(完整版)将军饮马系列最值问题-教师版

1、同步课程“将军饮马”系列最值问题“将军饮马”系列最值问题知识回顾1. 两点之间，线段最短2. 点到直线的距离，垂线段最短3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边4. A、B 分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，RrABRr当且仅当 A、B、O 三点共线时能取等号知识讲解古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天， 有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从 A 出发到河边饮马，然后再到 B 地军营视察， 显然有许多走法问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题下面我们来看看数学家

2、是怎样解决的海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题根据公理：连接两点的所有线中，线段最短若 A 、B 在河流的异侧，直接连接AB ， AB 与 l 的交点即为所求若 A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解1/19同步课程“将军饮马”系列最值问题海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴 ) 对称如等腰ABC 是轴对称图形把一

3、个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点如下图，ABC 与A' B' C ' 关于直线 l 对称， l 叫做对称轴A 和 A' ， B 和 B ' ， C 和 C ' 是对称点轴对称的两个图形有如下性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上2/19同步课程“将军饮马”系列最值问题线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距

4、离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。考察知识点： “两点之间线段最短” ，“垂线段最短” ，“点关于线对称” ，“线段的平移” 。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。构建“对称模型”实现转化CACPPBAPM BMMPMBCAABCACACACMBMMPBPPMPBBACPAPB

5、BC常见模型：（1） PAPB最小3/19同步课程“将军饮马”系列最值问题同侧异侧ABlBlPPA'A图1图 2（ 2） PAPB 最小同侧异侧异侧AA'BlBlBlAAPPP图 4图 5图 6PAPB最大异侧同侧AAlBPA'lPB【变形】异侧时，也可以问：在直线l 上是否存在一点P 使的直线 l 为APB 的角平分线（ 3）周长最短类型一类型二类型三A'A'AABMBABONPCA''B'A'（ 4）“过河”最短距离类型一类型二4/19同步课程“将军饮马”系列最值问题BB'BMNANMNlMA'AB&#

6、39;'（ 5）线段和最小EEl1Bl 1BQQl2l2APPAFF（ 6）在直角坐标系里的运用BAAA'A'AEBBPFMNB'A'A''BB'APEA'AA'A''ABFBMNB'EA'EF= 1APE=BPE同步练习5/19同步课程“将军饮马”系列最值问题【例 1】尺规作图，作线段AB 的垂直平分线，作COD 的角平分线【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线【变式练习】已知：如图，ABC 及两点 M 、 N 求作：点 P ，使得 PMPN ，且 P 点到ABC 两边所在的直线

7、的距离相等MANBC【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线因为是两边所在的直线，所以有两个答案：ABC 内角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点P1；ABC 外角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点P2 MAP1NDBCP2E【例 2】已知点 A 在直线 l 外，点 P 为直线 l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点 P 在直线 l上运动时，点P 与 A、 B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由6/19同步课程“将军饮马”系列最值问题APlB【解析】作A 点关于直线 l 的对称点，即为B 点【例 3】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、 B ，现需要

8、建一货物中转站，要求到A 、 B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？BAa【解析】作A 点关于直线a 的对称点 A'，在连接 A'B 于直线 a 的交点即为 M 点【变式练习】如图，M 、 N 为ABC 的边 AC 、 BC 上的两个定点，在AB 上求一点 P ，使PMN 的周长最短CMCNMBANPABE【解析】 如图，作对称再连接 这题实质还是 “将军饮马” 问题，在 AB 上找一点 P ，使得 PMPN之和最小【巩固】若此题改成，在a 上找到 M 、 N 两点，且 MN10 ， M 在 N 的左边，使四边形ABMN 的周长最短7/19同步课

9、程“将军饮马”系列最值问题BBAA'AMaNaA''【解析】作 A 点 AA' a ，AA ' MN10 ，作 A' 点关于直线 a 的对称点 A'' ，连接 BA'' 与直线 a 的交点即为所求 N 点，再向左平移10 个单位即为所求M 点【例 4】 ( ”五羊杯”邀请赛试题) 如图，AOB45 ，角内有点 P ，在角的两边有两点Q 、 R ( 均不同于 O 点 ) ，求作 Q 、 R ，使得PQR 的周长的最小【解析】如图，作对称再连接【例 5】已知：如图，C 、 D 分别是AOB 内两点， OCOD ，（ 1

10、）分别在角两边各取两点E、F ，使得 CEF 周长 l1（ 2）分别在角两边各取两点M 、N ，使得 DMN 周长 l2 最小（ 3） l1、 l 2 是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明原因8/19同步课程“将军饮马”系列最值问题GPAAEMCCDDOF NBOBHQ【解析】如图,分别做对称再连接CEF 周长 l1 最小 PQ ， DMN 周长 l2 最小 GHl1l2 ， GOH POQ ， PQGH【例 6】如图，在POQ 内部有 M 点和 N 点，同时能使MOPNOQ ，这时在直线 OP 上再取 A 点，使从 A 点到 M 点及 N 点的距离和为最小；在直线OQ上也取 B点，使从

11、 B点到 M点和 N点的距离和也最小证明： AMAN BMBN QQN1BBNMNMOAPOAPM1【解析】 如图， M 1点与 M 点关于射线 OP 成对称， 而 N1 点与 N 点关于射线 OQ 对称，这是 A 点和 B 点分别位于线段NM 1 和线段 N1M 上， OMOM 1， ONON1 ，N1OM 2NOQNOM ，NOM 12MOPNOM ， MOPNOQ ，N1OMNOM 1，易证 N1 OM NOM 1 ， N1MNM 1 ， N1BBMNA AM1，即 BNBMAN AM.【例 7】已知如图， 点 M 在锐角AOB的内部， 在 OB 边上求作一点P ，使点 P 到点 M 的

12、距离与点P 到OA 的边的距离和最小9/19同步课程“将军饮马”系列最值问题AAHOOPMMNBB【解析】如图，作M 点关于 OB 的对称点 N ，再过 N 点作 OA 的垂线 OA于 H 【例 8】 (2000 年全国数学联赛) 如图，设正ABC 的边长为 2， M 是 AB 边上的中点，P 是 BC 边上的任意一点，PAPM 的最大值和最小值分别记为s 和 t 求 s2t 2 的值AAMMBNPCBPCM'【解析】作点 M 关于 BC 的对称点 M ' ，连接 AM ' 、 PM ' 由点 M 、M '关于 BC 对称可知， PMPM '故

13、PAPMPAPM'AM'当且仅当 A 、 P 、 M ' 共线时，等号成立，故t 2( AM ')27另外两个临界位置在点B和点 C 处当点 P 位于点 C 处时， PAPMACCM23；当点 P 位于点 B 处时， PAPMABBM3 故 s2(23) 27 4 3 ， s2t 24 3 【例 9】已知： A 、 B 两点在直线l 的同侧，在 l 上求作一点M ，使得 | AMBM | 最小值和最大值10/19同步课程“将军饮马”系列最值问题BBBAAAlMlMlP【解析】作 AB 的垂直平分线于直线l 的交点处可取得最小值，MA MB ，MA MB0 ；连接

14、 BA 并延长 BA 于直线 l 的交点处处可取得最大值，| AM BM |=AB0剟| AM BM | AB【变式练习】 (07 年三帆中学期中试题) 如图，正方形ABCD中，AB，是DC上的一点，且DM 2，8 MN 是 AC 上的一动点求（ 1） DNMN 的最小值与最大值（ 2） DNMN 的最小值与最大值ADADMMNNBCBCADADMEMNNPBCBC【解析】（ 1 ）找点 D 关于 AC 的对称点，由正方形的性质可知，B 就是点 D 关于 AC 的对称点，连接BN、BM，由DNMN BNMNBM 可知，当且仅当 B 、 N 、 M 三点共线时，DNMN 的值最小，该最小值为62

15、8210 当点 N 在 AC 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：11/19同步课程“将军饮马”系列最值问题BM 与 AC 的交点，即 DNMN 取最小值时；当点 N位于点 A时， DNMNADAM82 17；当点 N 位于点 C 时，DNMNCDCM8614 故 DN MN 的最大值为 82 1710剟DN MN 8 2 17（ 2 ） N 位于 DM 的垂直平分线于AC 的交点处，DNMN 可取的最小值为 0 ；当且仅当 D 、M 、N 三点共线时，位于C 点时， DN MN 可取的最大值为 DM2 ；0剟DN MN 2【例 10】如图 1，已知等边 ABC 的边长为 1 ， D 、E

16、、F 分别是 AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记 DEF 的周长为p .（ 1）若 D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、AC 边上的中点，则p =_；（ 2）若 D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 _.小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将 ABC 以 AC边为轴翻折一次得 AB1C ，再将 AB1C 以 B1C 为轴翻折一次得 A1 B1C ，如图 2 所示 .则由轴对称的性质可知，DFFE1E1 D2p ，根据两点之间线段最短，可得 pDD 2 .老师听了后说： “你的想法很好，但

17、DD 2 的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果. ”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3 次就可以了” . 请参考他们的想法，写出你的答案AAD1B1DDFE1FD2BECBECF1A1图 1【解析】（ 1 ） p=图 232（ 2 ） 3 剟p 32【例 11】如图 ABC ，D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点 A 、B 、C 重合），记 DEF 的周长为 p ，请作出周长最小的 DEF 12/19同步课程“将军饮马”系列最值问题AAMDFNBCBCE【解析】如图，过A作 AEBC 于 E ，在分别作 E 点关于 AB 、AC 的对称

18、点 M 、N ，连接 MN 分别交AB 、AC 于 D 、F ，连接 DE 、EF ，所得 DEF 即为周长最小【例 12】如图，当点A 与 l1 、l2 、l3 连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点A 向点 B 运动时的最短路程l1l3l 1l 3ABABA'B'l2l 2A''【解析】利用三条对称轴作出对称点，然后根据两点之间线段最短【例 13】如图，矩形台球桌ABCD 上有两个球P 、Q ，求作一击球路线，使 P 球顺次撞击球桌四边后再撞击 Q 球（球撞击桌边的入射角等于反射角）Q'AQ''DADP'PQPQBCBCP

19、''【解析】四个对称轴，作出对称点，连线【例 14】点 M 是四边形 ABCD 的边 BC 的中点，AMD 120 ，证明：1ABBC CD AD213/19同步课程“将军饮马”系列最值问题AAEFDDBMCBMC【解析】本题是典型轴对称变换，条件非常少，不过结论“1AD ”非常有特点，即为ABBC CD2什么会出现1BC ，同时还是证明不等关系，只有我们在接触最短路程，已经三角形三边关系2的时候做过类似的问题【答案】作点 B 关于 AM 的对称点 E ，连接 AE 、 EM ，作点 C 关于 MD 的对称点 F ，连接DF、MF、EFABAE， BMME ，CD DF ，MC

20、MF易证ABM AEM ， MCD MFDBMAEMA ,CMDFMD EMFAMDAMBDMC 60 EMF 是等边三角形EFEM1BC，AEEF FDAD AB1 BCCD AD22【变式练习】 点 M 是四边形 ABCD 的边 BC 的中点，AMD 135 ，证明：2ABBC CD AD2当 AMD 150 时，他们又有什么关系呢？AADDBMCBMC【解析】（ 1 ）当 AMD135 时作点 B 关于 AM 的对称点 E ，连接 AE 、 EM ，作点 C 关于 MD 的对称点 F ，连接 DF、MF、EFABAE，BMME ，CDDF，MCMF易证ABM AEM ， MCD MFD

21、BMA EMA ,CMDFMD EMFAMDAMBDMC 90 EMF 是等腰直角三角形14/19同步课程“将军饮马”系列最值问题EF =2AB2BC ， AE EF FD ADBC CD AD22（2）当AMD 150 时，同理可推出EMF 是一个顶角为 120等腰三角形EF = 3EM3EFFD AD AB3ADBC ， AEBC CD22AEFAEFDDBMCBMC【例 15】已知：如图，在直角坐标系中，点A 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，等腰 ABD ， BABD （ 1）作出 ABD 关于 y 轴的对称图形 CMD （ 2）若 BAC 2 ACB ，求证 ABC 3 CBDyB

22、DAx【解析】（ 1 ）根据轴对称的性质，作出对称图形CMD （2 ）依题可知，BABDMDMD ， MBAC ，BACMCA2ACBMCBACB=MBC ， MCMBMDBD MBD 为等边三角形BAC2 ACB设 CBD x°，则 MBDBCA (60 x)BAC1202x ，ABC3xABC3 CBD15/19同步课程“将军饮马”系列最值问题MBDCA课后练习【习题 1】如图，在等腰Rt ABC 中， CA CB 3， E 的 BC 上一点，满足 BE2 ，在斜边 AB 上求作一点 P使得 PCPE 长度之和最小AAMPPFCEBCEB【习题 2】如图，菱形ABCD 的两条对角

23、线分别长6 和 8，点 M 、 N 分别是变 AB 、 BC 的中点，在对角线 AC 求作一点 P 使得 PMPN 的值最小DDEAPCFPCAMNMNBB【习题 3】如图，在锐角 ABC 中， AB42 ，BAC45?°，BAC 的平分线交BC 于点 D ， M 、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则BMMN 的最小值是 _CCEDPDMMABABNNF16/19同步课程“将军饮马”系列最值问题【答案】 4【习题 4】已知 O 的直径 CD 为4 ，AOD 的度数为 60°，点 B 是的中点，在直径CD 上找一点 P ，使BP AP 的值最小，并求 BPAP 的最小值AABOBOCDCDE【答案】 42【习题 5】如图，点 P 关于 OA、 OB 的对称点分别为C、D ，连接 CD ，交 OA于 M ，交 OB 于 N ，若CD 18cm ，则 PMN 的周长为 _CAMPOBND【答案】 18【习题 6】如图所示，正方形ABCD 的面积为 12， ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD内，在对角线AC 上有一点 P ，使 PDPE 的和最小，则这个最小值为（）A2 3B26C3D6ADADPPEEFBCBC【答案】 A【习题 7】如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线17/19同步课程“将军