几种插值法的应用与比较 学年论文

1、 几种插值法的应用与比拟【摘 要 】插值法是现代数值计算中一个很重要的工具 ，在应用数学、物理学、天文学等其他领域都有重要的应用。本文对几种插值法的方法及区别进行了深入的探索 并对插值法在现代科技中的应用做了简要的说明。【关键词 】插值法；拉格朗日插值；牛顿插值；三次样条插值Interpolation Method Research and Application【Abstract】The interpolation of modem numerical calculation is an important tool in mathematics, physics, astronomy，an

2、d other fields have very important applicationsIn this paper, the application of several interpolation method and difference conducted in-depth exploration，and the interpolation method in the application of modem science and technology in a brief statement【Keywords】Interpolation Method；Lagrange inte

3、rpolation；Newton interpolation；cubic spline interpolation1   引言  在许多实际问题及科学研究中，某些变量之间的函数关系是存在的，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散点上的函数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有的函数虽然有表达式，但由于解析表达式过于复杂，计算起来很不经济，这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法.  由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值.多项

4、式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等.其根本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式.2拉格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在假设干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日插值多项式 2.1 拉格朗日插值多项式 在求满足插值

5、条件次插值多项式之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点中任一点，作一n次多项式，使它在该点上取值为1，而在其余点上取值为零，即上式说明个点都是次多项式的零点，故可设其中，为待定系数。由条件立即可得故 由上式可以写出个次插值多项式。我们称它们为在个节点上的次根本插值多项式或次插值基函数。利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的次插值多项式 根据条件，容易验证上面多项式在节点处的值为，因此，它就是待求的次插值多项式。形如的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为，即假设有某个多项式函数，它在三个点上的取值为：· ，· ，· ，要求的值.首先写出每个拉格朗日根本多项式：；

6、然后应用拉格朗日插值法，就可以得到的表达式为函数的插值函数：，此时数值就可以求出所需之值：.2.2 拉格朗日插值法优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析和简单应用中十分方便，然而，当插值点增加或减少一个时，原来的差值多项式不能利用，需要重新建立，于是整个公式都会变化，非常繁琐。此外，当插值点比拟多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在的几个点取到给定的数值，但却可能和实际值有很大的偏差.这时我们只能分段用较低次数的插值多项式. 插值法利用函数f (x)在某区间中假设干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取值，在区间的其他点上用

7、这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。3. 1牛顿插值多项式 牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要局部,它继承了拉格朗日(Lagrange)插值，可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。牛顿插值公式具有形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。牛顿插值公式为，其中是牛顿插值多项式，为牛顿插值余项，和的表达式如下式所

8、示：可以看出牛顿插值公式余项更具有一般性。y=cosx函数表如下：x0.00.40.60.8cosx0.9800670.921060.825340.696710.54030利用牛顿插值法计算cos(0.3)的近似值。利用牛顿插值法计算过程如下： 解：差商表3-1中各阶差商：Ak=f 表3-1fx0牛顿插值多项式 = 差值计算表3-2 表3-2n123456真值估计误差，拉格朗日插值法的线性插值与抛物插值的计算过程没有继承性，即增加一个节点时整个计算工作必须重新开始。而牛顿插值那么防止了这一问题，这样大量的节省了乘、除法运算次数，减少了计算的时间。因此，对于一些结构相当复杂的函数，牛顿插值法比拉

9、格朗日插值法要占优势。4. 三次样条插值前面介绍到的几种插值法只适用于光滑性要求不高的插值问题，但在某些领域，例如船体的外形设计，飞机的机翼外形设计等对型值线的光滑性要求较高，往往要求具有二阶光滑度即要求插值函数具有连续的一阶，二阶导数。它既保存了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。给定区间上的个节点和这些点上的函数值 假设满足：1；2在每个小区间上至多是一个三次多项式；3在上连续。那么称为函数关于节点的三次样条插值函数。优点：分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计

10、算机上实现。缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。插值法是函数逼近的一种重要方法，它是是数值计算的根本课题.由于多项式具有形式简单，计算方便,逻辑性强等优点，故本文主要介绍拉格朗日插值，它的时，公式必须整个改变，计算起来工作量大。由于这种缺点，我们更进一步探讨的是牛顿插值法，牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要局部。牛顿插值法继承了拉格朗日(Lagrange)插值，它具有公式形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。但是在实际生活中，某些领域，对曲线的光滑性要求较高，往往要求具有二阶光滑度即要求插值函数具有连续的一阶，二阶导数。这时，牛顿插值法就显示出了缺乏，在此，我们又探究了三次样条插值法，它既保存了上述两种插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性三次样条插值法是最常用的方法，它是整个插值区间上可保证具有直到二阶导数的连续性.用它来求数值微分、微分方程数值解等，都能起到良好效果.参考文献1易大义，陈道琦，数值分析引论，浙江大学出版社2002