(完整word版)2004-华中师范大学数学分析考研真题

1、2004 年数学分析1.求下列极限 (共 50 分,第 1,2 小题各 10 分,第 3,4 小题各 15 分)1111(1) lim(cos x)sin 2 x(2) lim n 1 +x0n23n7nk(3) lim x 4 ( 4 x 14x1 2 4 x )(4) limsin(sin)xn2 nk 1n设f ( x), g ( x)在 a, b上连续 在(a,b)内可导 若 x , x是f (x)在区间a, b上的两个零点，证明：存在2.(15),12 a, b ，使得 f ()f ( ) g ()02f( )3.(15)设 f ( x) 在 a,b(ba0) 上连续,在 (a, b

2、) 内可导 ,证明 :在 ( a, b) 内存在 ,使 f ().a b设在上黎曼可积 证明f (x)上也是黎曼可积的 .4.(15)f ( x) a,b,: e a, b5.(15) fn (x)(n1,2,3,）在 a,b 上连 续 , 函数 g( x) 在 a,b 上也连续 , 且对 a,b 中任 意的 x1, x2 和正整 数 n , 有bM| fn(x1) fn(x2)|x1 nx2 |(),证明 : lim g(x).fn (x)dx 0.M 0na6.(15)设 fn(x)( n1,2,)在 a, b 上连续 ,且 fn(x) 在 a,b 上一致收敛与f ( x) .证明 :(1

3、)存在 M0 ,使对任何自然数n ,有 | fn(x)| M,及| f (x)| M .(2) 若 F ( x) 为（，）上连续函数 ,则F( fn (x)一致收敛于 F ( f ( x) .7.(10)设函数 f (x) 在闭区间 1,1 上具有三阶连续导数,且 f ( 1)0, f (1)1, f (0)0 ,证明 :在 ( 1,1) 内至少存在一点,使得 f (3) ()3 .8.(15)函数F(x, y)在点( x0 , y0 )的某个邻域内有连续的二阶偏导数, 且F(x0, y0)0,Fx (x0, y0)0,Fy (x0, y0 )0,Fxx (x0, y0)0,证明 :由方程 F

4、(x, y) 确定的隐函数 yf (x)在 x0 点取得极小值 .2005 年数学分析1.求下列极限或指定函数的值:(1) lim 1! 2! 3!n ! (10 分 )(2) lim1 3 5(2 n 1)(10n2nnn !n2 4 6分)1(3)lim ( x3x2x).exx61 (10分 )(4) 设 f ( x) 在 x0的邻域二阶可导,且x2lim(1xf (x) x1e3,求 f (0), f(0), f(0) 的值 .(15 分 )x 0x设函数在上可导 且在上证明存在( a, b)使 f( a)f ( )f ( )2.(15)f (x), g (x) a,b,(a,b)g

5、( x)0 ,:g( )g(b)g ( )43.(15)设函数 f (x) 在 2,4上有连续的一阶导函数 ,且 f (2)f (4)0 ,证明： max|f ( x) | |f ( x) dx | .2 x 424.(13)设有方程 xmq.sin x(0q 1).若 x0m,x1m q.sinx0, xn 1m qsinxn,证明 : xn 收敛 ; 设lim xnl ,再证明 l 是方程 xmq.sin x 的唯一解 .n证明 函数项级数1xxn) 在任何有穷区间上一致收敛 .( e(1) a, b5.(13):1 nnn6.(13)设 f ( x) 在 a,b 上二阶可导 ,且 f (

6、 x)0 ,证明 : f ( a b )12b abf ( x)dx .a7.(13)设 a1 , a2 , an ,均为常数 证明函数项级数an . 1 x tn.e t dt在 a, b上一致收敛 .,:n 1n! 08.(13)设 f ( x)在 a,b上黎曼可积，f (x)c0,lnf (x)在a,b上黎曼可积 .用可积准则证明：函数9.(10) 设 f ( x)在 a, b上具有连续的二阶导数,证 明 :在 (a, b) 内 存 在, 使 得bab1f ( x dx)b ( aa3(f) . ()f )()ba22 42006 年数学分析sin 2 ( x1) sin1xx11.(3

7、0) (1) limx1 .(2)设 y xa,求 y .(3)ln ln xx 1dx .x1e1ln x(4)设 f ( x, y)x y( y1)2 arcsin x ,求 f x ( x,1) .y(5)( xy)ex2y2dxdy ,其中 D ( x, y) x2y21 .(6)求 Ix sin ydycos ydx ,其中 L 是从点DLO(0,0) 到点 A(,0) 的正弦曲线有 ysin x .2.(20) 设 f (x) 在 ( a,) 上可导 , 且 f ( x )在 (a,)上有界,证明:(1)f (x) 在 ( a,)上一致连续.(2) f (a ) limf ( x)

8、 存在，但 lim f ( x)不一定存在 .xax(3)若 lim f ( x) 存在，且 lim f (x)limf (x) ，则 f (x) 在 ( a,) 上至少有一个零点。xxx a3.(20)设 f ( x) 在 0,1上连续 , f (0) f (1),(1)证明 : 存在 x0 0, 1 ,使得 f ( x0 )f (x01) .0, n 1212(2)试推测 |:对任意正整数 n ,是否存在 x0 ,使得 f ( x0 )f (x0) ,并证明你的结论 .nnx4.(10) 设 f ( x) 在 0,) 上连 续 , 且 f ( x)0 ,记 ( x )0xtf( t ) d

9、t,(1) 求 lim ( x ) .(2) 证x 0f ( t ) dt0明: ( x) 在 (0,) 上是严格单调递增 .5.(10)证明 : 若an 绝对收敛 ,则an (a1a3a2 n 1 ) 也绝对收敛 .n 1n 16.(15)设 f (x) 在 0, 上连续 ,证明 :(1) sinn x 在0， 上不一致收敛 .(2)（sinn x）f (x)在0， 上一致收222敛的充要条件是 f ( )0 .230, f (ta,ty,tz)nf (x, y, z) ,且具有一阶连续偏导数 , fz (x, y, z)0 ,7.(10)设 f(x,y,z)为 R 上的 n 次齐次函数 :

10、对 tt若方程 f (x, y, z)0 确定了可微的隐函数 zg(x, y) ,证明 : zg( x, y) 必为一次齐次函数 .8,(20)设 f ( x, y)在 R2 上具有二阶连续的偏导数 ,证明 :2内任意光滑简单闭曲线L，总有f(2 f2 f，其中 n为 L 的外法方向，f是(1)对 Rds2y2 )dxdynLnDxf (x,y) 沿 n的方向导数， D 是 L 围成的有界闭区域 ;(2) f (x, y)为 R2 是的调和函数（即2 f2 f0 ）的充要条件是对 R2 内的任意光滑简单闭曲线L，总x2y2有f ds0 .Ln设 n是正整数,给定方程nx 1,证明:(1)此方程

11、仅有惟一的正根xn (0,1).(2)lim x n1.9.(15)xn2007 年数学分析1.(30) 计算题 :(1) limln 3 (1x ) sinsin(ln1)x2x.x 0e1(2) 设 yx ln xx x ,求 y .(3)e x 4dx0x 2 e x 4dx .0(4)设 f ( x, y) 可微 ,且 f (1,1)1, f x (1,1)a, f y (1,1)b ,令 F(x)f f (x, x), f ( x, x) ,求 F(1).(5)(x3y3 )e( x2y2 ) 2dxdy ,其中 D( x, y) x2y21 .D(6) 求Iex sin ydyex

12、cos ydx ,其中 L 是从点 O (0,0) 到点 A( 2,0) 的下半圆周 x2y22x .L2.(25) 设 f (x)在 (0,)上可导,且x f( x)在 (0,)上有界,证明: (1)f (x) 在 (0,)上一致连续.(2)f (0)limf ( x) 存 在 .(3) 若将 条件 “x f(x) 在 (0, ) 上 有界 ” 改为 “ lim x f ( x) 和x 0x0lim xf( x) 都存在” ,试问 : 还能否推出 f (x) 在 (0, ) 上一致连续 .如果能请证明你的结论，如果x不能请举反例 .设f ( x)在 (0,)内4阶可导, (1)证明若limf

13、 ( x)和 limf (x) 都存在 ,则 limf( )0.3.(25):xxxx(2)若 limf ( x) 和 limf（4）( x) 都存在 ,是否能推出对任意的正整数 1 k4 , limf（k）( x) 都存在且为 0 ,xxx请证明你的结论 .4.(10)设 f ( x) 在 0,) 上连续 ,且 limf (x)A( A可以为或1xf (t)dtA .),试证 : lim0xxx5.(15)设 an0, snnak ,证明 :an 收敛an收敛 .k 1n1n 1 sn6.(15)若 an 单调递减 ,且 lim an0,证明 :n(1)ancos nx在 ,2 上一致收敛

14、,其中 0.(2)ancosnx在,2 上一致收敛n 1n 1的充要条件是an 收敛 .n 17.(15)设 u u( x, y) 是由方程组uzxyf ( z) g( z) 所确定的二阶连续可微隐函数,其中 f , g 有二阶连续xyf( z)g ( z) 0的导数 ,证明 :2 u2u(2 u )20.x2y 2x y8.(15)设 f ( x, y, z) 上 R3 具有二阶连续的偏导数 ,证明 :(1)对 R3 内任意光滑简单闭曲面S ,总有fdS2f2 f2 f)dxdydz,其中 n为 S 的外法方向 ,f 是S n(2y2z2Vxnf (x, y,z) 沿 n的方向导数 ,V 是

15、 S 围成的有界闭区域;(2) f ( x, y, z) 为 R3 是的调和函数（即2 f2 f2 f0 ）的充要条件是对 R3 内的任意光滑简单x2y 2z2闭曲线 S ，总有f0 .dSSn2008 年数学分析1.(36)计算题 : (1)1 n n ( n(2)1sin x2y22dxdydzlim1)( 2 n1)lim4znnt 0 tx2y 2 z2 t 2(3)求曲线积分xdyydx,其中 L 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲L x29 y2线.设函数在上具有连续的导函数且存在有限 , 01, 是一个常数 ,证明:()2.(15)f (x) 0,),lim f (x

16、)xfx在0,) 上一致连续 .3.(15) 设 f ( x) 和 g(x) 在 a, b 上 连 续 且 在 (a, b) 内 可 导 , 试 证 : 在 (a,b) 内 存 在 点, 使 得 f (b)f (a) g ( ) g (b) g(a) f ( ) .证明函数项级数 f ( x)ne nx 在 (0, ) 上收敛 ,但不一致收敛 ,而和函数 f ( x) 在 (0, ) 上可以4.(20):n 1任意次求导 .5.(20)证明 :方程 x2ysin( xy) 在原点的某个邻域内可以唯一确定隐函数y f (x) ,并 y (0) 计算的值 .6.(14)证明 :若函数 f ( x)

17、在 a, b 上无界 ,则必存在 a, b 上的某点 ,使得 f( x) 在该点的任何邻域内无界 .7.(12) 设函 数 u 在 0,22) 上连续 可微且 ( u(x)u (x) )dx x n n 1 使得当 n时,xn且 u(xn )0,试证:(1)存在 0,) 中的子列221(2)存在某常数 C0 ,使得 sup u( x) C (0( u( x)u (x) )dx) 2x 0, 8.(18)设R3 为有界闭区域 ,且具有光滑边界,0T.(1) 设 u, v 是上具有连续二阶偏导数的函数试证:v udxdydzu vdxdydzvudS2u2 u2 u,u 为 u 的梯度 ,u为,其

18、中uy 2z2nnx2u 沿区域的边界的外法向n 的方向导数 ;(2) 设 u(x, y, z, t) 在0,T ) 上具有连续一阶偏导数,试证: du( x, y, z,t)dxdydzu (x, y, z,t )dxdydz,t 0,T ) ; (3)设 u( x, y, z, t ) 在 0, T ) 上具有连续二dtt阶偏导数且满足uuu 3 若 u 在t 0,T ) 上恒为零记u( u ) 2( u ) 2( u ) 2 , 试证 E(t )( 1u21 u4)dxdydz 在 0,T ) 上2xyz24是减函数 .2009 年数学分析sin( x ) cossin( 1)sin y

19、1.(30) 计 算 题 : (1)limln x(2)计算二重积分(1x)1dxdy , 其 中 D 是 由x 0Dyyx, y1, x 0 围成的区域 .(3)求曲线积分( x1)dy(y2)dx其中 C 为平面内任意一条不经过点(1,2)得正向光滑封闭简单曲线C 4(x1)2(y2)2设函数f (x)定义在开区间(a, b)内,若对任意的c ( a,b) ,都有limf (x)存在 ,且 lim f ( x) 和 lim f (x)2.(12)x ax bx c也存在，则 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有界 .证明含参量反常积分xexydy在 ,) 上一致收敛 (0) ,但在

20、(0,) 内不一致收敛 .3.(12):04.(20)设函数 f (x) 在 0,1 上连续 ,在 (0,1) 内可微 ,且存在 M0 , 使得 x(0,1), xf ( x) f (x)x 2 M ,证明 :(1) f ( x) 在 0,1 内一致连续 . (2) lim f ( x) 存在 .xx05.(20)证明下面结论 :(1)若 f ( x) 在 0,1 上连续 ,则 lim1x n f ( x)dx 0 . (2)若 f ( x) 在 0,1 上连续可微 ,则x0lim n1f (1) .x n f ( x)dxn0x2y22 22022 sin xy ,xy6.(18)设 f (

21、x,y) xy,讨论 f ( x, y) 在原点 (0,0) 处的连续性 ,偏导的存在性以及可微性 .0 ,x2y207.(20)设函数列 f n ( x) 中的每一项函数 f n ( x) 都是 a,b 上的单调函数 ,试证明 :(1)若fn (a) 和f n (b) 都n 1n 1绝对收敛 ,则f n (x) 在 a, b 上一致收敛 .n 1(2)若每一项函数 f n ( x) 的单调性相同 ,且f n ( a) 和f n (b) 都收敛，则在上一致收敛 .n 1n18.(18) 设 f连续,证明:(1)证明:1f (x)(1x2 )dx , 其 中 V : x2y2z21.(2)记函数

22、f (z)dxdydzV1F(a, b, c)f (ax bycz)dxdydz其中 V : x 2y 2z21,证明:,V球面 a2b2c21F(a,b,c)的等值面 ,即F(a,b,c)222为函数在球面abc 1上恒为常数 ,并求出此常数 .2010 年数学分析1.(30)计算题 : (1)设函数 f ( x) 定义在 (,) 上,满足 : f (2x)f ( x) cosx,lim f ( x)f (0)1,求 f ( x) .(2)x0设an4n求1an2 )的值 .0tanxdx ,( ann 1 n(3)求曲线积分( yz)dx (zx)dy(xy)dz,其中 L 为平面 xyz 0 与球面 x2y2z21相交的L交线 ,方向从 z 轴正向看是逆时针的 .2.(12)设 f ( x)x,0 ,证明:当 01时,f (x) 在 ( 0,) 上一致连续 ; 当1时 ,f (x) 在 (0, )上不一致连续 .证明 含参量 x 反常积分