(完整word版)椭圆总结(全),推荐文档

1、椭圆一知识清单1. 椭圆的两种定义：平面内与两定点F1，F2 的距离的和等于定长2a 2aF1 F2 的动点P 的轨迹，即点集M=P|PF|+|PF |=2a ， 2a |FF | ；（ 2aF1 F2时为线段 F1F2 ， 2aF1F2 无轨迹）。其中两定1212点 F1， F2 叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹，即点集M=P|PFe， 0 e 1 的常数。（ e1为抛物线； e1为双曲线）d（利用第二定义 , 可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线） .2 标准方程：（ 1）焦点

2、在 x 轴上，中心在原点：x2y 21 （a b 0）；a2b 2焦点 F （ c， 0）， F（ c，0）。其中 ca2b2（一个 Rt 三角形）12（ 2）焦点在 y 轴上，中心在原点：y 2x 21（ ab 0）；a2b2焦点 F1（ 0， c）， F2（ 0， c）。其中 ca 2b 2注意： 在两种标准方程中，总有a b 0， ca 2b2 并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A 0，B 0，A B），当 A B 时，椭圆的焦点在 x 轴上， A B 时焦点在 y 轴上。3 参数方程： 焦点在 x 轴，xa cos（为参数）yb sin4 一

3、般方程： Ax 2By 21( A0,B 0)5. 性质： 对于焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y21（ a b 0）有以下性质：a2b2坐标系下的性质： 范围： |x|a， |y|b； 对称性： 对称轴方程为x=0， y=0，对称中心为O（0， 0）；顶点： A1（ -a ， 0）， A2（ a， 0）， B1（ 0， -b ），B2（ 0， b），长轴 |A 1A2|=2a ，短轴 |B 1B2|=2b ；（ a 半长轴长， b 半短轴长）； 椭圆的准线方程：对于 x2y 21，左准线 l 1 : xa 2；右准线 l 2 : xa2a 2b 2cc对于 y 2x 21，下准线 l1 :

4、 ya 2；上准线 l 2 : ya 2a 2b 2cc1焦点到准线的距离 pa2a 2c 2b 2cc（焦参数）cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 焦半径公式： P（ x0，y0）为椭圆上任一点。 |PF 1|= r左 =a+ex0，|PF 2|= r右 =a-ex 0；|PF 1|= r下 =a+ey0，|PF 2|=r上 =a-ey 0PF maxac, PF minac ，左加右减，上减下加 通径： 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短= 2b2 a平面几何性质： 离心率： e= cc21aa2 焦准距 pb

5、2；准线间距c 两个最大角F1 PF2 max焦点在 y 轴上，中心在原点：6 焦点三角形 应注意以下关系：(1) 定义： r 1r 22a2b（焦距与长轴长之比）0,1 ； e 越大越扁， e0 是圆。a2a2cF1 B2 F2 , A1PA2 maxA1B2 A2y 2x 2a 21（ a b 0）的性质可类似的给出。b 2(2)余弦定理： r12 r22 2r 1r 2cos2 (2 c)(3)面积： SPF1F 21r rsin1·2 |y|=c|y|=b2tan2122002(其中P(x0 , y0) 为椭圆上一点， |PF112212| r ，|PF | r，FPF )7

6、. 共焦点的椭圆系设法：把椭圆 x2y21（a b 0）的共焦点椭圆设为x2y21(b2 )a2b 2a 2b28. 特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关, 而焦点坐标, 准线方程 , 顶点坐标, 与坐标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件: 两个定形条件a,b, 一个定位条件焦点坐标或准线方程 .x1x2b12 y1 y2a （ a,b,c9. 弦长公式： AB1 k 2 x1 x211 k2为kacx1 x2a方程的系数考点 1椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用 例 1 ( 湖北部分重点中学2009 届高三联考 ) 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光2

7、线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、 B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计） ，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是yA 4aB 2(a c)C 2(a+c)D以上答案均有可能P 解析 按小球的运行路径分三种情况:CD(1)ACA, 此时小球经过的路程为2(a c);OxABDBA, 此时小球经过的路程为AB(2)2(a+c);(3)APBQA 此时小球经过的路程为4a, 故选 DQ【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1. 短轴长为5 ，离心率e21212

8、的椭圆两焦点为 F ， F ，过F 作直线交椭圆于 A、 B 两点，则ABF3的周长为（）A.3B.6C.12D.24 解析 C.长半轴 a=3， ABF2 的周长为 4a=122. 已知 P 为椭圆 x2y21上的一点， M , N 分别为圆 ( x3)2y21和圆 ( x 3)2y24上的2516点，则 PMPN 的最小值为（）A 5B 7C 13D 15 解析 B.两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点，|PC|PD |10，PMPN 的最小值为 10-1-2=7题型 2 求椭圆的标准方程 例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点

9、距离为4 24，求此椭圆方程 .【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c 的式子“描述”出来 解析 设椭圆的方程为x2y21 或 x2y 21(ab 0) ，a2b2b2a 2bc则 a c4(21) ，a2b2c2解之得： a42， b=c 4. 则所求的椭圆的方程为x2y21或 x2y 21.32161632【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a, b, c 的数量关系警示易漏焦点在y 轴上的情况【新题导练】3. 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是 _.3 解析 (0,1).椭圆方程化为x2+ y 2=1. 焦点在 y 轴上，则2

10、>2，即 k<1.22kk又 k>0， 0<k<1.4. 已知方程 x2 cosy2 sin1,(0, ) , 讨论方程表示的曲线的形状解析当(0,) 时， sincos，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，4当时， sincos，方程表示圆心在原点的圆，4当(, ) 时， sincos，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆4 25. 椭圆对称轴在坐标轴上， 短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程 .ac3a232+ y222解析b 3 ，所求方程为 x=1 或 x+ y =1.，a2cc3129912考点 2 椭圆的几何性

11、质题型 1: 求椭圆的离心率（或范围）例3在 ABC中，A300,|AB|2,SABC3 若以，B为焦点的椭圆经过点C，则该A椭圆的离心率 e【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析S ABC1|AB| AC | sin A3 ，2|AC|2 3，|BC| AB|2| AC |2 2 | AB | | AC | cos A2e|AB|2312322|AC| |BC|【名师指引】 （ 1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（ 2）只要列出 a、b、c 的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（ 3）“焦点三角形”应给予足够关注【

12、新题导练】6. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍, 那么这个椭圆的离心率为A .5B .3C .2D .14222解析选B47. 已知 m,n,m+n 成等差数列，m， n， mn成等比数列，则椭圆x2y2m1的离心率为n2n2mnm222解析由n2m2 ny1的离心率为2n，椭圆 xmn04mn2题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例4已知实数 x, y 满足 x2y21, 求 x2y2x 的最大值与最小值42【解题思路】把 x2y2x 看作 x 的函数 解析由 x2y 21得 y221 x2 ,42221 x202x22x2y2x1x2x21(x1)23, x2,222

13、2当 x1时 , x2y2x 取得最小值3 , 当 x2时 , x2y 2x 取得最大值 62【新题导练】9. 已知点 A, B 是椭圆 x2y21（m0，n0）上两点 , 且AOBO, 则 =m2n2解析由 AOBO 知点 A,O,B 共线 ,因椭圆关于原点对称,110. 如图，把椭圆 x2y21 的长轴 AB 分成 8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于2516P1, P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 七个点， F 是椭圆的一个焦点则 PFP FP FP FP FP FP F_1234567解析由椭圆的对称性知：P FP FP FP FP FP F2a35

14、 172635考点 3椭圆的最值问题例5椭圆 x2y 21上的点到直线 l: xy 9 0 的距离的最小值为 _169【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 解析 在椭圆上任取一点P, 设 P( 4cos,3sin).那么点 P 到直线 l 的距离为：| 4cos 3sin 12 |2 |5sin() 9 | 2 2.12122【名师指引】也可以直接设点P( x, y) ，用 x 表示 y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键5是要具有“函数思想”【新题导练】11. 椭圆 x2y 21的内接矩形的面积的最大值为169 解析 设内接矩形的一个顶点为 ( 4cos ,3sin)

15、 ，矩形的面积 S 48sincos24 sin 22412. P 是椭圆 x2y21 上一点， F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，求| PF1 | | PF2 | 的最大值与最小值a2b2解析| PF1 | | PF2 | | PF1 | (2a | PF1 |)(| PF1 | a)2a2 ,| PF1 | a c, a c当| PF1|a 时， | PF1 | | PF2 | 取得最大值 a2，当| PF1|a c 时， | PF1 | PF2 |取得最小值 b22x213. 已知点 P 是椭圆y1 上的在第一象限内的点，又A(2,0) 、 B(0,1) ，O 是原点，则四边形OAPB

16、的面积的最大值是 _解析设 P(2 cos, sin),(0,) ，则2SOAPBS OPAS OPB1 OA sin1 OB2cossincos222考点 4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例 6已知椭圆 C 的中心为坐标原点O , 一个长轴端点为0,1 , 短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P 0mC交于相异两点A B（ ， ），与椭圆、 ，且 AP 3PB（ 1）求椭圆方程；（ 2）求 m的取值范围【解题思路】通过AP3PB ，沟通 A、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于 m的不等式 解析 （ 1）由题意可知椭圆C 为焦点在

17、 y 轴上的椭圆，可设y2x21 (a b 0)C :2b2a由条件知 a 1 且 b c ，又有 a2b2c2 ，解得a 1 , bc22故椭圆 C 的离心率为 ec2，其标准方程为：y2x 21a212（ 2）设 l 与椭圆 C交点为 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）6y kx m2x2 y2 1得（k22）x2 2（21） 0kmxm（ 2）2 4（k2 2）（21） 4（k2 222）>0 （* ）kmmm2 2kmm 1x1 x2 k2 2 ， x1x2k2 2x1 x2 2x2 AP 3 PB x1 3x2 2x1x2 3x222 2km2m 1消去 x2，得 3

18、（ x1 x2） 4x1x20， 3（ k2 2 ） 4k2 2 02222整理得 4k m 2m k 201212 2222mm 时，上式不成立；m 时， k 2，444m 1211因3 k0 k22 2m<2>0， 1<或< <14m 1m22 m22成立，所以（ * ）成立容易验证 k>2m 21 1即所求 m的取值范围为（ 1， 2）（ 2， 1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能例 7椭圆 x2y21(ab 0) 上一点 P 向 x 轴引垂线 , 垂足恰为椭圆的左焦点F1 , A 为椭圆的右a2b2uuu

19、vuuuv0) .顶点， B 是椭圆的上顶点 , 且 ABOP(、求该椭圆的离心率 .、若该椭圆的准线方程是x25 ，求椭圆方程 .uuuvuuuvABOP， PF1O BOA ,解析、 QABOP ，PF1FO1cPF1bcBOOAa，a又 P( c, y)c2PF11PF1b2a2b2a2 ， b c ,而 a2b2c2a22c2e2 .2、 Q x25 为准线方程，a22 5a225c ,ca225ca210x2y2由 bc所求椭圆方程为21105a2b2c2b5【新题导练】714. 设过点 P x, y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、 B 两点，点 Q 与点 P

20、关于 y轴对称， O 为坐标原点，若 BP2PA，且 OQ AB1，则 P 点的轨迹方程是（）A.3 x 23 y21 x0, y0B.3 x 23y 21 x 0, y 022C. 3x2 3 y 21 x0, y 0D.3x23 y 21 x 0, y 022解析3,3y),OQ(, )323y21，选A.AB ( xx yx2215.如图，在 Rt 中， CAB=90°， AB=2，AC= 2。一曲线 E 过点 ，动点P在曲线E上运动，ABC2C且保持 |+| 的值不变，直线l经过 A 与曲线 E 交于 M、 N两点。PAPB（ 1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（ 2）

21、设直线 l 的斜率为 k，若 MBN为钝角，求 k 的取值范围。解：（ 1）以 AB所在直线为 x 轴， AB的中点 O为原点建立直角坐标系，则A（ 1， 0）， B（1， 0）由题设可得|PA| |PB| |CA| |CB|222( 2)22 3 22 22222动点 P 的轨迹方程为 x 2y 21(ab0) ，a 2b 2则a2,c1.a2c21b曲线 E 方程为 x 2y212（ 2）直线 MN的方程为 yk ( x1), 设 M ( x1 , y1 ),设 M ( x1 , y1 , ), N (x2 , y2 )由yk( x1)得(122)2422(21)0x22 y 220kxk

22、xk8k280方程有两个不等的实数根x 14k 22 , x12(k 21)x2x222 2k1 2kBM ( x11, y1 ), BN ( x2 1, y2 )BM BN( x1 1)( x21)y1 y2 (x1 1)( x2 1) k 2 (x1 1)( x1 1)(1 k 2 ) x1 x2 ( k21)( x1x2 ) 1 k 28(1 k22(k 21)(k21)(4k 22 ) 1 k27k 21)2k212k12k21 MBN是钝角BMBN0即 7k21012k 2解得：7k777又 M、 B、 N三点不共线k0综上所述， k 的取值范围是 (7 ,0)( 0,7 )77二典

23、型例题考点 1椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用例 2.点 P为为椭圆x 2y21(ab0) 上一点， F 、F 是椭圆的两个焦点，试求：1PF2 取a2b212得最值时的P 点坐标。题型 2 求椭圆的标准方程例 3. 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 4，求此椭圆方程 .考点 2 椭圆的几何性质题型 1: 求椭圆的离心率（或范围）例 4. 在 ABC 中，A300,| AB | 2, S ABC 3 若以 A， B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用（范围、

24、对称性等）9x2y2例 5.已知实数 x, y 满足 41222, 求 xy x 的最大值与最小值考点 3 椭圆的最值问题题型 1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值x2y2例 6.椭圆 161xy 9 0的距离的最小值为 _9上的点到直线 l:题型 2.一、的最值若 A 为椭圆内一定点（异于焦点） ， P 是 C 上的一个动点， F 是 C 的一个焦点， e 是 C 的离心率，求的最小值。例 7.已知椭圆内有一点A（ 2，1）， F 是椭圆 C 的左焦点， P 为椭圆 C 上的动点，求的最小值。二、的最值若 A 为椭圆 C 内一定点（异于焦点） ， P 为 C 上的一个动点，F 是 C

25、 的一个焦点，求的最值。例 8 已知椭圆内有一点A（ 2，1），F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点， 求的最大值与最小值。10三、的最值若 A 为椭圆 C 外一定点，为 C 的一条准线， P 为 C上的一个动点， P 到的距离为d，求的最小值。例 9.已知椭圆外一点 A（5， 6），为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P 到的距离为 d，求的最小值。四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例 10.定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上移动，求AB 的中点 M到椭圆右准线的最短距离。考点 4 直线与椭圆相交问题题型 1 直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，

26、且用数形结合的思想。(2)弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但>0 这一制约条件不同意。x1x2b212a （ a,b,cAB1 kx1x21y1y21 k为方程的系数）k2ax1 x2ca例 11. 已知直线 l 过椭圆 8x29y272 的一个焦点， 斜率为2， 与椭圆相交于M、N两点，求弦MNl的长。11题型 2“点差法”解题。 “设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤： 1. 设 A(x 1,y 1) B(x 2,y 2) 分别代入椭圆方程；2. 设 p( x0 , y0 )y1y2b2

27、(x1x2 )b2 x0为 AB 的中点。两式相减，x2a2 ( y1y2 )a 2 y0x13. 得出 ky1y2x1x2注：一般的，对椭圆x2y 21上弦 AB 及中点， M ，有 K AB K OMb2a2b 2a 2例 12. 已知椭圆 x2y 21 ， 求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程2考点五 . 轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1. 直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x ， y) ，直接列出动点所应满足的方程。2. 代入法：一个是动点Q(x0,y 0) 在已知曲线 F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与 Q点满足某种关系，要求P 点的轨迹。其关键是列

28、出P、 Q两点的关系式x0f (x, y)yoy(x, y)3. 定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4. 参数法：在 x，y 间的方程 F(x,y)=0xf (t)难以直接求得时，往往用(t 为参数 ) 来反映yy(t)x， y 之间的关系。常用的参数有斜率k 与角等。例 13： ABC 的一边的的顶点是B(0,6) 和 C(0,-6)，另两边斜率的乘积是4，求顶点 A 的轨迹方9程：基础训练A 组1椭圆 2x 23y 26 的焦距是（）A2B 2(32)C25D2(32)2 F1、F2 是定点， |F 1F2|=6 ，动点 M满足 |MF1|+

29、|MF 2|=6 ，则点 M的轨迹是（）12A椭圆B直线C线段D圆3P 是椭圆 x 2y 21上一点， P 到右焦点 F2 的距离为1，则 P 到相应左焦点的准线距离为 （）4A3B2 3C3D2 36324若椭圆经过原点，且焦点为F1（1， 0），F2（3， 0），则其离心率为（）A 3B 2C 1D 143244若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为3 ，这个椭圆方程为（）A x2y 21B x2y 21129912C x2y 2或 x2y 21D以上都不对12919126离心率 e1 ，一个焦点是F0, 3的椭圆标准方程为_ .27与椭圆 4 x 2+ 9 y2=36有相同的焦点 , 且过点 ( 3， ) 的椭圆方程为 _ 8. 设双曲线x2y21 （ a 0,b 0）的渐近线与抛物线2