三角形相似(部分答案在2014和难题集锦)

1、2.如图，在中，BD平分，试说明：AB·BC = AC·CD 3.已知：ACB为等腰直角三角形，ACB=900 延长BA至E，延长AB至F，ECF=1350 求证：EACCBF4.已知:如图,ABC中,AD=DB,1=2.求证:ABCEAD.5.、如图，点C、D在线段AB上，且PCD是等边三角形.(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ACPPDB；(2)当PDBACP时，试求APB的度数.6.如图，（1）吗？说明理由。（2）求AD的长。7.已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP. 求证:CE2=ED·EP.8.如图，四边形ABCD是平行四边形，

2、AEBC于E，AFCD于F.(1)ABE与ADF相似吗？说明理由.(2)AEF与ABC相似吗？说说你的理由.9.如图，D为ABC内一点，E为ABC外一点，且1=2，3=4.(1)ABD与CBE相似吗？请说明理由.(2)ABC与DBE相似吗？请说明理由.10.已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP. 求证:CE2=ED·EP.1 如图：ABC中，D是AB上一点，AD = AC，BC边上的中线AE交CD于F，求证：2 四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分DAB，求证：3 如图，已知菱形ABCD中，在AD上任取一点E，连结CE并延长与BA的延长线交于点F

3、，过E作EGFB交FD于G，求证：GF = AE4 在RtABC中，ACB = Rt，AD平分CAB，CEAB于E，交AD于F，过F作FGAB交CB于G，求证：CD = GB5 矩形ABCD中，M是BC的中点，DEAM，E是垂足，求证：6 如图，过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于P，交CD于Q，并交BC的延长线于R，求证：7 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E为AC三分之一处，即AE = AC，DE的延长线交AB于F，求证：AF = FB2. 如图，在平行四边形ABCD中，R在BC的延长线上，AR交CD于Q，若DQCQ43，求AQQR的值。 3.如图，梯形中，且，分别是，的中点，与

4、相交于点（1）求证：；（2）若，求4.如图，ABC中AB=BD，AD为中线，点E是BD的中点。求证：（1） ABECBE； （2）求证：AC=2AE5. 如图，点，分别在的边，上，四边形是等腰梯形，与交于点，且（1）试问：成立吗？说明理由；（2）若，求证：是等腰三角形6、已知：如图，AD是ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证：7、已知：如图，四边形ABCD中，A=BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。求证： 、已知：如图，D是ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AEBC于E, 若BC=13, BDC的面积是39, 求AE的长。 &

5、#160;   1、如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC120mm,高AD 80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？12、已知：如图：FGHI为矩形，ADBC于D，BC36cm,AD12cm 。求：矩形FGNI的周长。13、已知:如图,DEBC,AFFB=AGGE。求证:AFGAED。14、己知:如图,ABCD,AF=FB,CE=EB. 求证:GC2=GF·GD.21、已知:如图,DEBC,AD2=AF·AB。求证:AEFACD。26、已知:如图,1=2,3

6、=4. 求证:DBEABC.27、如图，B=900，AB=BE=EF=FC=1。求证：AEFCEA例1.如图，在ABC中，D是BC的中点，E是AC延长线上任意一点，连接DE与AB交于F，与过A平行于BC的直线交于G。求证：.变式1：如图，在ABC中，与互余，CDAB，DE/BC，交AC于点E，求证：AD:AC=CE:BD.例2：如图：已知梯形ABCD中，AD/BC，且BDCD于D。求证：；例3.如图，在ABC中，M是BC的中点，DMBC交BA的延长线于D，交AC于E。求证：例4.已知：在ABC中，AD是的平分线，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且 求证：BE/FC。例5.如图，在正方形AB

7、CD中，E，F分别为AB、AC上一点，切BE=BF，BPCE，垂足为P。 求证：PDPF.例6.在ABC的中线AD,BE相交于G。求证：AGB的面积等于四边形CEGD。47、已知,如图,在ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DEBC交AB于点E,ABDECFEC与AD相交于点F.（1）求证:ABCFCD；（2）若SFCD=5,BC=10,求DE的长.48、 已知,梯形ABCD中,ADBC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.（1）P为AD上一点,满足BPC=A,求证:ABPDPC；（2）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足BPE=A,PE交直线BC于点E,同时交直

8、线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x，CQ=y，求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.BCDAPEQBCDAP49、已知,如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点（点P与点A重合,但不与点B重合），过点P作PEBC于E,过点E作EFAC于F,过点F作FQAB于点Q,设BP=x，AQ=y.（1）写出y与x之间的函数关系式：（2）当BP的长等于多少时,点P与点Q重合；AQBEPFC（3）当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围.如图,已知，在ABC中,BA=BC=20，AC=30,点P从A点出发,沿AB以4/s的速度

9、向点B运动；同时点Q从C点出发,沿CA以3/s的速度向A点运动,设运动时间为x，（1）当x为何值时,PQBC；（2） 当SBCQSABC=13时,求SBPQSABC的值；（3）APQ能否与CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由.BPACQ例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： 例2. 如图，ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。 2如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、

10、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？ 40、 （2013巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长 6、（2013苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并

11、延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G（1）求证：APBAPD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y求y与x的函数关系式；当x=6时，求线段FG的长 （1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM

12、，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由48、（2013绍兴）在ABC中，CAB=90°，ADBC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上（1）如图1，AC：AB=1：2，EFCB，求证：EF=CD（2）如图2，AC：AB=1：，EFCE，求EF：EG的值 51、（2013遵义）如图，在RtABC中，C=90°，AC=4cm，BC=3cm动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间

13、为t（单位：秒，0t2.5）（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由52、（2013泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的 垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点（1）求证：ADPABQ；（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取

14、值范围 4、（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=ABAD；（2）求证：CEAD；（3）若AD=4，AB=6，求的值 6、（2013包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F（1）如图，当时，求的值；（2）如图当DE平分CDB时，求证：AF=OA；（3）如图，当点E是BC的中点时，过点F作FGBC于点G，求证：CG=BG 一.相似三角形中的动点问题1.已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ，是否存在这样的

15、实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。2.如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为直角三角形变式练习1：如图所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQBC？（2）当，求的值；（3）APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长；

16、若不能，请说明理由。变式练习2：如图，已知直线的函数表达式为，且与轴，轴分别交于两点，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为秒（1）求出点的坐标；（2）当为何值时，与相似？（3）求出（2）中当与相似时，线段所在直线的函数表达式OPAQByx3.如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的

17、形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？1、如图，已知ABBC，CDBC，垂足分别为B、D，AB=4，CD=6，BD=14，P为BD上一点，试问BP为何值时，以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、D为顶点的三角形相似。2、如图，在ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 3、如图

18、，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值 4、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PFAE于F（1）求证：PFAABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由 1.如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=3，BC=4，

19、过点B作射线BB1AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EFAC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当DEG与ACB相似时，求t的值2.如图，在ABC中，ABC90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t秒（1）当t=2.5s时，求CPQ的面积；求C

20、PQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出t的值3.如图1，在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EMBD，垂足为M，ENCD，垂足为N（1）当ADCD时，求证：DEAC；（2）探究：AD为何值时，BME与CNE相似？4.如图所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动设运动的时间为x（1）当x为何值时，PQBC？

21、（2）APQ与CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6）。（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？ 二、构造相似辅助线双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式7.在ABC中，AC=BC，ACB=90

22、76;，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点求证：MC：NC=AP：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E那么D点的坐标为？10.已知，如图，直线y=2x2与坐标轴交于A、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为12。求C、D两点的坐标。构造相似辅助线A、X字型 11.如图：ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中

23、项，且AC平分DAB。求证：13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E为AD边上的任意一点，EFAB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明14.已知：如图，在ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BEEFFC。 求BN：NQ：QM15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比

24、例 四、相似类定值问题 16.如图，在等边ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F求证：17.已知：如图，梯形ABCD中，AB/DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF/AB分别交AD、BC于E、F。求证：18.如图，在ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在ABC上。求证：19.已知，在ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a求证：1如图所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF 2如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F若AB=a，AD=c

25、，BE=b，则BF长？ 3如图所示在ABC中，BAC=120°，AD平分BAC交BC于D求证： 4.如图所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF 5已知：P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证： 6如图所示，梯形ABCD中，ADBC，MNBC，且MN与对角线BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN 7P为ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）求证： 8如图所示P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BHPC于H求证：QHDH 五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点求证： 21.已知：如图，ABC中，