ma +b +c ； a b c(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 14 .201眸普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案1.C2.C3.B7.D8.B9.A二、填空题513.y=3x14.15.-48三、解答题、选择题17.解:4. B5. D6. C10. D11 . A12. B16

5、.圾40 一 一，、(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为一 = 0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概50率的估计值为0.8.300.6.女顾客中对该商场服务满意的比率为=0.6 ,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为50一 一2犬=100父（40父20 -30,104 76250 50 70 30由于4.762 3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异18.解：(1)设an 的公差为d.由 S9 = a5得 a1 +4d 0 .由 a3=4 得 a1 + 2d = 4 .于是 a1 =8, d = -2 .因此Qn 的通项公式为an = 10 2

6、n . 由（1）得a1= -4d,故 an= （n-5）d, Sn= nn-.2由a A0知d 0,故Snan等价于n2 11n+10, 0,解得1由w 10所以n的取值范围是的倭仙10, nw N.1(1)连结B1C,ME .因为M, E分别为BB1, BC的中点，所以 ME / BC ,且ME = B1C .又因为N 2、， 1为AiD的中点，所以ND=A1D.2由题设知A1B1= DC,可得BC= AD,故ME=ND ，因此四边形MNDE为平行四边形，MN / ED .又MN S平面CiDE ,所以MN/平面CiDE .(2)过C作CiE的垂线，垂足为H.由已知可得 DE_LBC, DE

7、_LC1C,所以DE，平面C1CE,故DE，CH.从而CH，平面CiDE ,故CH的长即为C到平面C1DE的距离，I由已知可得CE=i, Cic=4 ,所以CiE =折，故CH =47 I7从而点C到平面CiDE的距离为 47 .i720.解:(i )设 g(x) = f (x), 贝U g(x) =cosx xsin x7,g (x) = xcosx.,g(x)0 ；当 x=金，冗 时调递减.一f 冗)一 ，、 、一，一工又g(0) =0, g l0,g(力=2 ,故g(x)在(0,自存在唯一零点 2所以f(x)在(0,力存在唯一零点.(2)由题设知f (俞世砥f (冗)=0 ,可得aw0.

8、由(1)知，f(x)在(0,死)只有一个零点，设为x0,且当xw(0,x0 )时，f(x) 0;当x1x0,九)时， f(x)0,所以f(x)在(0,%)单调递增，在(%,乃单调递减.又 f (0) =0, f (时=0,所以，当 x0,1时,f(x)0.又当 a, 0,xw0,句时，ax0,故 f(x)ax.因此，a的取值范围是(笛,0.21 .解：(1)因为M过点A, B ,所以圆心 M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A, B 关于坐标原点 O对称，所以M在直线y = x上，故可设 M (a, a).因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r =| a + 2|.由已

9、知得|AO|=2,又 MO _ AO,故可得 2a2+4 = (a+ 2)2,解得 a=0或 a=4.故M的半径r =2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得| MA | -1 MP |为定值.理由如下:设M (x, y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2 .由于MO -L AO ,故可得x2 + y2 +4 = (x + 2)2 ,化简得M的轨迹方程为y2 = 4x .因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点，以直线 x = 1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.因为|MAHMP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1 ,所以存在满足条件的定点P.，1 t L 22

10、2 .解：(1)因为T 241 ,且x +1 tC”白皿2=1 ,所以C的直角坐标方程为x2 y- =1(x - -1).l的直角坐标方程为 2x十J3y+11 = 0 .x=cos：,，(2)由(1)可设C的参数万程为十(口为参数，冗以冗).y = 2sin ;) ( 7tL一4cos 1 11,|2cos =，2% 3sin ：一11|3C上的点到l的距离为=1 =、广 .7.7当口 = 时，4cos Q - 1+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为 J7 .3.322_22_2223.解：(1)因为 a +b 至2ab,b +c 至2bc,c +a 2ac,又 abc = 1,故有222ab bc ca 111a b c - ab bc ca =二一 -.所以 1 1 1 _ a