构造全等三角形解题的技巧

1、构造全等三角形解题的技巧全等三角形是初中几何三角形中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。友情提示：证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt）。一、见角平分线试折叠，构造全等三角形例1 如图1，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC。求证：B：C=2：1。 证法一：在线段AC上截取AE=AB，连接DE。在ABD和AED中， AE=AB，1=2，AD=AD， ABDAEDDE=DB，B=AED。

2、AB+BD=AC，AE+DE=AC。又AE+CE=AC，DE=CE。C=EDC。AED=C+EDC，AED=2C，即B=2C。B：C=2：1。 （图一）（截长法）证法二：延长AB到F，使BF=BD，连接DF。F=BDF。ABC=F+BDF，ABC=2F。AB+BD=AC，AB+BF=AC，即AF=AC。在ADF和ADC中，AF=AC，1=2，AD=AD，ADFADC。F=C。又ABC=2F，ABC=2C，即ABC：C=2：1。（补短法）图2点评：见到角平分线时，既可把ABD沿AD折叠变成AED，也可把ACD沿AD折叠变成AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。练习：如图3，ABC中，A

3、N平分BAC，CNAN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。（图三）提示：延长CN交于AB于点D。则ACNADN，AD=AC=6。又AB=10，则BD=4。可证为BCD的中位线。点评：本题相当于把ACN沿AN折叠成AND。二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形例2 如图4，AD为ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：BE=AC。图4证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG。AD为BC上的中线，BD=CD，在ACD和GBD中，AD=DG，ADC=BDG，BD=CD，ACDGBD。AC=BG，CAD=G。AF=EF，CAD=AEF。G=AE

4、F=BEG，BE=BG，AC=BG，BE=AC。点评：见中线AD，将其延长一倍，构造GBD，则ACDGBD。例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC图5试判断EMC的形状，并说明理由。解析：EMC为等腰直角三角形。理由：分别延长CM、ED，使其相交于点N，可证BCMDNM。则BC=DN，CM=NM。由于DEAACB，则DE=AC，AE=BC，DE+DN=AC+AE。即EN=EC，则ENC为等腰直角三角形。CM=NM，EMCN，则可知EMC为等腰直角三角形。注：本题也可取EC的中点N，连接MN，利用梯形中位

5、线定理来证明。亦可连接AM，利用角的度数来证明。练习1：如图6，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，连接BE、CE，BEC=，图6求证：（1）BE平分ABC。（2）若EC=4，且，求四边形ABCE的面积。提示：见图中所加辅助线，证ABEDFE。练习2：ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB的取值范围为多少？注：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。则BDECDA。BE=AC=5，DE=AD=7。在ABE中，BE=5，AE=14。利用三角形三边关系可求线段AB的取值范围为：9<AB<19。三、构造全等三角形，证线段的和差关系例4 如图7，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且1=2。图7 求证：BE+DF=AE。证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG。在ABG和ADF中，AB=AD，ABG=D=，BG=DF，ABGADF。G=AFD，4=1。1=2，4=2。ABCD，AFD=2+3=4+3=GAE。又G=AFD，G=GAE。AE=GE。EG=BE+BG=BE+DF，BE+DF=AE。从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜