(完整word版)电大---微积分初步答案完整版

1、微积分初步形成性考核作业（一）解答函数，极限和连续一、填空题（每小题2 分，共20 分）1函数 f (x)1的定义域是ln( x2)ln( x2)0，x3所以函数f ( x)1的定义域是 ( 2,3) (3,)解： 202ln( xxx2)2函数 f (x)1的定义域是5x解： 5 x0 ， x5所以函数 f ( x)1的定义域是 (,5)5 x3函数 f (x)12)4x 2 的定义域是ln( xln( x2)0x11解：x20，x2所以函数 f ( x)4 x2的定义域是 (2,1) ( 1,24x202x2ln( x 2)4函数 f (x 1)x 22 x7 ，则 f (x)解： f (

2、x1)x22x7x22x 1 6( x1) 26所以 f (x)x 265函数 f ( x)x 22x0 ，则 f (0)解： f (0)022 2exx06函数 f ( x 1)x 22x，则 f (x)解： f (x 1)x22xx22x 1 1 ( x 1) 21 ， f ( x)x217函数 yx22x3x1的间断点是解：因为当 x10 ，即 x1时函数无意义所以函数 yx22x3x1x 1的间断点是11sin 18lim x sinlimx1x解： lim xsin1xxxxsin 4xx9若2 ，则 klimx0 sin kx1sin 4x4sin 4x4解： 因为 lim4x2所

3、以 k2sin kxlimsin kxkx0k x010若 lim sin 3xkx2，则 kx 0kx解：因为 lim sim3x3 lim sim3x32所以 k3x 0kxk x03xk2二、单项选择题（每小题2 分，共24 分）1设函数 ye x2ex，则该函数是（）A 奇函数B偶函数C非奇非偶函数D 既奇又偶函数解：因为 y(x)e ( x)e xexe xy所以函数 ye xex是偶函数。故应选B2222设函数 yx 2 sin x ，则该函数是（）A 奇函数B偶函数C非奇非偶函数D 既奇又偶函数解：因为 y(x)(x)2 sin(x)x2 sin xy所以函数 yx 2 sin

4、x 是奇函数。故应选 A3函数 f ( x)2 x2 x的图形是关于（）对称x2Ay xB x 轴Cy轴D坐标原点解：因为 f (x)(x)2 x2( x)x 2x2xf ( x)所以函数 f (x) x 2x2x是奇函数222从而函数 f ( x)x 2x2 x的图形是关于坐标原点对称的因此应选 D24下列函数中为奇函数是（）A xsin xB ln xC ln( x1x 2 )D xx2解：应选 C5函数 y1ln( x5) 的定义域为（）x4A 解：x5B x40，x50x4 C x 5 且 x 0D x5 且 x 4x4x，所以应选 D56函数 f (x)1）的定义域是（ln( x 1

5、)A (1, )B (0,1) (1, )C (0,2) ( 2, ) D (1,2) (2, )2ln( x1)0x2，函数 f ( x)1的定义域是 (1,2)(2,) ，故应选 D解：x10，1xln( x 1)7设 f ( x 1)x 21，则 f ( x)（）A x( x 1)B x 2C x(x 2)D ( x 2)( x 1)解： f (x1)x21 (x 1)( x1)( x1)( x1)2f (x)x( x2) ，故应选 C8下列各函数对中， （）中的两个函数相等A f (x) ( x )2 ， g ( x)xB f ( x)x 2， g( x)xC f ( x) ln x2

6、 ， g( x) 2 ln xD f ( x) ln x3 ， g( x) 3ln x解：两个函数相等必须满足定义域相同函数表达式相同，所以应选D9当 x0 时，下列变量中为无穷小量的是（） .1Bsin xC ln(1 x)xA xD xlim ln(1x0x2解：因为) 0，所以当时， ln(1 x) 为无穷小量，所以应选 Cx0x10当 k（）时，函数 f (x)x 21,x0k,x，在 x 0 处连续 .0A 0B 1C 2D 1解：因为 limf ( x)lim ( x21)1， f (0)kx0x 0若函数 f (x)x 21,x00 处连续，则 f (0)lim f (x) ，因

7、此 k 1 。故应选 B，在 xk,x0x 011当 k（）时，函数 f ( x)ex2,x0在 x 0 处连续 .k,x0A 0B 1C 2D 3解： kf (0)limf (x)lim (ex2)3 ，所以应选 Dx0x012函数 f ( x)x 3的间断点是（）x23x2A x 1, x2B x3C x1, x2, x3D无间断点解：当 x1, x2 时分母为零，因此x1, x2 是间断点，故应选A三、解答题（每小题7 分，共56 分）计算极限 limx 223x2 x2x43解： limx 2x 23x2lim( x1)( x2)lim x11x 24x 2 ( x 2)( x 2)x

8、 2 x 2 42计算极限 lim x 225x6x1x1解： limx25x 6lim( x 1)( x 6)x 67x21lim2x 1x 1 ( x 1)( x 1)x 1 x 13 limx292 x3x 3 x 2解： limx 29lim ( x3)( x3)lim x363x 3 x 22x 3x 3 ( x 1)( x 3)x 3 x 1 4 24计算极限 lim x 26x8x4 x 25x4解： limx 26x8lim ( x2)( x4)lim x22x 4 x25x 4x 4 ( x 1)( x 4)x 4 x 135计算极限 limx 26x8 x2x 25x6解：

9、 limx 26x8lim ( x2)( x4)lim x42x 2 x 25x 6x 2 ( x 2)( x 3)x 2 x36计算极限 lim1x1 x0x解： lim1 x 1lim( 1 x 1)( 1 x 1)limxxx 0x 0x( 1 x 1)x 0 x( 1 x 1)lim111x12x07计算极限 lim1x1sin 4xx0解： lim1x1lim (1x1)(1x 1)x 0sin 4xx 0sin 4x(1x1)limxx1)1 limsin 4x11x0 sin 4x(14 x 01 x1)8(4x48计算极限 limsin 4xx 0x 42解： limsin 4

10、xsin 4x(x42)x 4 2lim42)(x4 2)x 0x 0 ( xlim sin 4x(x42)4 lim sin 4x ( x 4 2) 16x0xx 04x微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）导数、微分及应用一、填空题（每小题2 分，共 20 分）1曲线 f (x)x 1在 (1,2)点的斜率是1，斜率 k1解： f ( x)xf (1)222曲线 f ( x)ex 在 (0,1) 点的切线方程是解： f ( x) ex，斜率 k f(0) e01所以曲线 f ( x) ex 在 (0,1) 点的切线方程是： yx 113曲线 yx 2 在点 (1, 1)处的切线方程

11、是3解： y1 x 2，斜率 ky x 11 x2232x 1121所以曲线 yx 2在点 (1, 1) 处的切线方程是：y11 ( x 1) ，即： x 2 y 3 024 (2x) 解：(2x)2x12 xln 22ln 22xx5若 y = x (x 1)(x 2)( x 3)，则 y(0) =解： y (0)( 1)( 2)(3)66已知 f (x)x33x ，则 f (3) =解： f ( x)3x23x ln 3 ， f (3)2727 ln 37已知 f ( x)ln x ，则 f(x) =解： f ( x)1( x)1， fx 2x8若 f ( x)xe x ，则 f(0)解：

12、 f( x) e xxe x ， f ( x)e x( e xxe x )2e xxe x ，f (0)259函数 y3( x 1) 2 的单调增加区间是解： y6( x1)0， x1，所以函数 y3( x 1)2的单调增加区间是 1,)10函数 f ( x)ax21在区间 (0,) 内单调增加，则a 应满足解： f( x)2ax0 ，而 x0，所以 a0二、单项选择题（每小题2 分，共24 分）1函数 y(x1)2在区间 (2,2)是（ D）A 单调增加B单调减少C先增后减D先减后增2满足方程f( x)0的点一定是函数yf ( x) 的（C） .A 极值点B 最值点C驻点D 间断点3若 f

13、( x)ex cos x ，则 f(0)=（C）A . 2B. 1C. -1D. -24设 ylg2 x ，则 d y（B）A 1dxB1dxC ln10 dxD1dx2xx ln10xx5设 yf (x) 是可微函数，则 df (cos 2x)（ D）A 2 f (cos 2x)dxB f (cos 2x)sin 2xd2xC 2 f(cos 2x) sin 2xdxD f (cos 2x) sin 2xd2x6曲线 ye2 x1在 x2 处切线的斜率是（C ）A e4B e2C 2e4D 27若 f ( x)x cos x ，则f ( x)（C）A 8若cosxxsin xB cosx x

14、 sin xC2 sin xx cosx D 2 sin x xcos xf ( x)sin xa3 ，其中 a 是常数，则f ( x)（ C）A cos x 3a2B sin x 6aC sin xD cos x9下列结论中（B ）不正确A f ( x) 在 xx0 处连续，则一定在x0 处可微 .B f ( x) 在 xx0 处不连续，则一定在 x0 处不可导 .C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D 若 f (x) 在 a， b 内恒有 f ( x)0 ，则在 a， b内函数是单调下降的 .10若函数 f (x)在点 x0 处可导，则 ( B)是错误的6A 函数 f (x)在点 x0处

15、有定义B lim f ( x)A，但 A f ( x0 )xx0C函数 f (x) 在点 x0处连续D函数 f (x)在点 x0处可微11下列函数在指定区间(,) 上单调增加的是（B）A sinxB e xC x 2D 3 - x12. 下列结论正确的有（A）A x0 是 f (x) 的极值点，且f( x0)存在，则必有f (x0 ) = 0B x0 是 f ( x)的极值点，则x0 必是 f (x)的驻点C若 f( x0) = 0 ，则 x0 必是 f (x) 的极值点D使 f ( x) 不存在的点 x0，一定是 f (x) 的极值点三、解答题（每小题7 分，共56 分）1设 yx2 e x

16、 ，求 y 111解： y 2xe xx 2 ex () 2xex22设 y sin 4 xcos3x，求 y .111xe x( 2x1)e x解： y4 cos4 x 3cos2x sin x3设 ye x 11 ，求 y .x解： y21e x 11x1x 24设 yxxln cos x ，求 y .解： y3xsin x3 x tan x2cosx25设 yy( x) 是由方程 x2y 2xy4 确定的隐函数，求dy .解：两边微分：2xdx2ydy ( ydx xdy) 02 ydyxdyydx2xdxdyy 2 x dx2 yx6设 yy( x) 是由方程 x2y 22xy1确定的

17、隐函数，求dy .解：两边对 x 2y 22xy1 求导，得：2x 2 yy2( yxy ) 0x yyy xy0 ， ( x y) y(x y) ， y1dyy dxdx77设 y y( x) 是由方程 exxe yx24 确定的隐函数，求 dy .解：两边微分，得：ex dxey dxxe ydy 2xdx0xey dy(exe y2x) dx ， dyexey2 x dxxe y8设 cos( xy)ey1，求 dy 解：两边对 cos( xy)ey1 求导，得：(1y ) sin( xy)y ey0sin( xy)y sin( xy)y ey0eysin( xy) ysin( xy)y

18、sin( xy)eysin( xy)dyy dxsin( xy)dxeysin( xy)微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外）不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题2 分，共 20 分）1若f (x) 的一个原函数为ln x 2 ，则 f ( x)x ln x22xc。2若f (x) 的一个原函数为xe 2x ，则 f (x)4e 2x。3若f ( x)dxxexc ，则 f ( x)1x ex4若f ( x)dxsin 2xc ，则 f ( x)2cos2x5若f ( x)dxx ln xc ，则 f ( x)1x6若f ( x)dxcos2 xc ，则 f ( x)4cos2

19、x7 d e x2 dxe x2 dx8(sin x) dxsin xc9若f ( x)dxF (x)c ，则f (2x3)dx1 F2 x3c21 F10若 f ( x)dxF( x)c ，则 xf (1x 2 )dx1x2c28二、单项选择题（每小题2 分，共16 分）1下列等式成立的是（）A df ( x)dx f ( x)Bf ( x)dxf (x)C df ( x)dxf (x)Ddf (x)f (x)dx解：应选 A2若f ( x)dx x2 e2 xc ，则 f ( x)（） .A.2xe2 x (1x)B.2x2 e2 xC. 2 xe2 xD.xe2 x解：两边同时求导，得：

20、f ( x)2xe2 x2x 2e2 x2xe2 x (1x) ，所以应选 A若 f ( x)xx( x0)，则f ( x)dx（）.3A.xxcB. x2xcC.x 23x 23cD.1 x22 x23c解：应选 A2234以下计算正确的是（）A 3x dxd3xBdxd(1 x 2 )C dxd x D ln xdx d( 1 )ln 31 x2xx解：应选A5xf( x) dx（）A. xf ( x)f ( x)cB.xf(x)cC.1 x 2 f(x)cD.( x1) f ( x) c2解：xf( x)dxxdf( x)xf (x)f (x)dx xf ( x) f ( x)c ，所以

21、应选 A6 da 2 x dx =（）A a 2 xB2a 2 x ln adxC a 2 xdxD a 2x dxc解：应选 C7 da 2 x dx =（）A a 2 xB2a2x ln adxC a 2 x dxD a 2 xdxc解： a2 x 先积分，再微分，导致a 2 x 不变，后面再添上dx 即可，故应选 C118如果等式f ( x)e x dxe xC ，则 f ( x)（）A.1B.11D.1xx2C.x 2x1111解：两边求导，得：f ( x)e xe x，所以f ( x)，故应选 Bx2x2三、计算题（每小题7 分，共 35 分）13x3x sin x dxx9解：3x

22、3xsin x dx31dxxdxsin xdxxx33 ln x2 x 2cos xc32解：(2x1)10 dx( 2x1)10dx1( 2x 1)10 d (2x 1)11( 2x 1)10 1c221013解：4解：1 ( 2x 1)11221sinxx 2dx1sinxx 2 dxxsin 2xdxx sin 2xdx1 x cos2x2c111sind()coscxxx11xd cos2x(x cos2x cos2 xdx)221 sin 2 xc45xe x dx解：xe x dxxde x(xe xe xdx)xe x e x c四、极值应用题（每小题12 分，共 24 分）1

23、设矩形的周长为120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为x 厘米，则另一边长为60x 厘米，以 60x 厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为：Vx2 (60x) ，即： V60 x2x3dV120 x3 x2 ，令 dV0 ，得：dxdxx0 （不合题意，舍去） ， x40 ，这时 60x20由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40 厘米、另一边长为60 厘米时，才能使圆柱体的体积最大。2欲用围墙围成面积为216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设矩形的长为x 米，则矩形的宽为216 米，从而所用建筑材料为：xL2x3 216 ，即： L2x648xx10dL2648 ，令 dL0 得： x18 （取正值），这时 21612dxx2dxx由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为 12米时，才能使所用建筑材料最省五、证明题