因动点产生的梯形问题

1、第1页共9页1.5因动点产生的梯形问题例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题已知直线 y= 3x 3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A, B,抛物线 y= ax2+ 2x + c 经小过点 A, B.(1) 求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线.I，点 B 关于直线 I 的对称点为 C,若点 D.在 y 轴的正半轴上，且四边形 ABCD 为梯形.U 11求点 D 的坐标；2将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线 y = 3x3 交于点 E,若tan DPE3，求四边形 BDEP 的面积.7图 1动感体验请打开几何画板文件

2、名“ 12 松江 24”，拖动点 P 向右运动，可以体验到，D、P 间的垂直距离等于 7保持不变，/ DPE 与/ PDH 保持相等.请打开超级画板文件名“ 12 松江 24”，拖动点 P 向右运动，可以体验到，D、P 间的垂直距离等于 7保持不变，/ DPE 与/ PDH 保持相等，tan DPE 0.43，四边形 BDEP 的面积为 24.思路点拨1.这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了.2抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P 两点间的垂直距离等于 7.3.已知/ DPE 的正切值中的 7 的几何意义就是 D、P

3、两点间的垂直距离等于 7,那么点 P 向右平移到 直线 x= 3时，就停止平移.满分解答(1) 直线 y= 3x 3 与 x 轴的交点为 A(1, 0)，与 y 轴的交点为 B(0, 3). 将 A(1, 0)、B(0, 3)分别代入 y= ax2+ 2x+ c,得a 2 c 0,解得aXc 3.c 3.所以抛物线的表达式为y= x2+ 2x 3.对称轴为直线 x= 1，顶点为(一 1, 4).(2) 如图 2,点 B 关于直线 I 的对称点 C 的坐标为(一 2, 3). 因为 CD/AB，设直线 CD 的解析式为 y= 3x+ b,代入点 C( 2, 3)，可得 b = 3.所以点 D 的

4、坐标为(0, 3).过点 P 作 PH 丄 y 轴，垂足为 H,那么/ PDH =/ DPE .而 DH = 7,所以 PH = 3.因此点 E 的坐标为(3, 6).由tanDPE 7，得tan PDHPH 3DH 7第2页共9页所以 S梯形BDEP1(BD EP) PH 24 .第3页共9页考点伸展第(2)用几何法求点 D 的坐标更简便：因为 CD/AB，所以/ CDB =ZABO .因此BCOA 1.所以 BD = 3BC= 6, OD = 3.因此 D (0, 3). BD OB 3例2 2012年衢州市中考第24题如图 1，把两个全等的 Rt AOB 和 Rt COD 方别置于平面直

5、角坐标系中， 使直角边OB、OD 在 x 轴上.已知点 A(1 , 2),过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F.抛物线y= ax2+ bx+ c 经过 O、A、C 三点.(1) 求该抛物线的函数解析式；(2 )点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于 点 M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P,使得四边形 ABPM 为等腰梯 形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 若厶 AOB 沿 AC 方向平移(点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合)， AOB 在平移的过程中 与厶 COD重叠部分的面积记为 S

6、.试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说 明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 12 衢州 24”，拖动点 P 在线段 OC 上运动，可以体验到，在 AB 的左侧，存 在等腰梯形 ABPM .拖动点 A 在线段 AC 上运动，可以体验到， Rt AOB、Rt COD、Rt AUG、Rt OEK、Rt OFG和 Rt EHK 的两条直角边的比都为 1 : 2.请打开超级画板文件名“ 12 衢州 24”， 拖动点 P 在线段 OC 上运动， 可以体验到， 在 AB 的左侧， 存 在 AM=BP .拖动点 A 在线段 AC 上运动，发现 S 最大值为 0.375 .思路

7、点拨1.如果四边形 ABPM 是等腰梯形，那么 AB 为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个 全等的直角三角形，AB 边分成的 3 小段，两侧的线段长线段.2. AOB 与厶 COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH，可以通过割补得到，即 OFG 减去 OEH .图 2图 3第4页共9页3.求 OEH 的面积时，如果构造底边 0H 上的高 EK，那么 Rt EHK 的直角边的比为 1 :2.4.设点A移动的水平距离为 m,那么所有的直角三角形的直角边都可以用m 表示.满分解答(3)如图 3, AOB 与厶 COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH，作 EK 丄 OD 于 K. 设点

8、 A 移动的水平距离为 m,那么 OG = 1 + m, GB= m.在 Rt OFG 中，FGOG21(1 m).所以SOFG;(1m)2.在 Rt AHG中,AG=2 m, 所以HG1AG(2 m)11m222所以OH OGHG(1 m)(1丄m)3 m.22在 Rt OEK 中，OK = 2 EK ;在 RtAEHK 中，EK = 2HK ;所以 OK = 4HK . 因此OK4OH4-m 2m.所以EKOK m.33 22所以1SOEHOH EK13 m32mm2224于是SSOFGSOEH力m)232m12m1 1 m -g(m344224228(1 )将 A(1,2)、0(0, 0

9、)、C(2,1)分别代入 y= ax2+ bx+ c,a得c4ab c 2,0,2b c1.过点 P、M 分别作梯形=BP、因此 yA y M = yP yB.直线 OC 的解析式为y,2解方程2 (3x27x)，2 2 2(2)如图2,c 0.所以y?x2 7x.2 2ABPM 的高 PP、MM 如果梯形设点 P 的坐标为(x x)，2那么 M(x,X22 .ABPM 是等腰梯形，那么272x).AM第5页共9页因为0vmv1,所以当m1时, S 取得最大值，最大值为328考点伸展第(3)题也可以这样来解：设点A 的横坐标为 a.由直线 AC: y = x + 3,可得 A (a, a +

10、3).由直线C：y1x，可得F(a,1a)2 2由直线 A： y= 2x 及 A (a, a+ 3)，可得直线 A : y= 2x 3a + 3,H(3a 30).2，由直线 OC 和直线 A 可求得交点 E(2a 2, a 1).由 E、F、G、H 4 个点的坐标，可得例4 2011年义乌市中考第24题已知二次函数的图象经过 A (2, 0)、C(0, 12)两点，且对称轴为直线 x= 4,设顶点为点 P,与 x 轴 的另一交点为点 B.(1)求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；(2)如图 1，在直线 y= 2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若

11、不存在，请说明理由；(3)如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点(、P 两点除外)，以每秒 2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN/X 轴， 交 PB 于点 N.将厶 PMN 沿直线 MN 对折， 得到 P1MN.在动 点 M 的运动过程中， 设 P1MN与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S,运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函 数关系式.动感体验请打开几何画板文件名“ 11 义乌 24”，拖动点 M 从 P 向 O 运动，可以体验到， M 在到达 PO 的中点 前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形.思路点拨1.第(2)题可以根据对边

12、相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行 四边形的情况.第6页共9页2.第(3)题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO 的中点.第7页共9页此时S3t2 3(2t 4)29t212t 12.444考点伸展第(2)题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆.以P 为圆心，OB 长为半径画圆，与直线 y= 2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点.方法二，按照对边相等画圆.以B 为圆心，OP 长为半径画圆，与直线 y= 2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点.满分解答(1)设抛物线的解析式为2

13、4a k 0,y a(x 4) k,代入 A (2, 0)、C(o, 12)两点，得解16a k 12.1,4.所以二次函数2 2y (x 4)4 x 8x 12，顶点 P 的坐标为(4, 4).(2)由y x28x 12(x 2)(x6)，知点 B 的坐标为(6, 0).假设在等腰梯形 OPBD，那么 由两点间的距离公式，得(x如图3,当 x= 2 时，四边形DP = OB= 6.设点 D 的坐标为(为2x).4)2(2x 4)236解得x或 x= 2.ODPB 是平行四边形.501 Pkc / ,V F10 xMX Hr3(3)设厶 PMN 与厶 POB 的高分别为 PH、PG .在 Rt

14、 PMH 中，PM . 2t，PH MH t.所以PG 2t 4. 在 Rt PNH 中，PH t，NH】PH t.所以MN3t.2 2 21如图 4，当 0vtw2 时，重叠部分的面积等于厶 PMN 的面积此时S- -t t-t2.2 242如图 5,当 2VtV4 时，重叠部分是梯形，面PDCSPMNPGPH2，所以SPDC22t 43以-tt 43(2t 4)2.24所以，当点D的坐标为(5，5)时，四边形 OPBD 为等腰梯形.第8页共9页例5 2010年杭州市中考第24题12如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的解析式是 y = x21，点 C 的坐标为（-,0），平行四4

15、边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物线上，AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q（x，y）在抛物线上，点 P（t，0）在 x 轴 上.（1）写出点 M 的坐标；（2）当四边形 CMQP 是以 MQ , PC 为腰的梯形时. 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围;当梯形 CMQP 的两底的长度之比为 1 : 2 时，求 t 的值.图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 10 杭州 24”，拖动点 Q 在抛物线上运动，从 t 随 x 变化的图象可以看到，t 是 x 的二次函数，抛物线的开口向下.还可以感受到，PQ : CM = 1 : 2 只有一种情况，此时 Q 在 y 轴上；C

16、M : PQ= 1 : 2 有两种情况.思路点拨1.第（1）题求点 M 的坐标以后，Rt OCM 的两条直角边的比为 1 : 2,这是本题的基本背景图.2.第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t 与 x 的比例式，从而得到 t 关于 x 的函数关系.3探求自变量 x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况.4.梯形的两底的长度之比为 1 : 2,要分两种情况讨论. 把两底的长度比转化为 QH 与 MO 的长度比.满分解答12（1）因为 AB= OC = 4, A、B 关于 y 轴对称，所以点 A 的横坐标为 2 .将 x= 2 代入 y

17、 =一x 1，得 y4=2.所以点 M 的坐标为（0, 2）.如图2,过点 Q 作 QHx 轴，设垂足为H,则12HQ = yx 1,HP = x-t4因为CM/I PQ，所以/ QPH =/ MCO .因此tan/QPH = tan / MCO ，即HQOMHPOC12彳x 11(xt）.整理，得t丄x2x 2.422如图 3,当 P 与 C 重合时，t4，解方程412x x 2，得x1.2如图 4,当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x= 2.丄.所以2第9页共9页考点伸展本题情境下，以 Q 为圆心、QM 为半径的动圆与 x 轴有怎样的位置关系呢？2 2设点 Q 的坐

18、标为x,-x21，那么QM2x2丄x21- x2144412而点 Q 到 x 轴的距离为x21.4因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心 Q 到 x 轴的距离，圆 Q 与 x 轴相切.因为 sin / QPH = sin/MCO ,所以HQPQOMCM，即PQ HQ CM OM.当PQHQ1时,HQ1 OM1.解方程1x211，得x0（如图 5）.此时tCMOM224当PQHQ2时，HQ2OM4. 解方程1-x214，得x23.CMOM4如图 6,当x23时，t8 2 3;如图 6,当1 x2、3时,t8 2、3.2.因此自变量 x 的取值范围是x 1.5，且 x2 的所有实数.图 2图 3图 4

19、第10页共9页例7 2009年广州市中考第25题px q(p0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C (0, 1),5 ABC 的面积为 .4(1)求该二次函数的关系式；(2)过 y 轴上的一点 M (0, m)作 y 轴的垂线，若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值 范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在,动感体验请打开几何画板文件名“ 09广州 25”， 可以看到, 接圆直径，拖动点 M 在 y 轴上运动，可以体验到，过在抛物线上有两个符合条件的点D，使以 A、B、 ABC 是以 AB 为斜边的

20、直角三角形， AB 是它的外 M的直线与圆相切或者相交时有公共点.C、D 为顶点的四边形为直角梯形.思路点拨1根据 ABC 的面积和 AB 边上的高确定 AB 的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示.2 数形结合，根据点 A、B、C 的坐标确定 OA、OB、OC 间的数量关系，得到 AOCCOB，从 而得到 ABC是以 AB 为斜边的直角三角形， AB 是它的外接圆直径，再根据对称性写出m 的取值范围.3.根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D有两个，但是求点 D 的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些.满分解答55(1)因为 OC = 1 , ABC 的面积为5，所以 AB=-.425设点 A 的坐标为(a, 0),那么点 B 的坐标为(a,0).2551设抛物线的解析式为y (x a)(x a ),代入点 C